Страница 42 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

12.25 [Д. 40] В одном из кинофильмов персонажу надо было перебросить записку через бурный ручей шириной $L$. Он привязал записку к камню массой $m$, раскрутил камень на верёвке длиной $l$ в горизонтальной плоскости над головой и отпустил в нужный момент. Камень, двигаясь практически прямолинейно, перелетел через ручей за время $t$. Определите центростремительное ускорение и силу, с которой верёвка действовала на камень в процессе вращения.

Дано

Ширина ручья: $L$

Масса камня: $m$

Длина верёвки: $l$

Время полета: $t$

Найти:

Центростремительное ускорение: $a_c$

Силу, с которой верёвка действовала на камень: $F$

Решение

В момент, когда персонаж отпускает камень, тот имеет некоторую линейную (тангенциальную) скорость $v$. После этого камень летит "практически прямолинейно", что позволяет нам считать его движение равномерным. Он преодолевает расстояние $L$ (ширину ручья) за время $t$. Следовательно, его скорость можно рассчитать как:

$v = \frac{L}{t}$

Эта скорость $v$ и есть та линейная скорость, которую имел камень в момент вращения по окружности.

Центростремительное ускорение

Во время вращения на верёвке камень движется по окружности. Радиус этой окружности равен длине верёвки $l$. Центростремительное ускорение $a_c$ связано с линейной скоростью $v$ и радиусом $r$ соотношением:

$a_c = \frac{v^2}{r}$

Подставим в эту формулу $v = \frac{L}{t}$ и $r = l$:

$a_c = \frac{(L/t)^2}{l} = \frac{L^2 / t^2}{l} = \frac{L^2}{l t^2}$

Ответ: $a_c = \frac{L^2}{l t^2}$

Сила, с которой верёвка действовала на камень в процессе вращения

Согласно второму закону Ньютона, сила, сообщающая телу ускорение, равна произведению массы тела на это ускорение. В данном случае сила, с которой верёвка действует на камень (сила натяжения), и есть та сила, которая создаёт центростремительное ускорение.

$F = m \cdot a_c$

Подставим найденное ранее выражение для центростремительного ускорения $a_c$:

$F = m \cdot \frac{L^2}{l t^2} = \frac{m L^2}{l t^2}$

Ответ: $F = \frac{m L^2}{l t^2}$

12.26 [Д. 42] В молочном сепараторе (от лат. separator — разделитель) цельное молоко поступает по вертикальному каналу в центр вращающегося сосуда. Какая из отводных трубок сепаратора расположена ближе к оси вращения — для снятого молока или для сливок?

Решение

Принцип работы молочного сепаратора основан на действии центробежной силы, возникающей при вращении. Цельное молоко представляет собой эмульсию, то есть смесь двух нерастворимых друг в друге жидкостей: молочного жира (из которого состоят сливки) и водной фазы (снятое молоко или обрат).

Плотность сливок меньше плотности снятого молока, так как жир легче воды. Обозначим плотность сливок как $\rho_{с}$ и плотность снятого молока как $\rho_{м}$. Таким образом, $\rho_{с} < \rho_{м}$.

Во время вращения сосуда на все частицы молока действует центробежная сила, направленная от оси вращения. Эта сила пропорциональна массе частиц. Так как частицы снятого молока имеют большую плотность, они обладают большей массой при одинаковом объеме по сравнению с частицами сливок. В результате более тяжелые и плотные компоненты (снятое молоко) отбрасываются дальше от центра к стенкам вращающегося сосуда. Более легкие и менее плотные компоненты (сливки) вытесняются к центру, то есть ближе к оси вращения.

Следовательно, для сбора разделенных фракций отводная трубка для сливок должна быть расположена ближе к оси вращения, а трубка для снятого молока — дальше от нее.

Ответ: ближе к оси вращения расположена отводная трубка для сливок.

13.1 [285] В орбитальной космической станции космонавт находится в состоянии невесомости. Действует ли при этом сила тяжести:

а) на корабль;

б) на космонавта?

а) на корабль
Да, на орбитальную космическую станцию (корабль) действует сила тяжести со стороны Земли. Эта сила является причиной, по которой станция не улетает в открытый космос по прямой, а движется по орбите вокруг Земли. Сила гравитационного притяжения Земли сообщает станции необходимое центростремительное ускорение, заставляя её постоянно «падать» на Землю, но из-за большой горизонтальной скорости она всё время «промахивается» мимо поверхности. Согласно закону всемирного тяготения Ньютона, сила тяжести определяется формулой $F = G \frac{M \cdot m}{r^2}$, где $M$ — масса Земли, $m$ — масса корабля, а $r$ — расстояние между их центрами. Так как все эти величины не равны нулю, сила тяжести обязательно действует.

Ответ: Да, действует.

б) на космонавта
Да, на космонавта, находящегося внутри станции, также действует сила тяжести. Космонавт, как и сама станция, находится в гравитационном поле Земли. Состояние невесомости возникает не из-за отсутствия гравитации, а потому, что и космонавт, и станция, и все предметы внутри неё находятся в состоянии непрерывного свободного падения, двигаясь с одинаковым ускорением. Так как космонавт и его опора (пол станции) падают вместе, космонавт не оказывает давления на опору, и, соответственно, со стороны опоры на него не действует сила реакции. Именно отсутствие этой силы реакции опоры, которую мы на Земле воспринимаем как вес, и создает ощущение невесомости. Сила тяжести на типичной орбите (например, 400 км над поверхностью) всего на 10-12% слабее, чем на уровне моря, и является существенной.

Ответ: Да, действует.

13.2 [286] Почему жидкость можно переливать из сосуда в сосуд?

13.2 [286]

Решение

Возможность переливать жидкость из одного сосуда в другой является следствием ее фундаментальных физических свойств, которые объясняются молекулярно-кинетической теорией. Основное свойство, о котором идет речь, — это текучесть.

Рассмотрим строение вещества на молекулярном уровне в трех агрегатных состояниях:

1. Твердые тела: Молекулы или атомы расположены в строго определенном порядке, образуя кристаллическую решетку. Они не могут свободно перемещаться, а лишь совершают колебания около своего положения равновесия. Поэтому твердые тела сохраняют и форму, и объем.
2. Жидкости: Молекулы расположены близко друг к другу, почти вплотную, как в твердых телах. Силы притяжения между ними достаточно сильны, чтобы удерживать их вместе и не давать разлетаться, поэтому жидкость сохраняет свой объем. Однако, в отличие от твердых тел, у жидкостей нет строгого порядка в расположении молекул. Они могут свободно перемещаться друг относительно друга, совершая "перескоки" из одного временного положения равновесия в другое. Эта подвижность молекул и определяет текучесть.
3. Газы: Молекулы находятся на больших расстояниях друг от друга и движутся хаотично. Силы притяжения между ними очень слабы, поэтому газы не сохраняют ни форму, ни объем, а занимают весь предоставленный им объем.

Таким образом, когда мы наклоняем сосуд с жидкостью, под действием силы тяжести ее молекулы начинают смещаться и "перетекать" в новый сосуд. Поскольку они не связаны в жесткую структуру, жидкость легко меняет свою форму, принимая форму того сосуда, в который ее переливают. При этом объем жидкости остается неизменным (если пренебречь испарением и проливанием).

Ответ: Жидкость можно переливать из сосуда в сосуд, потому что она обладает свойством текучести. Это свойство обусловлено тем, что молекулы в жидкости, сохраняя постоянный объем за счет сил взаимного притяжения, не связаны в жесткую структуру (как в твердых телах) и могут свободно перемещаться друг относительно друга. Это позволяет жидкости легко изменять свою форму под действием внешних сил, например, силы тяжести.

13.3 [287] Каждый из двух стеклянных шаров, которые лежат на столе, не касаясь друг друга, взаимодействует со столом. Взаимодействуют ли шары между собой?

Решение

Согласно закону всемирного тяготения, любые два тела во Вселенной, обладающие массой, притягиваются друг к другу. Сила этого гравитационного притяжения определяется формулой Ньютона:

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

где $m_1$ и $m_2$ — это массы двух тел (в данном случае, стеклянных шаров), $r$ — расстояние между их центрами, а $G$ — гравитационная постоянная.

Поскольку оба стеклянных шара имеют массу и находятся на некотором расстоянии друг от друга (так как они не соприкасаются), между ними обязательно существует сила гравитационного взаимодействия. Это означает, что шары притягивают друг друга.

Хотя эта сила в условиях задачи чрезвычайно мала и незаметна на фоне взаимодействия шаров со столом и с планетой Земля, она, тем не менее, существует. Таким образом, можно утверждать, что шары взаимодействуют между собой.

Ответ: Да, шары взаимодействуют между собой посредством сил всемирного тяготения (гравитации).

13.4 [288] Пусть между двумя деревянными шарами, которые лежат на столе, сила тяготения равна $F$. Изменится ли числовое значение этой силы, если между шарами поместить массивный экран?

Решение

Согласно закону всемирного тяготения, сила гравитационного притяжения между двумя телами (в данном случае, двумя деревянными шарами) зависит только от их масс и расстояния между ними. Формула для этой силы выглядит так:

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

где $m_1$ и $m_2$ — массы шаров, $r$ — расстояние между их центрами, а $G$ — гравитационная постоянная.

Ключевой особенностью гравитационного взаимодействия является то, что оно не экранируется. Это означает, что наличие третьего тела (массивного экрана), помещенного между двумя шарами, не ослабляет и не изменяет силу их прямого взаимного притяжения. Каждый из шаров по-прежнему будет притягивать другой с той же самой силой $F$.

Однако важно понимать, что при этом изменится результирующая сила, действующая на каждый из шаров. Помимо силы $F$ от другого шара, на каждый шар начнет действовать дополнительная сила притяжения со стороны массивного экрана. Таким образом, полная сила, приложенная к каждому шару, станет равна векторной сумме силы притяжения от другого шара и силы притяжения от экрана.

Но так как в вопросе речь идет именно о силе тяготения между двумя шарами, ее числовое значение останется неизменным.

Ответ: Нет, числовое значение этой силы не изменится. Гравитационное взаимодействие не экранируется, поэтому сила притяжения между двумя шарами не зависит от наличия между ними других тел.

13.5 [289] Что общего в направлениях движения капель дождя над Невой и над Ангарой в безветренную погоду? В чём различия?

Что общего в направлениях движения капель дождя над Невой и над Ангарой в безветренную погоду?

В безветренную погоду единственной значительной силой, действующей на капли дождя, является сила тяжести. Она всегда направлена вертикально вниз, к центру Земли. Поэтому для наблюдателя, находящегося в неподвижной системе отсчёта, связанной с Землёй (например, стоящего на берегу реки), капли дождя будут двигаться по прямым вертикальным траекториям. Это справедливо для любого места на Земле, включая пространство над реками Нева и Ангара.

Ответ: Общим является то, что относительно неподвижных берегов обеих рек капли дождя в безветренную погоду движутся в одном и том же направлении — вертикально вниз.

В чём различия?

Различия в направлении движения капель дождя становятся очевидными, если сменить систему отсчёта на подвижную, связанную с водой в реке (например, для наблюдателя на плоту, который плывёт по течению). В этом случае вступает в силу закон сложения скоростей.

Скорость капель дождя относительно воды в реке ($\vec{v}_{к,в}$) определяется как векторная разность скорости капель относительно земли ($\vec{v}_{к,з}$) и скорости течения реки относительно земли ($\vec{v}_{в,з}$): $ \vec{v}_{к,в} = \vec{v}_{к,з} - \vec{v}_{в,з} $

Вектор скорости капель относительно земли ($\vec{v}_{к,з}$) направлен вертикально вниз. Вектор скорости течения ($\vec{v}_{в,з}$) направлен горизонтально, вдоль русла реки. Вычитание вектора $\vec{v}_{в,з}$ эквивалентно прибавлению противоположно направленного вектора $-\vec{v}_{в,з}$. В результате сложения вертикального вектора $\vec{v}_{к,з}$ и горизонтального вектора $-\vec{v}_{в,з}$ (направленного против течения) получается результирующий вектор $\vec{v}_{к,в}$, направленный по диагонали — вниз и против течения реки.

Поскольку реки Нева и Ангара текут в разных географических направлениях, направления их течений ($\vec{v}_{в,з}$) различны. Следовательно, и направления движения капель дождя относительно воды в этих реках ($\vec{v}_{к,в}$) также будут различными. Для наблюдателя на плоту на Неве дождь будет идти с одной стороны (против течения Невы), а для наблюдателя на Ангаре — с другой (против течения Ангары).

Ответ: Различие заключается в направлении движения капель дождя относительно воды в реках. Так как Нева и Ангара текут в разных направлениях, то для наблюдателя, движущегося вместе с водой, капли дождя будут падать под углом против течения, и эти направления для двух рек будут разными.

13.6 [290] Какой угол составляют направления сил тяготения, действующих между самолётом и Землёй на Северном полюсе и между Землёй и самолётом над Санкт-Петербургом? (Город Санкт-Петербург находится на широте $60^\circ$.)

Дано:

Широта Санкт-Петербурга: $ \phi = 60^\circ $

Найти:

Угол $ \alpha $ между направлениями сил тяготения.

Решение:

Сила всемирного тяготения, действующая между двумя телами (в данном случае, между самолётом и Землёй), является центральной силой. Это означает, что она направлена вдоль прямой, соединяющей центры масс этих тел. В качестве центра масс Земли, ввиду её приблизительной сферической симметрии, принимается её геометрический центр. Размерами самолёта по сравнению с радиусом Земли можно пренебречь, считая его материальной точкой.

Таким образом, направление силы тяготения в любой точке над поверхностью Земли направлено к центру Земли.

Рассмотрим два случая:

1. Направление силы тяготения, действующей на самолёт на Северном полюсе, совпадает с направлением оси вращения Земли, так как эта сила направлена от полюса к центру Земли.

2. Направление силы тяготения, действующей на самолёт над Санкт-Петербургом, также направлено к центру Земли, то есть вдоль радиус-вектора, проведённого из центра Земли в точку, где находится Санкт-Петербург.

Искомый угол $ \alpha $ — это угол между двумя этими направлениями. Геометрически это угол между осью вращения Земли и прямой, соединяющей Санкт-Петербург с центром Земли.

Географическая широта ($ \phi $) по определению — это угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли в данную точку. Ось вращения Земли перпендикулярна плоскости экватора, то есть угол между ними составляет $ 90^\circ $.

Следовательно, искомый угол $ \alpha $ является дополнением к широте $ \phi $ до $ 90^\circ $.

Математически это можно выразить формулой:
$ \alpha = 90^\circ - \phi $

Подставим известное значение широты Санкт-Петербурга $ \phi = 60^\circ $:
$ \alpha = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ $

Ответ: угол между направлениями сил тяготения составляет $ 30^\circ $.

13.7 [291] Между какими двумя из трёх шаров (рис. II-43) сила тяготения наибольшая?

Рис. II-43

Дано:

Масса первого шара: $m_1 = 2 \text{ кг}$
Масса второго шара: $m_2 = 5 \text{ кг}$
Масса третьего шара: $m_3 = 10 \text{ кг}$
(Все данные предоставлены в системе СИ)

Найти:

Пару шаров, между которыми сила тяготения наибольшая.

Решение:

Сила всемирного тяготения между двумя телами определяется законом всемирного тяготения Ньютона:$F = G \frac{m_a m_b}{r^2}$,где $G$ — гравитационная постоянная, $m_a$ и $m_b$ — массы взаимодействующих тел, а $r$ — расстояние между их центрами.

В задаче даны три шара, следовательно, существует три пары шаров, между которыми действует сила тяготения:
- Пара 1: шар массой $m_1 = 2 \text{ кг}$ и шар массой $m_2 = 5 \text{ кг}$. Обозначим силу между ними $F_{12}$.
- Пара 2: шар массой $m_2 = 5 \text{ кг}$ и шар массой $m_3 = 10 \text{ кг}$. Обозначим силу между ними $F_{23}$.
- Пара 3: шар массой $m_1 = 2 \text{ кг}$ и шар массой $m_3 = 10 \text{ кг}$. Обозначим силу между ними $F_{13}$.

Чтобы определить, какая из этих сил наибольшая, нам нужно сравнить величины $\frac{m_a m_b}{r^2}$ для каждой пары.

Сначала вычислим произведения масс для каждой пары:
- $m_1 m_2 = 2 \text{ кг} \cdot 5 \text{ кг} = 10 \text{ кг}^2$
- $m_2 m_3 = 5 \text{ кг} \cdot 10 \text{ кг} = 50 \text{ кг}^2$
- $m_1 m_3 = 2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ кг} = 20 \text{ кг}^2$
Наибольшее произведение масс у пары шаров 5 кг и 10 кг.

Теперь рассмотрим расстояние $r$ между центрами шаров. Поскольку шары соприкасаются, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов: $r_{ab} = R_a + R_b$.Будем считать, что шары изготовлены из одного и того же материала, то есть имеют одинаковую плотность $\rho$. Масса шара связана с его радиусом $R$ через объем $V = \frac{4}{3}\pi R^3$:$m = \rho V = \rho \frac{4}{3}\pi R^3$.Отсюда следует, что радиус шара пропорционален кубическому корню из его массы: $R \propto \sqrt[3]{m}$.

Обозначим радиусы шаров как $R_1$, $R_2$ и $R_3$. Поскольку $m_1 < m_2 < m_3$, то и их радиусы находятся в том же соотношении: $R_1 < R_2 < R_3$.Следовательно, для расстояний между центрами ($r_{12} = R_1 + R_2$, $r_{13} = R_1 + R_3$, $r_{23} = R_2 + R_3$) справедливо неравенство: $r_{12} < r_{13} < r_{23}$.Это означает, что наибольшее расстояние между центрами у пары шаров 5 кг и 10 кг, а наименьшее — у пары 2 кг и 5 кг.

Теперь сравним силы. Сила прямо пропорциональна произведению масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния.Для пары (5 кг, 10 кг) мы имеем наибольший числитель ($m_2 m_3 = 50 \text{ кг}^2$) и наибольший знаменатель ($r_{23}^2$).Для пары (2 кг, 5 кг) мы имеем наименьший числитель ($m_1 m_2 = 10 \text{ кг}^2$) и наименьший знаменатель ($r_{12}^2$).Нужно определить, какой эффект преобладает: увеличение произведения масс или увеличение расстояния.

Произведение масс для пары (5 кг, 10 кг) в $50/10 = 5$ раз больше, чем для пары (2 кг, 5 кг), и в $50/20 = 2.5$ раза больше, чем для пары (2 кг, 10 кг).В то же время, зависимость радиуса от массы ($R \propto m^{1/3}$) является слабой. Это означает, что квадрат расстояния между центрами ($r^2 = (R_a+R_b)^2$) растет значительно медленнее, чем произведение масс ($m_a m_b$).Следовательно, значительное увеличение произведения масс окажет доминирующее влияние на итоговую силу тяготения.

Таким образом, можно сделать вывод, что наибольшая сила тяготения будет действовать между шарами с наибольшим произведением масс. Это шары массами 5 кг и 10 кг.

Ответ:

Наибольшая сила тяготения действует между шарами массами 5 кг и 10 кг.

13.8 [292] Чем можно объяснить отклонение отвеса от вертикального положения (рис. II-44)?

Рис. II-44

Отклонение отвеса от вертикального положения, показанное на рисунке, объясняется действием закона всемирного тяготения. Согласно этому закону, не только Земля притягивает к себе тела, но и все тела во Вселенной притягивают друг друга с силой, пропорциональной их массам.

В данном случае на груз отвеса (массой $m$) действуют две гравитационные силы:

1. Основная сила — это сила притяжения со стороны Земли ($\vec{F}_{Земли}$). Она очень велика и направлена к центру Земли, определяя истинное вертикальное направление.
2. Дополнительная, значительно меньшая сила — это сила притяжения со стороны горы ($\vec{F}_{горы}$). Поскольку гора имеет очень большую массу, она создает собственное гравитационное поле и притягивает к себе груз отвеса. Эта сила направлена примерно горизонтально, в сторону горы.

Результирующая сила, действующая на груз, является векторной суммой этих двух сил: $\vec{F}_{рез} = \vec{F}_{Земли} + \vec{F}_{горы}$. Так как сила притяжения горы имеет горизонтальную составляющую, результирующая сила будет направлена не строго вниз, а под небольшим углом к вертикали в сторону горы.

Нить отвеса в состоянии равновесия всегда располагается вдоль направления действующей на груз результирующей силы тяжести. Поэтому отвес отклоняется от вертикального положения. Этот эффект, хотя и очень мал, может быть зафиксирован чувствительными приборами. Подобные измерения исторически использовались для определения массы и средней плотности Земли.

Ответ:

Отклонение отвеса от вертикального положения объясняется гравитационным притяжением со стороны массивной горы. На отвес действует не только сила притяжения Земли, направленная вертикально вниз, но и сила притяжения со стороны горы. Векторная сумма этих двух сил отклонена от вертикали в сторону горы, и нить отвеса выравнивается по направлению этой результирующей силы.