Номер 8.30, страница 28 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 8. Равномерное движение по окружности. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 8.30, страница 28.

8.30 [д. 22] Материальная точка движется по окружности радиусом $3 \text{ м}$ с постоянной по модулю скоростью $15 \text{ м/с}$ в направлении движения часовой стрелки. Изобразите прямоугольную систему координат $XOY$ в плоскости движения материальной точки с началом отсчёта в центре окружности. С помощью рисунка определите проекцию вектора скорости на ось $Y$ в моменты времени, когда проекция вектора скорости на ось $X$ равна $12 \text{ м/с}$. Чему равны угловая скорость точки, период, частота обращения и центростремительное ускорение?

Дано:
Радиус окружности, $R = 3 \text{ м}$
Линейная скорость, $v = 15 \text{ м/с}$
Проекция скорости на ось X, $v_x = 12 \text{ м/с}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:
Проекцию скорости на ось Y, $v_y - ?$
Угловую скорость, $\omega - ?$
Период обращения, $T - ?$
Частоту обращения, $\nu - ?$
Центростремительное ускорение, $a_c - ?$

Решение:

С помощью рисунка определите проекцию вектора скорости на ось Y в моменты времени, когда проекция вектора скорости на ось X равна 12 м/с.
Вектор мгновенной скорости $\vec{v}$ является касательным к траектории движения (окружности). Его модуль постоянен и равен $v = 15 \text{ м/с}$. Вектор скорости можно разложить на компоненты по осям X и Y: $\vec{v} = (v_x, v_y)$. Согласно теореме Пифагора, модуль вектора скорости связан с его проекциями соотношением:
$v^2 = v_x^2 + v_y^2$
Отсюда мы можем выразить проекцию скорости на ось Y:
$v_y^2 = v^2 - v_x^2$
$v_y = \pm \sqrt{v^2 - v_x^2}$
Подставим известные значения:
$v_y = \pm \sqrt{15^2 - 12^2} = \pm \sqrt{225 - 144} = \pm \sqrt{81} = \pm 9 \text{ м/с}$
Знак проекции $v_y$ зависит от положения точки на окружности. Так как $v_x = 12 \text{ м/с} > 0$, точка находится в правой полуплоскости (в I или IV координатной четверти).
1. Если точка находится в I четверти ($x>0, y>0$), то при движении по часовой стрелке ее скорость будет направлена вправо и вниз, следовательно, $v_x > 0$ и $v_y < 0$. В этом случае $v_y = -9 \text{ м/с}$.
2. Если точка находится в IV четверти ($x>0, y<0$), то при движении по часовой стрелке ее скорость будет направлена вправо и вверх, следовательно, $v_x > 0$ и $v_y > 0$. В этом случае $v_y = 9 \text{ м/с}$.
Таким образом, существуют два момента времени, в которые проекция скорости на ось X равна 12 м/с, и им соответствуют два значения проекции скорости на ось Y.

Ответ: $v_y = 9 \text{ м/с}$ или $v_y = -9 \text{ м/с}$.

Чему равны угловая скорость точки, период, частота обращения и центростремительное ускорение?
Угловая скорость $\omega$ связана с линейной скоростью $v$ и радиусом $R$ формулой $v = \omega R$:
$\omega = \frac{v}{R} = \frac{15 \text{ м/с}}{3 \text{ м}} = 5 \text{ рад/с}$

Период обращения $T$ — это время, за которое точка совершает один полный оборот. Его можно найти через угловую скорость: $T = \frac{2\pi}{\omega}$.
$T = \frac{2\pi}{5} \text{ с} \approx 1,26 \text{ с}$

Частота обращения $\nu$ — это величина, обратная периоду: $\nu = \frac{1}{T}$.
$\nu = \frac{1}{2\pi/5} = \frac{5}{2\pi} \text{ Гц} \approx 0,80 \text{ Гц}$

Центростремительное ускорение $a_c$ при движении по окружности рассчитывается по формуле $a_c = \frac{v^2}{R}$.
$a_c = \frac{(15 \text{ м/с})^2}{3 \text{ м}} = \frac{225}{3} \text{ м/с}^2 = 75 \text{ м/с}^2$

Ответ: угловая скорость $\omega = 5 \text{ рад/с}$; период $T = \frac{2\pi}{5} \text{ с} \approx 1,26 \text{ с}$; частота $\nu = \frac{5}{2\pi} \text{ Гц} \approx 0,80 \text{ Гц}$; центростремительное ускорение $a_c = 75 \text{ м/с}^2$.