Номер 8.21, страница 27 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 8. Равномерное движение по окружности. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 8.21, страница 27.

8.21 [д. 16] Ознакомьтесь с условием предыдущей задачи. С какой угловой скоростью и в каком направлении должен идти мальчик по карусели вокруг оси её вращения, чтобы крыша относительно него оставалась неподвижной? На каком расстоянии от оси вращения расположены точки карусели, в которых центростремительное ускорение такое же, как и на краю крыши?

Рис. II-19

Поскольку условие задачи отсылает к предыдущей задаче и на рисунке присутствует радиус $R_2$, будем считать, что речь идет о системе из двух соосно вращающихся объектов: карусели, по которой идет мальчик, и "крыши".

Дано:
$ \omega_{к} $ — угловая скорость карусели относительно земли.
$ \omega_{кр} $ — угловая скорость крыши относительно земли.
$ R_{2} $ — радиус крыши.

Найти:
$ \omega_{м} $ — угловая скорость мальчика относительно карусели.
$ r $ — расстояние от оси вращения до точек на карусели с заданным условием.

Решение:

1. Угловая скорость и направление движения мальчика

Чтобы крыша была неподвижна относительно мальчика, их скорости относительно неподвижной системы отсчета (земли) должны быть одинаковыми. Рассмотрим их угловые скорости, так как движение происходит вокруг одной оси.

Абсолютная угловая скорость мальчика $ \omega_{абс} $ (относительно земли) складывается из угловой скорости карусели $ \omega_{к} $ и угловой скорости мальчика относительно карусели $ \omega_{м} $ (это искомая величина). По закону сложения угловых скоростей:

$ \omega_{абс} = \omega_{к} + \omega_{м} $

Угловые скорости здесь являются векторами, направленными вдоль оси вращения. Если направления вращения совпадают, их можно складывать как скаляры.

Абсолютная угловая скорость крыши по условию равна $ \omega_{кр} $.

Для того чтобы крыша была неподвижна относительно мальчика, их абсолютные угловые скорости должны быть равны:

$ \omega_{абс} = \omega_{кр} $

Приравнивая выражения для абсолютной скорости мальчика и скорости крыши, получаем:

$ \omega_{к} + \omega_{м} = \omega_{кр} $

Отсюда находим угловую скорость мальчика относительно карусели:

$ \omega_{м} = \omega_{кр} - \omega_{к} $

Направление движения мальчика зависит от соотношения угловых скоростей крыши и карусели:

• Если $ \omega_{кр} > \omega_{к} $, то $ \omega_{м} $ имеет то же направление, что и $ \omega_{к} $. Мальчик должен идти в направлении вращения карусели.
• Если $ \omega_{кр} < \omega_{к} $, то $ \omega_{м} $ имеет противоположное направление. Мальчик должен идти против направления вращения карусели.
• Если $ \omega_{кр} = \omega_{к} $, то $ \omega_{м} = 0 $. Мальчик должен стоять на месте.

Ответ: Угловая скорость мальчика относительно карусели должна быть равна $ \omega_{м} = \omega_{кр} - \omega_{к} $. Направление движения совпадает с направлением вращения карусели, если $ \omega_{кр} > \omega_{к} $, и противоположно ему, если $ \omega_{кр} < \omega_{к} $.

2. Расстояние до точек с равным центростремительным ускорением

Требуется найти расстояние $r$ от оси вращения, в котором центростремительное ускорение точек карусели $a_{ц,к}$ равно центростремительному ускорению точек на краю крыши $a_{ц,кр}$.

Центростремительное ускорение точки, вращающейся с угловой скоростью $ \omega $ на расстоянии $ x $ от оси, вычисляется по формуле:

$ a_ц = \omega^2 x $

Для точки на карусели, находящейся на искомом расстоянии $r$ от оси:

$ a_{ц,к} = \omega_{к}^2 r $

Для точки на краю крыши, находящейся на расстоянии $ R_2 $ от оси:

$ a_{ц,кр} = \omega_{кр}^2 R_2 $

Приравниваем эти ускорения согласно условию задачи:

$ \omega_{к}^2 r = \omega_{кр}^2 R_2 $

Выражаем искомое расстояние $r$:

$ r = R_2 \frac{\omega_{кр}^2}{\omega_{к}^2} = R_2 \left( \frac{\omega_{кр}}{\omega_{к}} \right)^2 $

Ответ: Точки карусели, в которых центростремительное ускорение такое же, как и на краю крыши, расположены на расстоянии $ r = R_2 \left( \frac{\omega_{кр}}{\omega_{к}} \right)^2 $ от оси вращения.