Номер 8.19, страница 26 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 8. Равномерное движение по окружности. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 8.19, страница 26.

8.19* [170*] Ось с двумя дисками, расположенными на расстоянии $0.5 \text{ м}$ друг от друга, вращается с частотой $1600 \text{ об./мин}$ (рис. II-17). Пуля, летящая вдоль оси на некотором расстоянии от неё, почти без изменения скорости пробивает оба диска. При этом отверстие от пули во втором диске смещено относительно отверстия в первом диске на угол $12^\circ$. Определите скорость пули на участке между дисками.

Рис. II-17

Дано:

Расстояние между дисками $l = 0,5 \text{ м}$
Частота вращения $n = 1600 \text{ об./мин}$
Угол смещения $\varphi = 12^\circ$

Переведем величины в систему СИ:
Частота вращения $\nu = \frac{1600}{60} \text{ об./с} = \frac{80}{3} \text{ Гц}$
Угол смещения в радианах $\varphi = 12^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{15} \text{ рад}$

Найти:

Скорость пули $v$.

Решение:

Время $t$, за которое пуля пролетает расстояние $l$ между дисками, можно определить из формулы равномерного прямолинейного движения, так как скорость пули почти не изменяется: $t = \frac{l}{v}$

За это время $t$ диски, вращаясь с постоянной угловой скоростью $\omega$, повернутся на угол $\varphi$. Связь между углом поворота, угловой скоростью и временем выражается формулой: $\varphi = \omega \cdot t$

Угловая скорость $\omega$ связана с частотой вращения $\nu$ соотношением: $\omega = 2\pi\nu$

Подставим выражения для $\omega$ и $t$ в формулу для угла поворота: $\varphi = (2\pi\nu) \cdot \frac{l}{v}$

Из этого соотношения выразим искомую скорость пули $v$: $v = \frac{2\pi\nu l}{\varphi}$

В условии сказано, что отверстие смещено на угол 12°. Это может означать, что диски повернулись на угол $\varphi_k = 12^\circ + 360^\circ \cdot k$, где $k = 0, 1, 2, ...$ — число полных оборотов. Скорость пули в общем виде будет: $v_k = \frac{2\pi\nu l}{\varphi_k}$.

Поскольку скорость пули — величина достаточно большая, наиболее вероятным является случай, когда диски не успели совершить ни одного полного оборота за время полета пули между ними. Поэтому мы принимаем $k=0$. Этот случай соответствует максимальной возможной скорости пули.

Подставим числовые значения в систему СИ в полученную формулу: $v = \frac{2\pi \cdot \frac{80}{3} \text{ Гц} \cdot 0,5 \text{ м}}{\frac{\pi}{15} \text{ рад}} = \frac{2\pi \cdot 80 \cdot 0,5 \cdot 15}{3 \cdot \pi} = \frac{80\pi \cdot 15}{3\pi}$

Сократим $\pi$ и выполним вычисления: $v = \frac{80 \cdot 15}{3} = 80 \cdot 5 = 400 \text{ м/с}$

Ответ: скорость пули на участке между дисками равна $400 \text{ м/с}$.