Номер 8.18, страница 26 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 8. Равномерное движение по окружности. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 8.18, страница 26.

8.18 [Д. 13] Концу лопасти воздушного винта самолёта Ил-114 сообщается центростремительное ускорение, равное $14000 \text{ м/с}^2$, при частоте вращения винта $780 \text{ об./мин.}$. Какую траекторию описывает конец лопасти во время полёта в системе отсчёта, связанной с Землёй? Чему равна его скорость, если скорость самолёта относительно Земли равна $500 \text{ км/ч}$?

Какую траекторию описывает конец лопасти во время полёта в системе отсчёта, связанной с Землёй?

В системе отсчёта, связанной с Землёй, конец лопасти участвует в двух движениях одновременно: во вращательном движении вокруг оси винта и в поступательном движении вместе с самолётом. Сложение этих двух движений (равномерного вращения по окружности и равномерного поступательного движения, перпендикулярного плоскости вращения) приводит к тому, что траектория конца лопасти представляет собой винтовую линию (спираль).

Ответ: Конец лопасти описывает винтовую линию.

Чему равна его скорость, если скорость самолёта относительно Земли равна 500 км/ч?

Дано:

$a_ц = 14000 \text{ м/с}^2$
$n = 780 \text{ об./мин}$
$v_{сам} = 500 \text{ км/ч}$

$n = 780 \frac{\text{об}}{\text{мин}} = \frac{780}{60} \frac{\text{об}}{\text{с}} = 13 \text{ Гц}$
$v_{сам} = 500 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 500 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{1250}{9} \text{ м/с} \approx 138.9 \text{ м/с}$

Найти:

$v_{полная}$

Решение:

Полная скорость конца лопасти относительно Земли ($v_{полная}$) является векторной суммой скорости поступательного движения самолёта ($v_{сам}$) и линейной скорости вращательного движения конца лопасти ($v_{вращ}$).

$\vec{v}_{полная} = \vec{v}_{сам} + \vec{v}_{вращ}$

Сначала найдём линейную скорость вращения конца лопасти. Для этого определим угловую скорость вращения $\omega$ через частоту $n$:

$\omega = 2\pi n = 2\pi \cdot 13 \text{ Гц} = 26\pi \text{ рад/с}$

Центростремительное ускорение связано с угловой и линейной скоростями соотношением $a_ц = \omega v_{вращ}$. Отсюда можем выразить линейную скорость вращения:

$v_{вращ} = \frac{a_ц}{\omega} = \frac{14000 \text{ м/с}^2}{26\pi \text{ рад/с}} \approx \frac{14000}{81.68} \text{ м/с} \approx 171.4 \text{ м/с}$

Вектор поступательной скорости самолёта $\vec{v}_{сам}$ направлен вдоль оси полёта, а вектор линейной скорости вращения $\vec{v}_{вращ}$ всегда лежит в плоскости вращения винта и перпендикулярен радиусу. Так как плоскость вращения винта перпендикулярна направлению полёта, то векторы $\vec{v}_{сам}$ и $\vec{v}_{вращ}$ всегда взаимно перпендикулярны.

Модуль полной скорости можно найти по теореме Пифагора:

$v_{полная} = \sqrt{v_{сам}^2 + v_{вращ}^2}$

Подставим числовые значения:

$v_{полная} = \sqrt{(138.9 \text{ м/с})^2 + (171.4 \text{ м/с})^2} \approx \sqrt{19293 + 29378} \text{ м/с} = \sqrt{48671} \text{ м/с} \approx 220.6 \text{ м/с}$

Округлим результат до трёх значащих цифр.

Ответ: $v_{полная} \approx 221 \text{ м/с}$.