Номер 8.10, страница 25 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 8. Равномерное движение по окружности. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 8.10, страница 25.

8.10 [н] Докажите, что при движении автомобиля скорость верхней точки обода колеса относительно земли в 2 раза больше скорости оси колеса.

Дано:
$v_{оси}$ - скорость оси колеса относительно земли.
$v_{верх}$ - скорость верхней точки обода колеса относительно земли.
Движение колеса происходит без проскальзывания.

Найти:
Доказать, что $v_{верх} = 2 \cdot v_{оси}$.

Решение:

Движение любой точки колеса автомобиля можно представить как сумму двух движений: поступательного движения вместе с осью колеса и вращательного движения вокруг этой оси.

Скорость любой точки на ободе колеса относительно земли ($\vec{v}$) является векторной суммой скорости оси колеса ($\vec{v}_{оси}$) и линейной скорости точки из-за вращения колеса вокруг оси ($\vec{v}_{вр}$): $$ \vec{v} = \vec{v}_{оси} + \vec{v}_{вр} $$

Рассмотрим верхнюю точку обода колеса. В этой точке вектор скорости поступательного движения $\vec{v}_{оси}$ направлен вперед, по ходу движения автомобиля. Вектор линейной скорости вращательного движения $\vec{v}_{вр}$ в верхней точке также направлен вперед. Так как оба вектора сонаправлены, их модули складываются: $$ v_{верх} = v_{оси} + v_{вр} $$

Теперь определим связь между $v_{оси}$ и $v_{вр}$. Условие движения колеса без проскальзывания означает, что точка колеса, которая в данный момент касается земли, имеет нулевую скорость относительно земли.

В нижней точке обода колеса вектор скорости поступательного движения $\vec{v}_{оси}$ направлен вперед, а вектор линейной скорости вращательного движения $\vec{v}_{вр}$ направлен в противоположную сторону (назад). Скорость нижней точки относительно земли равна разности модулей этих скоростей: $$ v_{низ} = v_{оси} - v_{вр} $$

Поскольку $v_{низ} = 0$ (условие отсутствия проскальзывания), то: $$ v_{оси} - v_{вр} = 0 \implies v_{оси} = v_{вр} $$ Это означает, что скорость центра колеса равна по модулю линейной скорости вращения точек на его ободе.

Подставим полученное соотношение в формулу для скорости верхней точки колеса: $$ v_{верх} = v_{оси} + v_{оси} = 2 \cdot v_{оси} $$

Таким образом, мы доказали, что скорость верхней точки обода колеса относительно земли в 2 раза больше скорости оси колеса.

Ответ: Что и требовалось доказать. Скорость верхней точки обода колеса $v_{верх}$ равна удвоенной скорости оси колеса $v_{оси}$, то есть $v_{верх} = 2 \cdot v_{оси}$.