Номер 13.7, страница 42 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 13. Сила тяжести. Закон всемирного тяготения. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 13.7, страница 42.

13.7 [291] Между какими двумя из трёх шаров (рис. II-43) сила тяготения наибольшая?

Рис. II-43

Дано:

Масса первого шара: $m_1 = 2 \text{ кг}$
Масса второго шара: $m_2 = 5 \text{ кг}$
Масса третьего шара: $m_3 = 10 \text{ кг}$
(Все данные предоставлены в системе СИ)

Найти:

Пару шаров, между которыми сила тяготения наибольшая.

Решение:

Сила всемирного тяготения между двумя телами определяется законом всемирного тяготения Ньютона:$F = G \frac{m_a m_b}{r^2}$,где $G$ — гравитационная постоянная, $m_a$ и $m_b$ — массы взаимодействующих тел, а $r$ — расстояние между их центрами.

В задаче даны три шара, следовательно, существует три пары шаров, между которыми действует сила тяготения:
- Пара 1: шар массой $m_1 = 2 \text{ кг}$ и шар массой $m_2 = 5 \text{ кг}$. Обозначим силу между ними $F_{12}$.
- Пара 2: шар массой $m_2 = 5 \text{ кг}$ и шар массой $m_3 = 10 \text{ кг}$. Обозначим силу между ними $F_{23}$.
- Пара 3: шар массой $m_1 = 2 \text{ кг}$ и шар массой $m_3 = 10 \text{ кг}$. Обозначим силу между ними $F_{13}$.

Чтобы определить, какая из этих сил наибольшая, нам нужно сравнить величины $\frac{m_a m_b}{r^2}$ для каждой пары.

Сначала вычислим произведения масс для каждой пары:
- $m_1 m_2 = 2 \text{ кг} \cdot 5 \text{ кг} = 10 \text{ кг}^2$
- $m_2 m_3 = 5 \text{ кг} \cdot 10 \text{ кг} = 50 \text{ кг}^2$
- $m_1 m_3 = 2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ кг} = 20 \text{ кг}^2$
Наибольшее произведение масс у пары шаров 5 кг и 10 кг.

Теперь рассмотрим расстояние $r$ между центрами шаров. Поскольку шары соприкасаются, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов: $r_{ab} = R_a + R_b$.Будем считать, что шары изготовлены из одного и того же материала, то есть имеют одинаковую плотность $\rho$. Масса шара связана с его радиусом $R$ через объем $V = \frac{4}{3}\pi R^3$:$m = \rho V = \rho \frac{4}{3}\pi R^3$.Отсюда следует, что радиус шара пропорционален кубическому корню из его массы: $R \propto \sqrt[3]{m}$.

Обозначим радиусы шаров как $R_1$, $R_2$ и $R_3$. Поскольку $m_1 < m_2 < m_3$, то и их радиусы находятся в том же соотношении: $R_1 < R_2 < R_3$.Следовательно, для расстояний между центрами ($r_{12} = R_1 + R_2$, $r_{13} = R_1 + R_3$, $r_{23} = R_2 + R_3$) справедливо неравенство: $r_{12} < r_{13} < r_{23}$.Это означает, что наибольшее расстояние между центрами у пары шаров 5 кг и 10 кг, а наименьшее — у пары 2 кг и 5 кг.

Теперь сравним силы. Сила прямо пропорциональна произведению масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния.Для пары (5 кг, 10 кг) мы имеем наибольший числитель ($m_2 m_3 = 50 \text{ кг}^2$) и наибольший знаменатель ($r_{23}^2$).Для пары (2 кг, 5 кг) мы имеем наименьший числитель ($m_1 m_2 = 10 \text{ кг}^2$) и наименьший знаменатель ($r_{12}^2$).Нужно определить, какой эффект преобладает: увеличение произведения масс или увеличение расстояния.

Произведение масс для пары (5 кг, 10 кг) в $50/10 = 5$ раз больше, чем для пары (2 кг, 5 кг), и в $50/20 = 2.5$ раза больше, чем для пары (2 кг, 10 кг).В то же время, зависимость радиуса от массы ($R \propto m^{1/3}$) является слабой. Это означает, что квадрат расстояния между центрами ($r^2 = (R_a+R_b)^2$) растет значительно медленнее, чем произведение масс ($m_a m_b$).Следовательно, значительное увеличение произведения масс окажет доминирующее влияние на итоговую силу тяготения.

Таким образом, можно сделать вывод, что наибольшая сила тяготения будет действовать между шарами с наибольшим произведением масс. Это шары массами 5 кг и 10 кг.

Ответ:

Наибольшая сила тяготения действует между шарами массами 5 кг и 10 кг.