Страница 39 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

11.51 [278] Какой путь может проехать автомобиль после заправки, если на 100 км пути его двигатель расходует 10 кг бензина, а вместимость топливного бака равна 60 л?

Дано:

Путь $S_1 = 100$ км
Расход массы бензина $m_1 = 10$ кг
Вместимость бака $V = 60$ л
Плотность бензина (справочное значение) $\rho \approx 750$ кг/м³

$S_1 = 100 \text{ км} = 100 \cdot 10^3 \text{ м} = 100000 \text{ м}$
$V = 60 \text{ л} = 60 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 0.06 \text{ м}^3$

Найти:

$S$ — ?

Решение:

1. Сначала определим массу бензина, которая помещается в полностью заправленный топливный бак. Массу можно найти, зная объем и плотность вещества, по формуле:

$m = \rho \cdot V$

Подставим известные значения в систему СИ:

$m = 750 \text{ кг/м}^3 \cdot 0.06 \text{ м}^3 = 45$ кг

Таким образом, в бак вмещается 45 кг бензина.

2. Теперь, зная, что на 100 км пути расходуется 10 кг бензина, можно составить пропорцию для нахождения максимального пути $S$, который автомобиль может проехать на 45 кг бензина:

$\frac{S_1}{m_1} = \frac{S}{m}$

Выразим из этой пропорции искомый путь $S$:

$S = \frac{S_1 \cdot m}{m_1}$

Подставим числовые значения:

$S = \frac{100 \text{ км} \cdot 45 \text{ кг}}{10 \text{ кг}} = 10 \cdot 45 \text{ км} = 450$ км

Ответ: автомобиль может проехать 450 км.

11.52 [279] Чтобы жесть, используемая для изготовления консервных банок, не ржавела, её покрывают тонким слоем олова (лудят) из расчёта 0,45 г олова на 200 $ \text{см}^2 $ площади жести. Чему равна толщина слоя олова?

Дано

$m = 0,45 \text{ г} = 0,45 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$
$S = 200 \text{ см}^2 = 200 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 2 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2$
Плотность олова (из справочника): $\rho = 7300 \text{ кг/м}^3$

Найти:

$h$ - ?

Решение

Массу слоя олова можно выразить через его плотность $\rho$ и объем $V$ по формуле:

$m = \rho \cdot V$

Объем тонкого слоя олова можно рассчитать как произведение его площади $S$ на толщину $h$:

$V = S \cdot h$

Подставим выражение для объема в формулу для массы:

$m = \rho \cdot S \cdot h$

Из этой формулы выразим искомую толщину слоя $h$:

$h = \frac{m}{\rho \cdot S}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ и произведем вычисления:

$h = \frac{0,45 \cdot 10^{-3} \text{ кг}}{7300 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 2 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2} = \frac{0,45 \cdot 10^{-3}}{14600 \cdot 10^{-2}} \text{ м} = \frac{0,45 \cdot 10^{-3}}{146} \text{ м} \approx 0,00308 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Переведем результат в более удобные единицы - микрометры (мкм), зная что $1 \text{ мкм} = 10^{-6} \text{ м}$:

$h \approx 3,08 \cdot 10^{-6} \text{ м} \approx 3,1 \text{ мкм}$

Ответ: толщина слоя олова равна примерно $3,1 \cdot 10^{-6}$ м или $3,1$ мкм.

11.53 [280] Как можно, не разматывая, определить длину медного провода, свёрнутого в моток?

Чтобы определить длину медного провода в мотке, не разматывая его, можно использовать метод, основанный на физических свойствах меди. Для этого необходимо измерить массу всего провода, его диаметр и использовать известное значение плотности меди.

Дано:

Найти:

Решение:

Порядок действий будет следующим. Во-первых, нужно измерить массу $m$ всего мотка провода с помощью весов. Во-вторых, необходимо измерить диаметр $d$ провода с помощью микрометра или штангенциркуля. Измерение диаметра следует провести на доступном конце провода для большей точности.

Объем всего провода $V$ можно выразить через его массу $m$ и плотность материала $\rho$ по формуле:

$V = \frac{m}{\rho}$

С другой стороны, провод можно рассматривать как очень длинный цилиндр. Его объем $V$ равен произведению площади его поперечного сечения $S$ на длину $l$:

$V = S \cdot l$

Площадь поперечного сечения $S$ провода (площадь круга) вычисляется через измеренный диаметр $d$:

$S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

Подставив выражение для площади в формулу объема, получаем:

$V = \frac{\pi d^2 l}{4}$

Теперь мы можем приравнять два выражения для объема, чтобы связать известные и измеренные величины с искомой длиной $l$:

$\frac{m}{\rho} = \frac{\pi d^2 l}{4}$

Из этого равенства выражаем искомую длину провода $l$:

$l = \frac{4m}{\rho \pi d^2}$

Таким образом, проведя два измерения (массы и диаметра) и используя табличное значение плотности меди, можно рассчитать общую длину провода в мотке.

Стоит отметить, что существует и альтернативный метод, основанный на измерении электрического сопротивления. Для этого измеряют полное сопротивление мотка $R$ омметром и, зная удельное сопротивление меди $\rho_{el}$, находят длину по формуле $l = \frac{R \cdot S}{\rho_{el}} = \frac{R \pi d^2}{4 \rho_{el}}$.

Ответ:

Для определения длины медного провода, не разматывая моток, необходимо измерить его массу $m$ и диаметр $d$. Зная табличное значение плотности меди $\rho$, длину провода $l$ можно найти по формуле $l = \frac{4m}{\rho \pi d^2}$.

11.54 [281] Определите объём воды, которая выльется из отливного стакана, если в него опустить свинцовую дробь массой 684 г.

Дано:

Масса свинцовой дроби $m = 684 \text{ г}$

Плотность свинца $\rho_{св} = 11400 \text{ кг/м}^3$ (табличное значение)

Найти:

Объём вылившейся воды $V_{в}$

Решение:

По закону Архимеда, объём жидкости, вытесненной телом, которое полностью в неё погружено, равен объёму этого тела. Отливной стакан наполнен водой до краев, поэтому при погружении в него свинцовой дроби, объём вылившейся воды $V_{в}$ будет в точности равен объёму самой дроби $V_{св}$.

$V_{в} = V_{св}$

Объём тела можно найти, зная его массу $m$ и плотность $\rho$. Формула плотности выглядит так:

$\rho = \frac{m}{V}$

Из этой формулы выразим объём:

$V = \frac{m}{\rho}$

Теперь мы можем рассчитать объём свинцовой дроби, используя её массу в системе СИ и табличное значение плотности свинца:

$V_{св} = \frac{m}{\rho_{св}} = \frac{0.684 \text{ кг}}{11400 \text{ кг/м}^3} = 0.00006 \text{ м}^3$

Так как объём вылившейся воды равен объёму дроби, то $V_{в} = 0.00006 \text{ м}^3$.

Для наглядности можно перевести этот объём в более привычные единицы — кубические сантиметры ($см^3$). Учитывая, что $1 \text{ м}^3 = 1 \ 000 \ 000 \text{ см}^3$:

$V_{в} = 0.00006 \text{ м}^3 \cdot 1 \ 000 \ 000 \frac{\text{см}^3}{\text{м}^3} = 60 \text{ см}^3$

Ответ: объём воды, которая выльется из отливного стакана, составляет $60 \text{ см}^3$ (что эквивалентно $6 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3$).

11.55 [282] Для промывки медной детали массой 17,8 кг её опустили в бак с керосином. Определите массу керосина, вытесненного этой деталью.

Дано:

$m_{д} = 17,8$ кг (масса медной детали)

$\rho_{м} = 8900$ кг/м$^3$ (плотность меди, табличное значение)

$\rho_{к} = 800$ кг/м$^3$ (плотность керосина, табличное значение)

Найти:

$m_{к}$ — ?

Решение:

Согласно принципу Архимеда, тело, полностью погруженное в жидкость, вытесняет объем жидкости, равный своему собственному объему. Чтобы найти массу вытесненного керосина, нам сначала нужно определить объем медной детали.

1. Найдем объем медной детали ($V_{д}$) по формуле, связывающей массу, плотность и объем: $\rho = \frac{m}{V}$. Отсюда объем равен $V = \frac{m}{\rho}$.

$V_{д} = \frac{m_{д}}{\rho_{м}}$

Подставим числовые значения:

$V_{д} = \frac{17,8 \text{ кг}}{8900 \text{ кг/м}^3} = 0,002 \text{ м}^3$

2. Объем вытесненного керосина ($V_{к}$) равен объему медной детали, так как деталь полностью погружена в керосин.

$V_{к} = V_{д} = 0,002 \text{ м}^3$

3. Теперь, зная объем и плотность вытесненного керосина, можем найти его массу ($m_{к}$).

$m_{к} = \rho_{к} \cdot V_{к}$

Подставим значения и произведем расчет:

$m_{к} = 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0,002 \text{ м}^3 = 1,6 \text{ кг}$

Ответ: масса керосина, вытесненного деталью, равна 1,6 кг.

11.56* [283*] Сколько потребуется железнодорожных цистерн для перевозки $1000 \text{ т}$ нефти, если вместимость каждой цистерны $50 \text{ м}^3$?

Дано:

Масса нефти $m_{общ} = 1000$ т

Вместимость одной цистерны $V_1 = 50$ м³

Для решения задачи необходимо использовать справочное значение плотности нефти. Плотность нефти может варьироваться, но для расчетов примем среднее значение $\rho \approx 800$ кг/м³.

Переведем данные в систему СИ:

$m_{общ} = 1000 \text{ т} = 1000 \cdot 1000 \text{ кг} = 10^6$ кг

$V_1 = 50$ м³

$\rho = 800$ кг/м³

Найти:

$N$ — количество цистерн.

Решение:

1. Найдем общий объем нефти ($V_{общ}$), который необходимо перевезти. Для этого воспользуемся формулой связи массы, плотности и объема:

$\rho = \frac{m}{V} \Rightarrow V = \frac{m}{\rho}$

Подставим значения для всей массы нефти:

$V_{общ} = \frac{m_{общ}}{\rho} = \frac{10^6 \text{ кг}}{800 \text{ кг/м}^3} = 1250$ м³

2. Теперь, зная общий объем нефти и вместимость одной цистерны, найдем требуемое количество цистерн ($N$). Для этого разделим общий объем на объем одной цистерны:

$N = \frac{V_{общ}}{V_1}$

Подставим числовые значения:

$N = \frac{1250 \text{ м}^3}{50 \text{ м}^3} = 25$

Поскольку мы получили целое число, это и есть необходимое количество цистерн.

Ответ: потребуется 25 железнодорожных цистерн.

12.1 [Д. 25] С каким ускорением двигалась бы хоккейная шайба по идеально гладкому льду после удара клюшкой? Взаимодействует ли шайба с какими-либо телами? Чему равна равнодействующая сила?

С каким ускорением двигалась бы хоккейная шайба по идеально гладкому льду после удара клюшкой?

Согласно первому закону Ньютона (закону инерции), если на тело не действуют силы или их действие скомпенсировано, то тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. В ситуации, описанной в задаче, движение шайбы происходит после удара клюшкой, поэтому сила со стороны клюшки уже не действует. На шайбу, скользящую по горизонтальной поверхности, действуют две силы в вертикальном направлении:
1. Сила тяжести ($\vec{F}_т$), направленная вниз.
2. Сила нормальной реакции опоры со стороны льда ($\vec{N}$), направленная вверх.
Поскольку шайба не движется по вертикали (не взлетает и не проваливается под лед), эти силы уравновешивают (компенсируют) друг друга: $\vec{F}_т + \vec{N} = 0$. В горизонтальном направлении, по условию, лед "идеально гладкий", что означает отсутствие силы трения. Сопротивлением воздуха также пренебрегаем. Таким образом, в горизонтальном направлении на шайбу не действуют никакие силы. Следовательно, равнодействующая всех сил, приложенных к шайбе, равна нулю: $\vec{F}_{равн} = 0$. Согласно второму закону Ньютона, ускорение тела ($\vec{a}$) связано с равнодействующей силой ($\vec{F}_{равн}$) и массой тела ($m$) соотношением $\vec{F}_{равн} = m\vec{a}$. Так как $\vec{F}_{равн} = 0$, то и ускорение шайбы равно нулю: $\vec{a} = \frac{\vec{F}_{равн}}{m} = \frac{0}{m} = 0$. Нулевое ускорение означает, что скорость шайбы не изменяется, то есть она движется равномерно и прямолинейно.

Ответ: ускорение хоккейной шайбы равно нулю ($a=0$).

Взаимодействует ли шайба с какими-либо телами?

Да, шайба взаимодействует с другими телами. Несмотря на то, что равнодействующая сила равна нулю, это не означает отсутствия взаимодействий. В данном случае шайба взаимодействует:
1. с Землей, которая притягивает ее (это взаимодействие проявляется как сила тяжести);
2. со льдом, который действует на нее с силой реакции опоры, перпендикулярной поверхности. Именно потому, что эти взаимодействия есть и создаваемые ими силы компенсируют друг друга, равнодействующая сила и оказывается равной нулю.

Ответ: да, шайба взаимодействует с Землей и со льдом.

Чему равна равнодействующая сила?

Равнодействующая сила — это векторная сумма всех сил, действующих на тело. Как было показано выше, на шайбу действуют две силы: сила тяжести $\vec{F}_т$ (вниз) и сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ (вверх). В идеальных условиях, описанных в задаче, горизонтальные силы отсутствуют. Силы $\vec{F}_т$ и $\vec{N}$ равны по модулю и противоположны по направлению. Поэтому их векторная сумма равна нулю. $\vec{F}_{равн} = \vec{F}_т + \vec{N} = 0$.

Ответ: равнодействующая сила, действующая на шайбу, равна нулю.

12.2 [н] Почему в известной басне И. А. Крылова лебедь, рак и щука при всём старании не смогли сдвинуть воз с места?

12.2 [Н]

Решение

Эта известная басня является прекрасной иллюстрацией физического закона сложения сил. Чтобы тело начало двигаться, на него должна действовать результирующая (или равнодействующая) сила, которая не равна нулю. Сила — это векторная величина, она имеет не только модуль (величину), но и направление.

В басне И. А. Крылова герои тянут воз в разные стороны:

• Лебедь «рвется в облака», то есть прикладывает силу $\vec{F}_{Л}$, направленную вертикально вверх.
• Рак «пятится назад», то есть его сила $\vec{F}_{Р}$ направлена горизонтально назад.
• Щука «тянет в воду», то есть её сила $\vec{F}_{Щ}$ направлена горизонтально вбок.

Чтобы воз сдвинулся, векторная сумма всех приложенных сил, называемая равнодействующей силой $\vec{R}$, должна быть больше силы трения покоя. Равнодействующая сила находится по правилу сложения векторов:

$\vec{R} = \vec{F}_{Л} + \vec{F}_{Р} + \vec{F}_{Щ}$

Так как все три силы направлены в разные, практически перпендикулярные друг другу стороны, их совместное действие не приводит к желаемому результату. Сила лебедя, направленная вверх, лишь немного уменьшает давление воза на землю и, как следствие, силу трения, но не помогает двигать его вперёд. Силы рака и щуки действуют в горизонтальной плоскости, но в разных направлениях, и их векторная сумма оказывается либо равной нулю, либо слишком малой, чтобы преодолеть силу трения покоя. Таким образом, из-за отсутствия согласованности в действиях и разнонаправленности сил воз остаётся на месте.

Ответ: Лебедь, рак и щука не смогли сдвинуть воз с места, потому что прикладывали свои силы в разных направлениях. Векторная сумма (равнодействующая) этих сил была равна нулю или оказалась недостаточной для преодоления силы трения покоя воза.

12.3 [н] Найдите ошибку в логике следующих рассуждений: карусель вращается с постоянной скоростью, значит, ускорение равно $0$, следовательно, равнодействующая сила также равна $0$.

Решение

Ошибка в представленных рассуждениях заключается в неверном отождествлении понятий «скорость» (как скалярной величины, модуля вектора) и «вектор скорости» применительно к криволинейному движению.

1. В утверждении «карусель вращается с постоянной скоростью» имеется в виду, что модуль (численное значение) скорости постоянен. Однако скорость в физике — это векторная величина $\vec{v}$, которая имеет как модуль, так и направление. При вращательном движении по окружности направление вектора скорости любой точки карусели непрерывно изменяется, так как он всегда направлен по касательной к траектории движения.

2. Ускорение ($\vec{a}$) — это векторная величина, определяющая быстроту изменения вектора скорости, а не только его модуля. Так как направление вектора скорости $\vec{v}$ постоянно меняется, то сам вектор скорости не является постоянным, а значит, его изменение $\Delta\vec{v}$ отлично от нуля. Следовательно, ускорение $\vec{a} = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$ также не равно нулю.

3. При равномерном движении по окружности тело всегда имеет ускорение, называемое центростремительным (или нормальным). Оно характеризует изменение скорости по направлению и всегда направлено к центру окружности. Его модуль равен $a_ц = \frac{v^2}{R}$, где $v$ — модуль скорости, а $R$ — радиус окружности. Поскольку карусель вращается ($v>0$), то и центростремительное ускорение отлично от нуля. Таким образом, вывод «ускорение равно 0» является ложным.

4. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сила $\vec{F}_{равн}$ связана с ускорением соотношением $\vec{F}_{равн} = m\vec{a}$. Так как ускорение не равно нулю ($\vec{a} = \vec{a}_ц \neq 0$), то и равнодействующая сила, приложенная к любой части вращающейся карусели, также не может быть равна нулю. Эта ненулевая сила является центростремительной силой, она и заставляет тело отклоняться от прямолинейной траектории и двигаться по окружности.

Ответ:

Логическая ошибка заключается в неверном выводе о том, что ускорение равно нулю, если модуль скорости постоянен. При движении по окружности (вращении) направление вектора скорости постоянно изменяется, что по определению означает наличие ненулевого ускорения (центростремительного). Согласно второму закону Ньютона, если ускорение не равно нулю, то и равнодействующая сила не равна нулю.

12.4 [н] С каким ускорением движется тело массой 300 г под действием постоянной силы, равной 3 Н?

Дано:

Масса тела $m = 300 \text{ г}$
Сила $F = 3 \text{ Н}$

Перевод данных в систему СИ:
$m = 300 \text{ г} = 0.3 \text{ кг}$

Найти:

Ускорение $a$

Решение:

Для определения ускорения тела воспользуемся вторым законом Ньютона. Этот закон устанавливает связь между силой, действующей на тело, массой этого тела и его ускорением.

Формула второго закона Ньютона выглядит следующим образом:

$F = m \cdot a$

Из этой формулы необходимо выразить искомую величину — ускорение $a$:

$a = \frac{F}{m}$

Теперь подставим в формулу числовые значения из условия задачи, используя массу в килограммах:

$a = \frac{3 \text{ Н}}{0.3 \text{ кг}} = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Ответ: ускорение тела равно $10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

12.5 [319] Поезд массой 500 т, трогаясь с места, через 25 с набрал скорость 18 км/ч. Определите равнодействующую сил, действующих на поезд.

Дано:

Перевод в систему СИ:

Найти:

Решение:

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение.

$F = m \cdot a$

Поскольку поезд начинает движение из состояния покоя и движется с постоянным ускорением (так как равнодействующая сила постоянна), мы можем найти ускорение поезда, используя формулу для равноускоренного движения:

$a = \frac{v - v_0}{t}$

Подставим числовые значения в систему СИ, чтобы рассчитать ускорение:

$a = \frac{5 \text{ м/с} - 0 \text{ м/с}}{25 \text{ с}} = \frac{5}{25} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 0.2 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Теперь, зная массу поезда и его ускорение, мы можем определить равнодействующую силу:

$F = 500000 \text{ кг} \cdot 0.2 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 100000 \text{ Н}$

Полученное значение можно выразить в килоньютонах (кН), зная, что 1 кН = 1000 Н:

$F = 100000 \text{ Н} = 100 \text{ кН}$

Ответ: равнодействующая сила, действующая на поезд, равна 100000 Н или 100 кН.

12.6 [318] Какую скорость приобретает тело массой 3 кг под действием силы, равной 9 Н, по истечении 5 с?

Дано:

Масса тела, $m = 3$ кг
Действующая сила, $F = 9$ Н
Время действия силы, $t = 5$ с
Начальная скорость, $v_0 = 0$ (предполагается, что тело начинает движение из состояния покоя)

Все данные предоставлены в Международной системе единиц (СИ).

Найти:

Скорость тела, $v$

Решение:

Для определения скорости тела воспользуемся вторым законом Ньютона и формулой для скорости при равноускоренном прямолинейном движении.

1. Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение:
$F = m \cdot a$
Из этого закона мы можем выразить ускорение $a$:
$a = \frac{F}{m}$
Подставим известные значения в формулу:
$a = \frac{9 \text{ Н}}{3 \text{ кг}} = 3 \text{ м/с}^2$

2. Движение тела под действием постоянной силы является равноускоренным. Скорость тела при равноускоренном движении определяется по формуле:
$v = v_0 + a \cdot t$
Поскольку тело начинает движение из состояния покоя, его начальная скорость $v_0$ равна нулю. Тогда формула принимает вид:
$v = a \cdot t$
Подставим найденное значение ускорения и данное в условии время:
$v = 3 \text{ м/с}^2 \cdot 5 \text{ с} = 15 \text{ м/с}$

Ответ: тело приобретает скорость 15 м/с.