Страница 29 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

8.32 [Д. 23] Материальная точка движется по окружности с постоянной частотой $1,6 \text{ с}^{-1}$. Изобразите прямоугольную систему координат $XOY$ в плоскости движения материальной точки и началом отсчёта в центре окружности. С помощью рисунка определите направление движения, модуль линейной скорости точки, если известно, что проекции вектора скорости на оси $X$ и $Y$ в некоторый момент времени равны $-3 \text{ м/с}$ и $4 \text{ м/с}$ соответственно. Чему равны радиус окружности, угловая скорость, модуль вектора центростремительного ускорения и его проекции на оси координат в заданный момент времени?

Дано:

Частота движения, $f = 1,6 \text{ с}^{-1}$

Проекция вектора скорости на ось X, $v_x = -3 \text{ м/с}$

Проекция вектора скорости на ось Y, $v_y = 4 \text{ м/с}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Направление движения

Модуль линейной скорости, $v$

Радиус окружности, $R$

Угловую скорость, $\omega$

Модуль центростремительного ускорения, $a_c$

Проекции центростремительного ускорения на оси, $a_x, a_y$

Решение:

Направление движения и модуль линейной скорости точки

Изобразим систему координат XOY с началом в центре окружности. Вектор линейной скорости $\vec{v}$ в любой момент времени касателен к окружности. В заданный момент времени вектор скорости имеет компоненты $\vec{v} = (v_x, v_y) = (-3, 4)$. Это означает, что вектор скорости направлен во второй координатный квадрант (X < 0, Y > 0).

Радиус-вектор $\vec{R}$ материальной точки перпендикулярен вектору скорости $\vec{v}$. Для движения по окружности против часовой стрелки связь между компонентами скорости и координатами $(x, y)$ точки имеет вид: $v_x = -\omega y$ и $v_y = \omega x$, где $\omega$ - положительная угловая скорость. Подставляя наши значения, получаем: $-3 = -\omega y$ и $4 = \omega x$. Отсюда следует, что $x > 0$ и $y > 0$, то есть точка находится в первом квадранте. Движение из первого квадранта с вектором скорости, направленным во второй квадрант, соответствует движению против часовой стрелки.

Если бы движение было по часовой стрелке, то $v_x = \omega y$ и $v_y = -\omega x$. Тогда $-3 = \omega y$ и $4 = -\omega x$, что означало бы, что точка находится в третьем квадранте ($x < 0, y < 0$), а вектор скорости направлен во второй. Это невозможно, так как при движении по часовой стрелке из третьего квадранта скорость была бы направлена в четвертый.

Таким образом, движение происходит против часовой стрелки.

Модуль линейной скорости найдем по теореме Пифагора, зная его проекции: $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ м/с}$.

Ответ: движение происходит против часовой стрелки; модуль линейной скорости равен $5 \text{ м/с}$.

Угловая скорость

Угловая скорость $\omega$ связана с частотой $f$ соотношением: $\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 1,6 = 3,2\pi \text{ рад/с}$.

Ответ: угловая скорость равна $3,2\pi \text{ рад/с}$.

Радиус окружности

Линейная скорость $v$ связана с угловой скоростью $\omega$ и радиусом $R$ формулой $v = \omega R$. Отсюда выразим радиус: $R = \frac{v}{\omega} = \frac{5}{3,2\pi} = \frac{50}{32\pi} = \frac{25}{16\pi} \text{ м}$.

Ответ: радиус окружности равен $\frac{25}{16\pi} \text{ м}$ (приблизительно $0,497 \text{ м}$).

Модуль вектора центростремительного ускорения

Модуль центростремительного ускорения можно вычислить по одной из формул: $a_c = \frac{v^2}{R}$ или $a_c = \omega^2 R$. Используем вторую: $a_c = \omega^2 R = (3,2\pi)^2 \cdot \frac{25}{16\pi} = 10,24\pi^2 \cdot \frac{25}{16\pi} = \frac{10,24 \cdot 25}{16}\pi = 0,64 \cdot 25 \pi = 16\pi \text{ м/с}^2$.

Ответ: модуль вектора центростремительного ускорения равен $16\pi \text{ м/с}^2$ (приблизительно $50,27 \text{ м/с}^2$).

Проекции вектора центростремительного ускорения на оси координат в заданный момент времени

Вектор центростремительного ускорения $\vec{a}_c$ всегда направлен к центру окружности, то есть противоположно радиус-вектору $\vec{R}$. Следовательно, $\vec{a}_c = -\omega^2 \vec{R}$. Проекции ускорения на оси: $a_x = -\omega^2 x$ и $a_y = -\omega^2 y$.

Найдем координаты точки $(x, y)$ в заданный момент времени из соотношений для движения против часовой стрелки: $x = \frac{v_y}{\omega} = \frac{4}{3,2\pi} = \frac{40}{32\pi} = \frac{5}{4\pi} \text{ м}$. $y = \frac{-v_x}{\omega} = \frac{-(-3)}{3,2\pi} = \frac{3}{3,2\pi} = \frac{30}{32\pi} = \frac{15}{16\pi} \text{ м}$.

Теперь вычислим проекции ускорения: $a_x = -\omega^2 x = -(3,2\pi)^2 \cdot \frac{5}{4\pi} = -10,24\pi^2 \cdot \frac{5}{4\pi} = -2,56 \cdot 5 \pi = -12,8\pi \text{ м/с}^2$. $a_y = -\omega^2 y = -(3,2\pi)^2 \cdot \frac{15}{16\pi} = -10,24\pi^2 \cdot \frac{15}{16\pi} = -0,64 \cdot 15 \pi = -9,6\pi \text{ м/с}^2$.

Ответ: проекция вектора центростремительного ускорения на ось X равна $-12,8\pi \text{ м/с}^2$ (приблизительно $-40,21 \text{ м/с}^2$); проекция на ось Y равна $-9,6\pi \text{ м/с}^2$ (приблизительно $-30,16 \text{ м/с}^2$).

8.33 [д. 24] Материальная точка движется по окружности с постоянной частотой $0,8 \text{ с}^{-1}$. Изобразите прямоугольную систему координат XOY в плоскости движения материальной точки и началом отсчёта в центре окружности. Известно, что проекции скорости материальной точки на оси X и Y в некоторый момент времени равны 6 м/с и -8 м/с соответственно. Чему равны линейная скорость точки, радиус окружности, угловая скорость и центростремительное ускорение? Определите проекции на оси координат вектора скорости и вектора центростремительного ускорения через время, равное четверти периода обращения.

Дано:

$ν = 0,8 \text{ с}^{-1}$
$v_x(t_0) = 6 \text{ м/с}$
$v_y(t_0) = -8 \text{ м/с}$
$\Delta t = T/4$

Все данные уже в системе СИ.

Найти:

$v - ?$
$R - ?$
$ω - ?$
$a_ц - ?$
$v'_x = v_x(t_0 + \Delta t) - ?$
$v'_y = v_y(t_0 + \Delta t) - ?$
$a'_{цx} = a_{цx}(t_0 + \Delta t) - ?$
$a'_{цy} = a_{цy}(t_0 + \Delta t) - ?$

Решение:

В соответствии с условием задачи, изобразим прямоугольную систему координат XOY. Центр окружности, по которой движется материальная точка, совпадает с началом координат O(0,0). Вектор скорости $\vec{v}$ всегда направлен по касательной к окружности, а вектор центростремительного ускорения $\vec{a}_ц$ направлен к центру окружности, то есть к началу координат. В начальный момент времени $t_0$ вектор скорости имеет проекции $(6, -8)$, что соответствует точке в четвертом квадранте, если движение происходит против часовой стрелки, или во втором квадранте, если движение по часовой стрелке. Будем придерживаться стандартного предположения о движении против часовой стрелки.

Чему равны линейная скорость точки, радиус окружности, угловая скорость и центростремительное ускорение?

1. Линейная скорость $v$ является модулем вектора скорости $\vec{v}$. Найдем ее по теореме Пифагора, зная проекции вектора:

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ м/с}$

2. Угловая скорость $ω$ связана с частотой $ν$ соотношением:

$ω = 2\pi\nu = 2\pi \cdot 0,8 = 1,6\pi \text{ рад/с}$

3. Радиус окружности $R$ найдем из связи между линейной и угловой скоростями $v = ωR$:

$R = \frac{v}{ω} = \frac{10}{1,6\pi} = \frac{100}{16\pi} = \frac{25}{4\pi} \text{ м}$ (приблизительно 1,99 м)

4. Центростремительное ускорение $a_ц$ (его модуль) можно вычислить несколькими способами. Воспользуемся формулой $a_ц = v \cdot ω$:

$a_ц = v \cdot ω = 10 \cdot 1,6\pi = 16\pi \text{ м/с}^2$ (приблизительно 50,27 м/с²)

Ответ: Линейная скорость $v = 10 \text{ м/с}$, радиус окружности $R = \frac{25}{4\pi} \text{ м}$, угловая скорость $ω = 1,6\pi \text{ рад/с}$, центростремительное ускорение $a_ц = 16\pi \text{ м/с}^2$.

Определите проекции на оси координат вектора скорости и вектора центростремительного ускорения через время, равное четверти периода обращения.

Время $\Delta t$, равное четверти периода ($T/4$), соответствует повороту радиус-вектора точки на угол $\Delta\phi$. Период обращения $T = 1/\nu$.

$\Delta\phi = \omega \Delta t = \omega \frac{T}{4} = \frac{2\pi}{T} \frac{T}{4} = \frac{\pi}{2} \text{ рад}$

Это означает, что за данное время точка, а вместе с ней и векторы скорости и ускорения, повернутся на $90^\circ$ в направлении вращения (против часовой стрелки).

1. Проекции вектора скорости через $T/4$.

Поворот вектора $\vec{v} = (v_x, v_y)$ на угол $90^\circ$ против часовой стрелки преобразует его компоненты по правилу: $(v_x, v_y) \rightarrow (-v_y, v_x)$.

Начальный вектор скорости: $\vec{v}(t_0) = (6, -8)$ м/с.

Новые проекции вектора скорости $\vec{v}'$ будут:

$v'_x = -v_y(t_0) = -(-8) = 8 \text{ м/с}$

$v'_y = v_x(t_0) = 6 \text{ м/с}$

2. Проекции вектора центростремительного ускорения через $T/4$.

Сначала найдем начальные проекции вектора ускорения $\vec{a}_ц(t_0)$. Вектор $\vec{a}_ц$ перпендикулярен вектору $\vec{v}$ и направлен к центру. При движении против часовой стрелки $\vec{v} = (-ωy, ωx)$, а $\vec{a}_ц = (-ω^2x, -ω^2y)$.

Из $v_x = -ωy_0$ и $v_y = ωx_0$ находим начальные координаты точки:

$x_0 = \frac{v_y}{ω} = \frac{-8}{1,6\pi} = -\frac{5}{\pi} \text{ м}$

$y_0 = \frac{v_x}{-ω} = \frac{6}{-1,6\pi} = -\frac{3,75}{\pi} \text{ м}$

Теперь найдем проекции начального ускорения $\vec{a}_ц(t_0) = (a_{цx}(t_0), a_{цy}(t_0))$:

$a_{цx}(t_0) = -ω^2 x_0 = -(1,6\pi)^2 \cdot (-\frac{5}{\pi}) = 2,56\pi^2 \cdot \frac{5}{\pi} = 12,8\pi \text{ м/с}^2$

$a_{цy}(t_0) = -ω^2 y_0 = -(1,6\pi)^2 \cdot (-\frac{3,75}{\pi}) = 2,56\pi^2 \cdot \frac{3,75}{\pi} = 9,6\pi \text{ м/с}^2$

Вектор ускорения $\vec{a}_ц(t_0) = (12,8\pi, 9,6\pi)$ м/с² также поворачивается на $90^\circ$ против часовой стрелки. Применяем то же правило преобразования компонент: $(a_x, a_y) \rightarrow (-a_y, a_x)$.

Новые проекции вектора ускорения $\vec{a'}_ц$ будут:

$a'_{цx} = -a_{цy}(t_0) = -9,6\pi \text{ м/с}^2$

$a'_{цy} = a_{цx}(t_0) = 12,8\pi \text{ м/с}^2$

Ответ: Проекции вектора скорости через четверть периода: $v'_x = 8 \text{ м/с}$, $v'_y = 6 \text{ м/с}$. Проекции вектора центростремительного ускорения: $a'_{цx} = -9,6\pi \text{ м/с}^2$, $a'_{цy} = 12,8\pi \text{ м/с}^2$.

9.1 [171] Почему при резком увеличении скорости автобуса пассажиры отклоняются назад, а при внезапной остановке — вперёд?

Это явление объясняется фундаментальным свойством тел, называемым инерцией. Инерция — это свойство тела сохранять свою скорость (как по величине, так и по направлению) при отсутствии внешних воздействий. Это явление описывается первым законом Ньютона.

При резком увеличении скорости автобуса
Когда автобус стоит на месте или движется с постоянной скоростью, пассажир внутри него находится в том же состоянии движения. Если автобус резко начинает движение вперед или увеличивает скорость, то на нижнюю часть тела пассажира (ноги, соприкасающиеся с полом) начинает действовать сила со стороны автобуса, заставляя ее ускоряться вместе с ним. Однако верхняя часть тела, из-за своей инерции, стремится сохранить прежнее состояние (состояние покоя или движения с меньшей скоростью). В результате этого автобус вместе с ногами пассажира «уезжает» вперед, а верхняя часть туловища отстает, что и воспринимается как отклонение назад относительно салона автобуса.

Ответ: Пассажиры отклоняются назад из-за явления инерции: их тело стремится сохранить состояние покоя, в то время как автобус начинает ускоряться.

При внезапной остановке
Аналогичная ситуация происходит при резком торможении. Автобус и пассажир движутся вперед с одинаковой скоростью. Когда водитель резко нажимает на тормоз, автобус начинает замедляться. Ноги пассажира, связанные с полом силой трения, также замедляются вместе с автобусом. Верхняя же часть тела, подчиняясь закону инерции, продолжает двигаться вперед с прежней скоростью. Из-за этого пассажира «несет» вперед по ходу движения относительно замедляющегося автобуса.

Ответ: Пассажиры отклоняются вперед из-за явления инерции: их тело стремится сохранить свою скорость и направление движения, в то время как автобус резко тормозит.

9.2 [172] Какое изменение произошло в движении речного трамвая, если его пассажиры вдруг отклонились вправо?

9.2 [172]

Решение

Данное явление объясняется свойством инерции тел, которое описывается первым законом Ньютона. Инерция — это свойство тела сохранять свою скорость (как по величине, так и по направлению) при отсутствии действия на него других тел.

Пассажиры, находясь в речном трамвае, движутся вместе с ним как единое целое. Когда трамвай резко меняет направление своего движения, например, совершает поворот, тела пассажиров по инерции стремятся продолжить движение по прямой.

Если пассажиры отклонились вправо, это означает, что их тела сохраняют первоначальную траекторию движения, в то время как сам трамвай сместился влево относительно этой траектории. Чтобы тело изменило направление своего движения и повернуло влево вместе с трамваем, на него должна подействовать сила, направленная влево (в данном случае это сила трения о сиденье, сила реакции опоры со стороны стенки и т.д.). Эта сила и является центростремительной силой. Ощущение отклонения вправо — это проявление инерции.

Следовательно, отклонение пассажиров вправо указывает на то, что речной трамвай совершил поворот налево.

Ответ: речной трамвай совершил поворот налево.

9.3 [173] Мяч, спокойно лежавший на столе вагона при равномерном движении поезда, покатился вперёд по направлению движения поезда. Какое изменение произошло в движении поезда?

Решение

Это явление объясняется законом инерции (первым законом Ньютона). Инерция — это свойство тел сохранять свою скорость при отсутствии внешних воздействий.

1. Начальное состояние: Поезд движется равномерно. Это означает, что его скорость постоянна. Мяч, лежащий на столе в вагоне, движется вместе с поездом с той же постоянной скоростью. Относительно вагона мяч находится в покое.

2. Произошедшее изменение: Мяч покатился вперёд по направлению движения поезда. Это означает, что скорость мяча относительно Земли стала на мгновение больше, чем скорость поезда.

3. Причина: Поскольку на мяч в горизонтальном направлении не действовали никакие внешние силы, которые могли бы его ускорить, он по инерции стремился сохранить свою первоначальную скорость. Если мяч покатился вперёд относительно вагона, это значит, что вагон стал двигаться медленнее. То есть, поезд начал тормозить (замедляться). Мяч, сохраняя свою прежнюю, более высокую скорость, обогнал замедляющийся пол вагона, что мы и наблюдаем как его движение вперёд.

Ответ: Поезд начал тормозить, то есть уменьшил свою скорость.

9.4° [174°]

Положите на стакан почтовую открытку, а на открытку положите монету. Ударьте по открытке щелчком (рис. II-22). Почему открытка отлетает, а монета падает в стакан?

Рис. II-22

Решение

Данное явление демонстрирует физическое свойство тел, называемое инерцией. Инерция — это свойство тела сохранять свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения при отсутствии внешних воздействий или при их компенсации. Это явление описывается первым законом Ньютона.

Изначально монета и открытка находятся в состоянии покоя. Когда мы резким щелчком ударяем по открытке, мы придаем ей значительную скорость за очень короткий промежуток времени.

Монета, лежащая на открытке, в силу своей инерции стремится сохранить свое состояние покоя. Между монетой и открыткой существует сила трения, которая могла бы заставить монету двигаться вместе с открыткой. Однако, поскольку удар резкий и взаимодействие очень кратковременно, эта сила трения не успевает сообщить монете достаточный импульс, чтобы она приобрела заметную горизонтальную скорость. Таким образом, монета практически не сдвигается с места в горизонтальном направлении.

После того как открытка выскальзывает из-под монеты, опора для монеты исчезает. На монету начинает действовать только сила тяжести, направленная вертикально вниз. В результате монета падает в стакан.

Ответ: Открытка отлетает в сторону под действием приложенной к ней силы (удара). Монета же, благодаря инерции, стремится сохранить свое состояние покоя и не успевает набрать горизонтальную скорость вместе с открыткой. Как только опора в виде открытки исчезает, монета под действием силы тяжести падает вертикально вниз в стакан.