Номер 8.8, страница 25 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 8. Равномерное движение по окружности. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 8.8, страница 25.

8.8 [н] Докажите, что при вращении диска относительно закрепленной оси линейная скорость точек диска прямо пропорциональна расстоянию от оси вращения.

Решение

Рассмотрим твердое тело (диск), вращающееся вокруг неподвижной оси. Все точки диска, как единого целого, за один и тот же промежуток времени $ \Delta t $ поворачиваются на один и тот же угол $ \Delta \phi $. Это означает, что все точки диска имеют одинаковую угловую скорость $ \omega $ в любой момент времени.

Угловая скорость определяется как отношение угла поворота к промежутку времени, за который этот поворот произошел: $ \omega = \frac{\Delta \phi}{\Delta t} $

Линейная скорость $ v $ точки — это скорость ее движения по траектории. При вращении диска каждая его точка движется по окружности. Линейная скорость определяется как путь, пройденный точкой вдоль дуги окружности, деленный на время, за которое этот путь пройден. $ v = \frac{\Delta s}{\Delta t} $ где $ \Delta s $ — это длина дуги, которую проходит точка.

Длина дуги $ \Delta s $ связана с углом поворота $ \Delta \phi $ (выраженным в радианах) и расстоянием точки от оси вращения $ r $ (то есть радиусом окружности, по которой движется точка) следующим соотношением: $ \Delta s = r \cdot \Delta \phi $

Теперь подставим это выражение для длины дуги в формулу для линейной скорости: $ v = \frac{r \cdot \Delta \phi}{\Delta t} $

Можно перегруппировать члены в правой части уравнения: $ v = \left(\frac{\Delta \phi}{\Delta t}\right) \cdot r $

Выражение в скобках является определением угловой скорости $ \omega $. Таким образом, мы получаем фундаментальную связь между линейной и угловой скоростями: $ v = \omega r $

Поскольку для всех точек вращающегося диска угловая скорость $ \omega $ в данный момент времени одинакова (является константой для всего тела), то из полученной формулы $ v = \omega r $ следует, что линейная скорость $ v $ любой точки диска прямо пропорциональна ее расстоянию $ r $ от оси вращения. Коэффициентом пропорциональности выступает угловая скорость $ \omega $.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Линейная скорость $v$ точки на вращающемся диске связана с угловой скоростью $ \omega $ и расстоянием $r$ от точки до оси вращения формулой $v = \omega r$. Так как диск является твердым телом, все его точки вращаются с одинаковой угловой скоростью ($ \omega = \text{const} $ для всех точек диска в данный момент), следовательно, линейная скорость $v$ прямо пропорциональна расстоянию $r$ от оси вращения.