Страница 43 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

13.9 [293] Приведите примеры явлений, наблюдаемых на Земле, которые объясняются действием силы тяготения.

Сила тяготения, или гравитация, — это фундаментальная сила, с которой все тела, обладающие массой, притягиваются друг к другу. На Земле эта сила проявляется повсеместно и является причиной множества наблюдаемых явлений. Силу притяжения тел к Земле называют силой тяжести, и она рассчитывается по формуле $F = mg$, где $m$ — масса тела, а $g$ — ускорение свободного падения (приблизительно $9,8 \, \text{м/с}^2$).

Ниже приведены примеры явлений, которые объясняются действием силы тяготения.

• Падение тел
  Любой предмет, который не имеет опоры или подвеса, падает на землю. Например, яблоко, срывающееся с ветки, дождевые капли, падающие из туч, или камень, брошенный вверх, который, достигнув верхней точки, начинает движение вниз. Все это происходит потому, что Земля притягивает эти объекты к своему центру.
• Существование атмосферы
  Земная атмосфера — газовая оболочка планеты — удерживается вокруг нее силой тяготения. Без гравитации молекулы газов, составляющих воздух, преодолели бы вторую космическую скорость и рассеялись в космосе.
• Приливы и отливы
  Периодические колебания уровня воды в Мировом океане вызваны гравитационным воздействием Луны и, в меньшей степени, Солнца. Вода на стороне Земли, обращенной к Луне, притягивается к ней сильнее, создавая приливную волну. Аналогичное явление происходит и на противоположной стороне Земли.
• Течение рек
  Вода в реках всегда течет с более высоких участков рельефа к более низким, стремясь к Мировому океану. Это движение происходит под действием силы тяжести, которая заставляет воду двигаться "вниз" по уклону.
• Форма Земли
  Наша планета имеет форму, близкую к шару (точнее, геоида). Такая форма образовалась в процессе формирования планеты, когда под действием собственной гравитации вещество стремилось собраться в наиболее энергетически выгодную конфигурацию — шар.
• Движение Луны и искусственных спутников
  Сила притяжения Земли является центростремительной силой, которая удерживает Луну и тысячи искусственных спутников на их орбитах, заставляя их непрерывно "падать" на Землю, но из-за большой горизонтальной скорости они постоянно "промахиваются" и остаются на орбите.
• Вес тел
  Мы ощущаем собственный вес и вес предметов, которые держим в руках, именно благодаря силе тяжести. Вес — это сила, с которой тело вследствие притяжения к Земле действует на горизонтальную опору или вертикальный подвес.

Ответ: Примерами явлений, которые объясняются действием силы тяготения на Земле, являются: падение всех тел на поверхность планеты, существование у Земли атмосферы, приливы и отливы в океанах, течение рек, шарообразная форма Земли, движение Луны и искусственных спутников по орбите, а также наличие веса у всех тел.

13.10 [294] Изменяется ли сила тяготения между парашютистами, изображёнными на рисунке II-45? между парашютистом и его раскрытым парашютом?

Рис. II-45

Для ответа на оба вопроса воспользуемся законом всемирного тяготения, который описывает силу гравитационного притяжения между двумя телами:

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

где $F$ — сила тяготения, $G$ — гравитационная постоянная, $m_1$ и $m_2$ — массы тел, а $r$ — расстояние между центрами масс этих тел.

Изменяется ли сила тяготения между парашютистами, изображёнными на рисунке II-45?

Рассмотрим двух парашютистов. Их массы ($m_1$ и $m_2$) можно считать постоянными в течение всего прыжка. Гравитационная постоянная $G$ также является константой. Сила тяготения между ними, согласно формуле, зависит только от расстояния $r$ между ними.

На рисунке видно, что один парашютист находится в свободном падении (или падает с нераскрытым парашютом), а у второго парашют уже раскрыт. Скорость падения парашютиста с раскрытым парашютом значительно меньше из-за сопротивления воздуха, чем скорость парашютиста в свободном падении. Это означает, что их скорости движения различны, и расстояние $r$ между ними непрерывно изменяется.

Поскольку сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния ($F \propto \frac{1}{r^2}$), то при изменении расстояния $r$ будет изменяться и сила тяготения $F$.

Ответ: да, изменяется. Так как расстояние между парашютистами меняется во время падения, сила их гравитационного притяжения друг к другу также будет изменяться.

Изменяется ли сила тяготения между парашютистом и его раскрытым парашютом?

Теперь рассмотрим систему, состоящую из одного парашютиста и его собственного раскрытого парашюта. Масса парашютиста $m_1$ и масса парашюта $m_2$ являются постоянными величинами.

После того как парашют полностью раскрылся, он соединен с парашютистом стропами фиксированной длины. В результате расстояние $r$ между центром масс парашютиста и центром масс купола парашюта становится постоянным и не изменяется в процессе дальнейшего спуска (при условии стабильного, установившегося падения).

Так как все величины в формуле закона всемирного тяготения ($G$, $m_1$, $m_2$ и $r$) в данном случае являются постоянными, то и сила гравитационного притяжения $F$ между парашютистом и его парашютом остается неизменной.

Ответ: нет, не изменяется. После раскрытия парашюта расстояние между парашютистом и его парашютом становится постоянным, а их массы не меняются, поэтому сила их взаимного тяготения остается постоянной.

13.11 [307] Одинаковая ли сила тяжести действует на одинаковые шары, один из которых находится в воде (рис. II-46)?

Рис. II-46

Решение

Сила тяжести — это сила гравитационного притяжения тела к Земле. Она вычисляется по формуле $F_{тяж} = mg$, где $m$ — масса тела, а $g$ — ускорение свободного падения.

Согласно условию, оба шара одинаковые. Это означает, что их массы равны. Ускорение свободного падения $g$ в одном и том же месте на Земле является постоянной величиной и не зависит от среды, в которой находится тело (в данном случае, воздух или вода).

Поскольку у обоих шаров одинаковая масса ($m$) и на них действует одинаковое ускорение свободного падения ($g$), то и сила тяжести, действующая на каждый из шаров, будет одинаковой.

Наличие воды влияет на другие силы, действующие на шар. На шар в воде дополнительно действует выталкивающая сила (сила Архимеда), направленная вертикально вверх. Эта сила уменьшает вес шара (силу, с которой он давит на опору), но не изменяет саму силу тяжести. Вопрос задан именно о силе тяжести.

Ответ: Да, сила тяжести, действующая на оба шара, абсолютно одинакова, так как она зависит только от массы шара и ускорения свободного падения, которые для обоих шаров одинаковы.

13.12 [309] На какой из двух одинаковых по размерам брусков действует большая сила тяжести и во сколько раз (рис. II-47)?

Парафин Алюминий

Рис. II-47

Дано:

$V_1 = V_2 = V$ (объемы брусков одинаковы)
Брусок 1 - парафин
Брусок 2 - алюминий

Плотность парафина: $\rho_1 = 900 \frac{кг}{м^3}$
Плотность алюминия: $\rho_2 = 2700 \frac{кг}{м^3}$

Найти:

На какой брусок действует бóльшая сила тяжести?
$\frac{F_2}{F_1} - ?$

Решение:

Сила тяжести, действующая на тело, вычисляется по формуле: $F_{тяж} = m \cdot g$, где $m$ - масса тела, а $g$ - ускорение свободного падения.

Масса тела связана с его плотностью $\rho$ и объемом $V$ следующим соотношением: $m = \rho \cdot V$.

Подставив выражение для массы в формулу силы тяжести, получим: $F_{тяж} = \rho \cdot V \cdot g$.

Запишем выражения для сил тяжести, действующих на парафиновый ($F_1$) и алюминиевый ($F_2$) бруски:
$F_1 = \rho_1 \cdot V \cdot g$
$F_2 = \rho_2 \cdot V \cdot g$

По условию задачи, размеры брусков одинаковы, следовательно, их объемы $V$ равны. Ускорение свободного падения $g$ также является постоянной величиной для обоих тел. Таким образом, сила тяжести прямо пропорциональна плотности вещества, из которого сделан брусок.

Сравним плотности парафина и алюминия:
$\rho_1 = 900 \frac{кг}{м^3}$
$\rho_2 = 2700 \frac{кг}{м^3}$

Поскольку $\rho_2 > \rho_1$, то и сила тяжести, действующая на алюминиевый брусок, будет больше, чем сила тяжести, действующая на парафиновый брусок ($F_2 > F_1$).

Чтобы найти, во сколько раз сила тяжести, действующая на алюминиевый брусок, больше, найдем отношение сил $F_2$ и $F_1$:
$\frac{F_2}{F_1} = \frac{\rho_2 \cdot V \cdot g}{\rho_1 \cdot V \cdot g} = \frac{\rho_2}{\rho_1}$

Подставим числовые значения плотностей:
$\frac{F_2}{F_1} = \frac{2700 \frac{кг}{м^3}}{900 \frac{кг}{м^3}} = 3$

Ответ: бóльшая сила тяжести действует на алюминиевый брусок; она больше в 3 раза.

13.13 [310] Определите, во сколько раз сила тяжести, действующая на спортивный диск, больше силы тяжести, действующей на футбольный мяч (см. табл. 5).

Дано:

Масса спортивного диска (стандартная масса для мужских соревнований, так как таблица 5 отсутствует): $m_д = 2 \text{ кг}$

Масса футбольного мяча (стандартная масса, так как таблица 5 отсутствует): $m_м = 450 \text{ г}$

Перевод в систему СИ:
$m_м = 450 \text{ г} = 0.45 \text{ кг}$

Найти:

Отношение силы тяжести, действующей на диск, к силе тяжести, действующей на мяч: $\frac{F_д}{F_м}$

Решение:

Сила тяжести, действующая на тело, вычисляется по формуле: $F_{тяж} = m \cdot g$, где $m$ – масса тела, а $g$ – ускорение свободного падения.

Сила тяжести, действующая на спортивный диск, равна: $F_д = m_д \cdot g$

Сила тяжести, действующая на футбольный мяч, равна: $F_м = m_м \cdot g$

Чтобы определить, во сколько раз сила тяжести, действующая на диск, больше силы тяжести, действующей на мяч, найдем отношение этих сил: $\frac{F_д}{F_м} = \frac{m_д \cdot g}{m_м \cdot g}$

Поскольку ускорение свободного падения $g$ является одинаковым для обоих тел в данном месте, оно сокращается в дроби. Таким образом, отношение сил тяжести равно отношению масс тел: $\frac{F_д}{F_м} = \frac{m_д}{m_м}$

Подставим числовые значения масс, выраженные в килограммах: $\frac{F_д}{F_м} = \frac{2 \text{ кг}}{0.45 \text{ кг}} \approx 4.44$

Ответ: сила тяжести, действующая на спортивный диск, больше силы тяжести, действующей на футбольный мяч, примерно в 4.4 раза.

13.14 [311] Какая сила тяжести действует на каждый шар (см. рис. II-43)?

2 кг

5 кг

10 кг

Рис. II-43

Дано:

Масса первого шара $m_1 = 2$ кг
Масса второго шара $m_2 = 5$ кг
Масса третьего шара $m_3 = 10$ кг
Ускорение свободного падения $g \approx 10$ Н/кг (приближенное значение для расчетов)

Найти:

Силы тяжести, действующие на каждый шар: $F_{т1}, F_{т2}, F_{т3}$ — ?

Решение:

Сила тяжести ($F_т$) — это сила, с которой Земля притягивает к себе тело. Она вычисляется по формуле: $F_т = m \cdot g$,
где $m$ — масса тела, а $g$ — ускорение свободного падения.

Сила тяжести, действующая на шар массой 2 кг
Подставим массу первого шара в формулу: $F_{т1} = m_1 \cdot g = 2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг} = 20 \text{ Н}$.

Ответ: на шар массой 2 кг действует сила тяжести 20 Н.

Сила тяжести, действующая на шар массой 5 кг
Подставим массу второго шара в формулу: $F_{т2} = m_2 \cdot g = 5 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг} = 50 \text{ Н}$.

Ответ: на шар массой 5 кг действует сила тяжести 50 Н.

Сила тяжести, действующая на шар массой 10 кг
Подставим массу третьего шара в формулу: $F_{т3} = m_3 \cdot g = 10 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг} = 100 \text{ Н}$.

Ответ: на шар массой 10 кг действует сила тяжести 100 Н.

13.15 [295] Почему Земля сообщает всем телам одно и то же ускорение силы тяготения независимо от их массы, если тела находятся на одной и той же высоте над поверхностью Земли?

13.15 Это явление объясняется сочетанием двух фундаментальных законов физики: второго закона Ньютона и закона всемирного тяготения.

1. Второй закон Ньютона гласит, что сила, действующая на тело, равна произведению массы этого тела на сообщаемое ему ускорение: $F = m \cdot a$. В случае силы тяжести, действующей на тело со стороны Земли, этот закон можно записать как $F_{тяж} = m \cdot g$, где $F_{тяж}$ – сила тяжести, $m$ – масса тела, а $g$ – ускорение свободного падения (ускорение силы тяготения).

2. Закон всемирного тяготения утверждает, что сила гравитационного притяжения между двумя телами (в данном случае, Землей и телом) прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между их центрами. Формула для этой силы выглядит так: $F_{тяж} = G \frac{M \cdot m}{r^2}$, где $G$ – гравитационная постоянная, $M$ – масса Земли, $m$ – масса тела, а $r$ – расстояние от центра Земли до тела. Поскольку все тела находятся на одной и той же высоте над поверхностью, расстояние $r$ для них одинаково.

Поскольку оба выражения описывают одну и ту же силу тяжести $F_{тяж}$, мы можем их приравнять:

$m \cdot g = G \frac{M \cdot m}{r^2}$

В этом уравнении масса тела $m$ присутствует в обеих частях. Следовательно, мы можем сократить ее:

$g = G \frac{M}{r^2}$

Из полученной формулы следует, что ускорение силы тяготения $g$ зависит только от массы Земли $M$, гравитационной постоянной $G$ и расстояния до центра Земли $r$. Масса тела $m$, на которое действует сила, в эту формулу не входит.

Таким образом, хотя на более массивные тела действует большая сила тяжести, их инертность (сопротивление изменению скорости) также больше, причём ровно во столько же раз. Эти два эффекта точно компенсируют друг друга, в результате чего все тела на одинаковой высоте получают от Земли одно и то же ускорение, независимо от их собственной массы.

Ответ:

Ускорение силы тяготения не зависит от массы тела, потому что сила притяжения, действующая на тело со стороны Земли, прямо пропорциональна массе этого тела (согласно закону всемирного тяготения), но и инертность тела, определяющая его ускорение под действием силы, также прямо пропорциональна его массе (согласно второму закону Ньютона). При вычислении ускорения ($a = F/m$) масса тела сокращается, и в итоговой формуле для ускорения ($g = G \cdot M / r^2$) остаются только величины, не зависящие от массы тела: гравитационная постоянная, масса Земли и расстояние до ее центра.

13.16 [296] Во сколько раз увеличится сила взаимного притяжения двух шаров, если расстояние между ними уменьшить в 3 раза?

Дано:

Исходное расстояние между центрами шаров: $r_1$

Конечное расстояние между центрами шаров: $r_2 = \frac{r_1}{3}$

Найти:

Во сколько раз увеличится сила притяжения, то есть найти отношение конечной силы $F_2$ к начальной силе $F_1$: $\frac{F_2}{F_1} - ?$

Решение:

Сила взаимного гравитационного притяжения двух шаров определяется законом всемирного тяготения Ньютона:

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $m_1$ и $m_2$ — массы шаров, а $r$ — расстояние между их центрами.

Запишем выражение для силы $F_1$ при начальном расстоянии $r_1$:

$F_1 = G \frac{m_1 m_2}{r_1^2}$

Согласно условию задачи, расстояние между шарами уменьшили в 3 раза. Новое расстояние $r_2$ будет равно:

$r_2 = \frac{r_1}{3}$

Теперь запишем выражение для силы $F_2$ при новом расстоянии $r_2$:

$F_2 = G \frac{m_1 m_2}{r_2^2} = G \frac{m_1 m_2}{\left(\frac{r_1}{3}\right)^2} = G \frac{m_1 m_2}{\frac{r_1^2}{9}}$

Упрощая выражение для $F_2$, получаем:

$F_2 = 9 \cdot G \frac{m_1 m_2}{r_1^2}$

Чтобы найти, во сколько раз увеличилась сила, разделим $F_2$ на $F_1$:

$\frac{F_2}{F_1} = \frac{9 \cdot G \frac{m_1 m_2}{r_1^2}}{G \frac{m_1 m_2}{r_1^2}}$

После сокращения одинаковых членов в числителе и знаменателе, получаем:

$\frac{F_2}{F_1} = 9$

Это означает, что сила взаимного притяжения увеличилась в 9 раз.

Ответ: сила взаимного притяжения увеличится в 9 раз.