Страница 35 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

11.1 [228] На рисунке II-34 изображены два кубика одинаковой массы: один (1) из янтаря, другой (2) из меди. У какого из кубиков масса вещества в объёме $1 \text{ см}^3$ больше и во сколько раз?

Рис. II-34

Дано:

Кубик (1) изготовлен из янтаря.
Кубик (2) изготовлен из меди.
Массы кубиков одинаковы: $m_1 = m_2$.
Плотность янтаря (справочное значение): $\rho_1 \approx 1100 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.
Плотность меди (справочное значение): $\rho_2 \approx 8900 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.

Найти:

У какого из кубиков масса вещества в объёме $1 \, \text{см}^3$ больше и во сколько раз?

Решение:

Физическая величина, показывающая массу вещества в единице объема, называется плотностью. В задаче требуется сравнить "массу вещества в объёме $1 \, \text{см}^3$" для янтаря и меди, что эквивалентно сравнению их плотностей.

Плотность $\rho$ определяется по формуле:
$\rho = \frac{m}{V}$
где $m$ — масса вещества, а $V$ — его объем.

Воспользуемся справочными данными о плотности янтаря и меди:
Плотность янтаря $\rho_1 \approx 1100 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.
Плотность меди $\rho_2 \approx 8900 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.

Сравним эти два значения:
$8900 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} > 1100 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$, следовательно, $\rho_2 > \rho_1$.
Это означает, что в одинаковом объеме масса меди больше массы янтаря. Таким образом, у медного кубика (2) масса вещества в объёме $1 \, \text{см}^3$ больше.

Теперь определим, во сколько раз масса меди в объеме $1 \, \text{см}^3$ больше массы янтаря в том же объеме. Для этого найдем отношение их плотностей:
$\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{8900 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}}{1100 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} = \frac{89}{11} \approx 8,09$

Таким образом, масса меди в объеме $1 \, \text{см}^3$ примерно в 8,09 раза больше массы янтаря в том же объеме.

Проверка: По условию, массы кубиков равны ($m_1=m_2$). Из формулы плотности объем $V = \frac{m}{\rho}$. Так как $\rho_2 > \rho_1$ и массы равны, то объем янтарного кубика $V_1$ должен быть больше объема медного кубика $V_2$. Это соответствует изображению на рисунке, где кубик (1) заметно больше кубика (2).

Ответ: Масса вещества в объеме $1 \, \text{см}^3$ больше у медного кубика (2). Она больше примерно в 8,09 раза.

11.2 [229] Из двух медных заклёпок первая имеет вдвое большую массу, чем вторая.

Чему равно отношение объёмов этих тел?

Дано:

$m_1$ – масса первой медной заклёпки
$m_2$ – масса второй медной заклёпки
$V_1$ – объём первой заклёпки
$V_2$ – объём второй заклёпки
$\rho$ – плотность меди
$m_1 = 2 \cdot m_2$

Найти:

Отношение объёмов $\frac{V_1}{V_2}$

Решение:

Масса, объём и плотность тела связаны соотношением: $ \rho = \frac{m}{V} $

Из этой формулы можно выразить объём тела: $ V = \frac{m}{\rho} $

Запишем формулы для объёма первой и второй заклёпок:

$ V_1 = \frac{m_1}{\rho} $
$ V_2 = \frac{m_2}{\rho} $

Так как обе заклёпки изготовлены из меди, их плотности $\rho$ одинаковы.

Чтобы найти отношение объёмов, разделим объём первой заклёпки на объём второй: $ \frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{m_1}{\rho}}{\frac{m_2}{\rho}} $

Упростим выражение, сократив плотность $\rho$: $ \frac{V_1}{V_2} = \frac{m_1}{m_2} $

По условию задачи известно, что масса первой заклёпки вдвое больше массы второй, то есть $m_1 = 2 \cdot m_2$. Отсюда следует, что отношение масс $\frac{m_1}{m_2} = 2$.

Подставим это значение в полученное выражение для отношения объёмов: $ \frac{V_1}{V_2} = 2 $

Ответ: отношение объёма первой заклёпки к объёму второй равно 2.

11.3 [230] Диаметры алюминиевого и парафинового шаров одинаковы. Какой из них имеет меньшую массу и во сколько раз?

Дано:

Плотность алюминия $\rho_{Al} = 2700 \text{ кг/м}^3$.

Плотность парафина $\rho_{пар} = 900 \text{ кг/м}^3$.

Диаметры шаров одинаковы: $d_{Al} = d_{пар}$.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Определить шар с меньшей массой и найти, во сколько раз она меньше.

Решение:

Масса тела определяется по формуле $m = \rho \cdot V$, где $\rho$ — плотность вещества, а $V$ — объем тела.

Объем шара вычисляется через его диаметр $d$ по формуле:

$V = \frac{1}{6}\pi d^3$

Поскольку по условию задачи диаметры алюминиевого и парафинового шаров одинаковы ($d_{Al} = d_{пар}$), их объемы также будут равны. Обозначим этот объем как $V$.

Тогда массы алюминиевого ($m_{Al}$) и парафинового ($m_{пар}$) шаров можно записать как:

$m_{Al} = \rho_{Al} \cdot V$

$m_{пар} = \rho_{пар} \cdot V$

При одинаковых объемах, меньшую массу будет иметь тело из вещества с меньшей плотностью. Сравним плотности алюминия и парафина:

$\rho_{Al} = 2700 \text{ кг/м}^3$

$\rho_{пар} = 900 \text{ кг/м}^3$

Поскольку $\rho_{пар} < \rho_{Al}$, то и масса парафинового шара меньше массы алюминиевого ($m_{пар} < m_{Al}$).

Чтобы найти, во сколько раз масса алюминиевого шара больше массы парафинового, найдем отношение их масс:

$\frac{m_{Al}}{m_{пар}} = \frac{\rho_{Al} \cdot V}{\rho_{пар} \cdot V}$

Так как объемы $V$ равны, они сокращаются:

$\frac{m_{Al}}{m_{пар}} = \frac{\rho_{Al}}{\rho_{пар}}$

Подставим числовые значения плотностей:

$\frac{m_{Al}}{m_{пар}} = \frac{2700 \text{ кг/м}^3}{900 \text{ кг/м}^3} = 3$

Ответ: меньшую массу имеет парафиновый шар; его масса в 3 раза меньше массы алюминиевого шара.

11.4 [231] С помощью весов мальчик определил, что стакан, заполненный водой, имеет большую массу, чем тот же стакан, заполненный подсолнечным маслом, но меньшую, чем заполненный молоком. Какая из этих жидкостей имеет наибольшую плотность, а какая — наименьшую?

Дано:
Пусть $M_{воды}$, $M_{масла}$ и $M_{молока}$ — это общие массы стакана, заполненного водой, подсолнечным маслом и молоком соответственно. Масса пустого стакана — $m_{ст}$. Объем жидкости, заполняющей стакан, одинаков во всех случаях и равен $V$. По условию задачи:
$M_{воды} > M_{масла}$
$M_{воды} < M_{молока}$

Найти:
Какая из жидкостей имеет наибольшую плотность ($\rho_{max}$), а какая — наименьшую ($\rho_{min}$).

Решение:
Масса стакана с жидкостью равна сумме массы пустого стакана $m_{ст}$ и массы налитой в него жидкости $m_{жидк}$: $M = m_{ст} + m_{жидк}$. Масса жидкости связана с её плотностью $\rho$ и объемом $V$ формулой: $m_{жидк} = \rho \cdot V$. Следовательно, общая масса стакана с жидкостью выражается как $M = m_{ст} + \rho \cdot V$.

Рассмотрим первое неравенство из условия: $M_{воды} > M_{масла}$.
Подставим в него выражение для массы:
$m_{ст} + \rho_{воды} \cdot V > m_{ст} + \rho_{масла} \cdot V$
Поскольку масса стакана $m_{ст}$ в обеих частях неравенства одинакова, мы можем ее сократить:
$\rho_{воды} \cdot V > \rho_{масла} \cdot V$
Объем $V$ — положительная и одинаковая величина, поэтому мы можем разделить на него обе части неравенства, не меняя знака:
$\rho_{воды} > \rho_{масла}$
Таким образом, плотность воды больше плотности подсолнечного масла.

Теперь рассмотрим второе неравенство: $M_{воды} < M_{молока}$.
Проведем аналогичные преобразования:
$m_{ст} + \rho_{воды} \cdot V < m_{ст} + \rho_{молока} \cdot V$
Сокращаем массу стакана $m_{ст}$:
$\rho_{воды} \cdot V < \rho_{молока} \cdot V$
Делим на объем $V$:
$\rho_{воды} < \rho_{молока}$
Следовательно, плотность воды меньше плотности молока.

Объединив полученные результаты, мы можем расположить плотности всех трех жидкостей в порядке возрастания:
$\rho_{масла} < \rho_{воды} < \rho_{молока}$

Из этого соотношения видно, что наименьшую плотность имеет подсолнечное масло, а наибольшую — молоко.

Ответ: наибольшую плотность имеет молоко, а наименьшую — подсолнечное масло.

11.5 [232] На чашах уравновешенных весов лежат кубики (рис. II-35). Одинаковы ли плотности веществ, из которых сделаны кубики?

Рис. II-35

Дано:

На чашах весов находятся два кубика. Весы находятся в равновесии, это означает, что массы кубиков равны.

Масса первого (левого) кубика: $m_1$

Масса второго (правого) кубика: $m_2$

Условие равновесия: $m_1 = m_2$

Из рисунка видно, что объем первого кубика ($V_1$) больше объема второго кубика ($V_2$): $V_1 > V_2$.

Найти:

Одинаковы ли плотности веществ $\rho_1$ и $\rho_2$, из которых сделаны кубики?

Решение:

Масса тела связана с его плотностью и объемом соотношением $m = \rho \cdot V$.

Запишем это выражение для каждого кубика:

Масса левого кубика: $m_1 = \rho_1 \cdot V_1$

Масса правого кубика: $m_2 = \rho_2 \cdot V_2$

Поскольку весы находятся в равновесии, массы кубиков равны:

$m_1 = m_2$

Приравняем выражения для масс:

$\rho_1 \cdot V_1 = \rho_2 \cdot V_2$

Из этого равенства можно выразить отношение плотностей:

$\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{V_2}{V_1}$

Из условия, основанного на рисунке, мы знаем, что $V_1 > V_2$. Это означает, что знаменатель дроби в правой части уравнения больше числителя. Следовательно, значение этой дроби меньше единицы:

$\frac{V_2}{V_1} < 1$

А раз правая часть уравнения меньше единицы, то и левая его часть также меньше единицы:

$\frac{\rho_1}{\rho_2} < 1$

Из этого неравенства следует, что $\rho_1 < \rho_2$.

Таким образом, плотность материала, из которого сделан левый (больший по объему) кубик, меньше плотности материала, из которого сделан правый (меньший по объему) кубик.

Ответ: Плотности веществ, из которых сделаны кубики, не одинаковы. Плотность вещества большего кубика меньше плотности вещества меньшего кубика.

11.6 [233] В один из двух одинаковых сосудов (рис. II-36) налили воду (сосуд слева), в другой — раствор серной кислоты (сосуд справа) такой же массы. Какая жидкость имеет большую плотность? На основании чего вы делаете вывод?

Рис. II-36

Дано:

$m_1$ – масса воды (жидкость в левом сосуде)
$m_2$ – масса раствора серной кислоты (жидкость в правом сосуде)
$m_1 = m_2 = m$
$V_1$ – объем воды
$V_2$ – объем раствора серной кислоты
Сосуды одинаковые, то есть имеют одинаковую площадь основания $S$.
Из рисунка видно, что высота столба воды $h_1$ больше высоты столба раствора серной кислоты $h_2$: $h_1 > h_2$.

Найти:

Сравнить плотности жидкостей: $\rho_1$ (плотность воды) и $\rho_2$ (плотность раствора серной кислоты).

Решение:

Плотность вещества определяется по формуле: $ \rho = \frac{m}{V} $ где $m$ – масса вещества, а $V$ – его объем.

Для воды плотность равна: $ \rho_1 = \frac{m_1}{V_1} $

Для раствора серной кислоты плотность равна: $ \rho_2 = \frac{m_2}{V_2} $

По условию задачи массы жидкостей одинаковы: $m_1 = m_2 = m$. Тогда формулы для плотностей можно переписать так: $ \rho_1 = \frac{m}{V_1} $ и $ \rho_2 = \frac{m}{V_2} $

Объем жидкости в цилиндрическом сосуде можно найти по формуле $V = S \cdot h$, где $S$ – площадь дна сосуда, а $h$ – высота столба жидкости. Поскольку сосуды одинаковые, площади их оснований равны ($S_1 = S_2 = S$). Из рисунка видно, что уровень воды в левом сосуде выше, чем уровень раствора серной кислоты в правом. Следовательно, $h_1 > h_2$. Тогда объем воды $V_1 = S \cdot h_1$ будет больше объема раствора серной кислоты $V_2 = S \cdot h_2$, то есть $V_1 > V_2$.

Теперь сравним плотности. Мы сравниваем две дроби с одинаковым числителем $m$. Та дробь будет меньше, у которой знаменатель больше. Поскольку $V_1 > V_2$, то $\frac{m}{V_1} < \frac{m}{V_2}$. Следовательно, $\rho_1 < \rho_2$.

Таким образом, плотность раствора серной кислоты больше плотности воды. Вывод сделан на основании того, что при одинаковой массе жидкости занимают разный объем. Жидкость, занимающая меньший объем (раствор серной кислоты), имеет большую плотность. Сравнение объемов произведено визуально по высоте уровней жидкостей в одинаковых сосудах.

Ответ: большую плотность имеет раствор серной кислоты. Вывод основан на определении плотности ($\rho = m/V$). Так как по условию массы жидкостей равны, а из рисунка видно, что объем раствора серной кислоты меньше объема воды, то его плотность оказывается больше.

11.7 [234] На одной чаше весов (рис. II-37) стоит брусок из свинца, на другой — из олова. На какой чаше находится свинцовый брусок?

Рис. II-37

Дано:

Брусок из свинца ($\text{Pb}$)
Брусок из олова ($\text{Sn}$)
Плотность свинца: $\rho_{свинца} = 11340 \, \text{кг/м}^3$
Плотность олова: $\rho_{олова} = 7310 \, \text{кг/м}^3$
Из рисунка II-37 следует, что левая чаша весов перевешивает правую, а объем бруска на левой чаше меньше объема бруска на правой.

Найти:

На какой чаше весов находится свинцовый брусок?

Решение:

Масса тела связана с его плотностью и объемом формулой: $m = \rho \cdot V$ где $m$ - масса, $\rho$ - плотность, $V$ - объем.

Из рисунка видно, что левая чаша весов находится ниже правой. Это означает, что масса бруска на левой чаше ($m_л$) больше массы бруска на правой чаше ($m_п$): $m_л > m_п$

Также из рисунка видно, что объем бруска на левой чаше ($V_л$) меньше объема бруска на правой чаше ($V_п$): $V_л < V_п$

Подставим формулу массы в неравенство для масс: $\rho_л \cdot V_л > \rho_п \cdot V_п$ где $\rho_л$ и $\rho_п$ - плотности брусков на левой и правой чашах соответственно.

Из этого неравенства выразим отношение плотностей: $\frac{\rho_л}{\rho_п} > \frac{V_п}{V_л}$

Поскольку мы знаем, что $V_л < V_п$, то отношение $\frac{V_п}{V_л} > 1$. Следовательно, для выполнения неравенства необходимо, чтобы плотность бруска на левой чаше была больше плотности бруска на правой чаше: $\rho_л > \rho_п$

Сравним плотности свинца и олова. Плотность свинца ($\rho_{свинца} = 11340 \, \text{кг/м}^3$) больше плотности олова ($\rho_{олова} = 7310 \, \text{кг/м}^3$).

Таким образом, на левой чаше, где находится тело с меньшим объемом, но большей массой, должен быть материал с большей плотностью, то есть свинец. На правой чаше находится брусок из олова.

Ответ: Свинцовый брусок находится на левой чаше весов.

11.8 [235] На чашах весов (рис. II-38) находятся одинаковые по объёму бруски из железа и чугуна. На какой чаше находится железный брусок?

Рис. II-38

Дано:

Найти:

Определить, на какой чаше весов находится железный брусок.

Решение:

Масса тела связана с его объемом и плотностью соотношением $m = \rho \cdot V$.

Поскольку по условию задачи объемы ($V$) железного и чугунного брусков одинаковы, масса того бруска будет больше, у которого больше плотность вещества.

Сравним плотности железа и чугуна, используя справочные данные:

$\rho_ж \approx 7800 \text{ кг/м}^3$

$\rho_ч \approx 7200 \text{ кг/м}^3$

Так как $\rho_ж > \rho_ч$, то и масса железного бруска будет больше массы чугунного бруска:

$m_ж > m_ч$

На рисунке II-38 показаны рычажные весы, левая чаша которых перевесила правую. Это означает, что масса груза на левой чаше больше, чем на правой.

Поскольку масса железного бруска больше массы чугунного, именно железный брусок находится на левой, опустившейся, чаше весов.

Ответ: железный брусок находится на левой чаше весов.