Номер 8.7, страница 25 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 8. Равномерное движение по окружности. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 8.7, страница 25.

8.7 [166] Минутная стрелка часов в 1,5 раза длиннее часовой. Во сколько раз линейная скорость конца часовой стрелки меньше линейной скорости конца минутной стрелки?

Дано:

Отношение длин стрелок: $ \frac{R_м}{R_ч} = 1.5 $

Период обращения минутной стрелки: $ T_м = 1 \text{ час} $

Период обращения часовой стрелки: $ T_ч = 12 \text{ часов} $

$ T_м = 1 \text{ час} = 3600 \text{ с} $

$ T_ч = 12 \text{ часов} = 12 \cdot 3600 \text{ с} = 43200 \text{ с} $

Найти:

Во сколько раз $ v_ч < v_м $, то есть найти отношение $ \frac{v_м}{v_ч} $.

Решение:

Линейная скорость точки, движущейся по окружности, связана с угловой скоростью $ \omega $ и радиусом окружности $ R $ (в нашем случае это длина стрелки) формулой $ v = \omega R $. Угловая скорость, в свою очередь, выражается через период обращения $ T $ как $ \omega = \frac{2\pi}{T} $. Объединив эти формулы, получим выражение для линейной скорости конца стрелки:

$ v = \frac{2\pi R}{T} $

Запишем формулы для линейной скорости конца минутной стрелки ($ v_м $) и часовой стрелки ($ v_ч $):

$ v_м = \frac{2\pi R_м}{T_м} $

$ v_ч = \frac{2\pi R_ч}{T_ч} $

Чтобы найти, во сколько раз линейная скорость конца часовой стрелки меньше линейной скорости конца минутной, нужно найти их отношение $ \frac{v_м}{v_ч} $:

$ \frac{v_м}{v_ч} = \frac{\frac{2\pi R_м}{T_м}}{\frac{2\pi R_ч}{T_ч}} = \frac{R_м \cdot T_ч}{R_ч \cdot T_м} = \frac{R_м}{R_ч} \cdot \frac{T_ч}{T_м} $

Период обращения минутной стрелки $ T_м $ (время, за которое она совершает полный оборот) составляет 1 час. Период обращения часовой стрелки $ T_ч $ составляет 12 часов.

Подставим в формулу известные значения из условия задачи:

$ \frac{v_м}{v_ч} = 1.5 \cdot \frac{12 \text{ часов}}{1 \text{ час}} = 1.5 \cdot 12 = 18 $

Это означает, что скорость конца минутной стрелки в 18 раз больше скорости конца часовой, или, что то же самое, скорость конца часовой стрелки в 18 раз меньше скорости конца минутной.

Ответ: линейная скорость конца часовой стрелки меньше линейной скорости конца минутной стрелки в 18 раз.