Номер 8.23, страница 27 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 8. Равномерное движение по окружности. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 8.23, страница 27.

8.23 [Д. 18] Решите предыдущую задачу при условии, что в зазоре между барьерами телу в течение 0,1 с сообщается отрицательное ускорение $-4 \text{ м/с}^2$.

8.23 [Д, 18]

Для решения данной задачи необходимо использовать условия из предыдущей задачи (№8.22), в которой рассматривалось движение тела между двумя барьерами. Предполагается, что начальное расстояние между барьерами $L = 10$ м, а начальная скорость тела $v_0 = 2$ м/с.

Дано:

Расстояние между барьерами, $L = 10$ м.

Начальная скорость тела, $v_0 = 2$ м/с.

Ускорение тела, $a = -4$ м/с².

Найти:

Минимальную скорость второго барьера $u_{min}$, при которой тело вернется к первому барьеру.

Решение:

В условии задачи указано, что ускорение сообщается телу "в течение 0,1 с". Однако, если ускорение действует лишь кратковременно, то после этого тело будет двигаться равномерно, и, как и в предыдущей задаче, оно всегда будет возвращаться к первому барьеру после упругого столкновения. Вопрос о минимальной скорости $u$ в таком случае не имеет физического смысла. Поэтому будем считать, что указание на 0,1 с является частью описания, но само ускорение $a = -4$ м/с² действует на тело постоянно, пока оно находится в зазоре между барьерами (как на пути ко второму барьеру, так и обратно).

Выберем систему отсчета, связанную с первым (неподвижным) барьером. Ось OX направим от первого барьера ко второму. Начало координат ($x=0$) находится в положении первого барьера.

Запишем уравнение движения для тела:

$x_{тела}(t) = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Второй барьер движется навстречу телу с постоянной скоростью $u$. Его координата изменяется по закону:

$x_{барьера}(t) = L - ut$

Столкновение тела со вторым барьером произойдет в момент времени $t_c > 0$, когда их координаты совпадут: $x_{тела}(t_c) = x_{барьера}(t_c)$.

$v_0 t_c + \frac{at_c^2}{2} = L - ut_c$

Подставим числовые значения из условия:

$2t_c + \frac{(-4)t_c^2}{2} = 10 - ut_c$

$2t_c - 2t_c^2 = 10 - ut_c$

Соберем все члены в левой части, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно времени столкновения $t_c$:

$2t_c^2 - 2t_c - ut_c + 10 = 0$

$2t_c^2 - (2+u)t_c + 10 = 0$

Для того чтобы столкновение в принципе могло произойти, это квадратное уравнение должно иметь действительные корни. Условием существования действительных корней является неотрицательность дискриминанта $D$ этого уравнения.

$D = (-(2+u))^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 \ge 0$

$D = (2+u)^2 - 80 \ge 0$

Так как скорость $u$ не может быть отрицательной ($u \ge 0$), то выражение $(2+u)$ всегда положительно. Мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей неравенства:

$2+u \ge \sqrt{80}$

Упростим корень: $\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$.

$2+u \ge 4\sqrt{5}$

$u \ge 4\sqrt{5} - 2$

Это неравенство определяет условие, при котором тело сможет достигнуть второго барьера. Если скорость $u$ будет меньше этого значения, тело из-за отрицательного ускорения остановится и начнет двигаться обратно, не достигнув второго барьера.

После упругого столкновения со вторым барьером тело начнет движение в обратную сторону, к первому барьеру, и на него продолжит действовать то же ускорение $a = -4$ м/с². Можно показать, что если столкновение произошло, то тело обязательно вернется в точку $x=0$. Следовательно, условие возвращения тела к первому барьеру совпадает с условием, при котором возможно столкновение со вторым барьером.

Минимальная скорость $u_{min}$ соответствует граничному условию, когда дискриминант равен нулю ($D=0$).

$u_{min} = 4\sqrt{5} - 2$

Вычислим численное значение, приняв $\sqrt{5} \approx 2.236$:

$u_{min} \approx 4 \cdot 2.236 - 2 = 8.944 - 2 = 6.944$ м/с.

Округляя до сотых, получаем $u_{min} \approx 6.94$ м/с.

Ответ: Минимальная скорость второго барьера, при которой тело вернется к первому, составляет $u_{min} = 4\sqrt{5} - 2 \approx 6.94$ м/с.