Страница 18 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

6.18 [102] Группа самолётов (рис. II-5) одновременно выполняет фигуры высшего пилотажа, сохраняя заданный строй. Что можно сказать о движении самолётов относительно:

а) друг друга;

б) Земли?

а) друг друга

В условии задачи сказано, что самолёты выполняют фигуры высшего пилотажа, сохраняя заданный строй. Это означает, что взаимное расположение самолётов в группе остаётся неизменным. Расстояние и направление от одного самолёта до любого другого в группе не меняются с течением времени. В системе отсчёта, связанной с любым из самолётов, все остальные самолёты будут неподвижны. Следовательно, относительно друг друга самолёты находятся в состоянии покоя.

Ответ: Относительно друг друга самолёты находятся в покое.

б) Земли

Относительно Земли группа самолётов выполняет фигуры высшего пилотажа. Это означает, что их траектории представляют собой сложные кривые линии (например, петля Нестерова, бочка и т.д.). Движение по криволинейной траектории всегда является движением с ускорением, так как меняется направление вектора скорости. Кроме того, во время выполнения манёвров скорость самолётов по величине также, как правило, не остаётся постоянной. Таким образом, движение самолётов относительно Земли является сложным криволинейным и неравномерным (ускоренным).

Ответ: Относительно Земли самолёты движутся по сложным криволинейным траекториям с изменяющейся скоростью (совершают ускоренное движение).

6.19 [н] Какой вид механического движения вы совершаете, качаясь на качелях? Предложите 2—3 тела отсчёта, свяжите с ними системы отсчёта и опишите характер движения относительно этих систем.

Рис. II-5

Качаясь на качелях, человек совершает колебательное (или периодическое) механическое движение. Это движение происходит по траектории, представляющей собой дугу окружности, поэтому оно является криволинейным. Поскольку скорость движения постоянно меняется как по модулю (от нуля в крайних точках до максимума в нижней), так и по направлению, это движение также является неравномерным и ускоренным.

Характер движения зависит от выбора системы отсчета. Рассмотрим несколько таких систем.

1. Система отсчета, связанная с Землей.

В качестве тела отсчета выберем неподвижный объект на поверхности Земли, например, опору качелей или дерево, растущее рядом. В этой системе отсчета человек на качелях движется по дуге окружности вперед и назад относительно положения равновесия. Это классический пример механических колебаний. Движение является неравномерным криволинейным, так как постоянно меняется вектор скорости.

Ответ: Относительно Земли человек на качелях совершает неравномерное криволинейное колебательное движение по дуге окружности.

2. Система отсчета, связанная с точкой подвеса качелей.

Телом отсчета в данном случае является точка на перекладине, к которой крепятся веревки или цепи качелей. Если считать эту точку неподвижной, то движение человека можно описать как вращательное движение вокруг оси, проходящей через эту точку. Угол отклонения качелей от вертикального положения периодически изменяется от $0$ до некоторого максимального значения в обе стороны. Такое движение называют угловыми колебаниями.

Ответ: Относительно точки подвеса человек на качелях совершает угловые колебания (вращательное движение с периодически изменяющимся углом отклонения).

3. Система отсчета, связанная с Солнцем.

Если связать систему отсчета с Солнцем, то движение человека на качелях окажется очень сложным. Оно будет результатом сложения нескольких движений:

• колебательного движения относительно Земли;
• движения вместе с точкой на поверхности Земли из-за суточного вращения планеты вокруг своей оси;
• движения вместе с Землей по орбите вокруг Солнца.

Результирующая траектория будет представлять собой сложную пространственную кривую (часть спирали, на которую наложены колебания).

Ответ: Относительно Солнца человек на качелях совершает сложное криволинейное движение, являющееся суммой колебательного, вращательного (суточного) и орбитального движений.

6.20 [н] Чем объяснить возникающую у пассажира поезда иллюзию того, что движется перрон, если поезд плавно трогается с места?

Решение

Это явление объясняется фундаментальным принципом физики — относительностью механического движения. Движение можно зафиксировать только относительно какого-либо другого тела, называемого телом отсчета.

Когда пассажир сидит в поезде, для него естественной системой отсчета является сам вагон. Относительно вагона он и все предметы внутри неподвижны.

Ключевым моментом является то, что поезд трогается плавно. Это означает, что его ускорение очень мало. Органы чувств человека (в частности, вестибулярный аппарат) не способны уловить такое незначительное ускорение. Пассажир не ощущает толчка или рывка, поэтому у него нет физического ощущения начала движения собственного тела вместе с поездом.

Единственная информация о происходящем изменении поступает через зрение. Пассажир видит, что перрон начинает смещаться относительно его окна. Мозг фиксирует относительное движение между поездом и перроном.

Из жизненного опыта наш мозг привык воспринимать землю и связанные с ней массивные объекты (здания, платформы) как абсолютно неподвижные. Столкнувшись с визуальной информацией об относительном движении и отсутствием физических ощущений ускорения, мозг делает «логичный» для себя вывод: раз я не чувствую движения, а перрон смещается, значит, это перрон движется назад. Таким образом, происходит обман восприятия, или иллюзия.

Ответ: Иллюзия движения перрона возникает из-за принципа относительности движения. Когда поезд начинает движение плавно, ускорение мало и не ощущается пассажиром. Пассажир считает себя неподвижным. Наблюдая в окне смещение перрона, его мозг, привыкший считать землю неподвижной, интерпретирует это относительное движение как движение самого перрона в противоположную сторону.

6.21 [н] Представьте, что вы поднимаетесь в лифте на верхний этаж здания. Можно ли утверждать, что вы совершаете поступательное движение в системе отсчёта, связанной: а) с Землёй; б) с кабиной лифта? Как относительно вас движется Земля?

а) с Землёй

Поступательным называется движение твёрдого тела, при котором любая прямая, соединяющая две точки этого тела, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному положению. Когда вы поднимаетесь в лифте, стоя неподвижно, все части вашего тела движутся вверх с одинаковой скоростью и в одном направлении. Вы не вращаетесь и не меняете свою ориентацию в пространстве. Таким образом, в системе отсчёта, связанной с Землёй, ваше движение является поступательным.

Ответ: Да, можно утверждать, что вы совершаете поступательное движение в системе отсчёта, связанной с Землёй.

б) с кабиной лифта

В системе отсчёта, связанной с кабиной лифта, ваше положение относительно стен, пола и потолка кабины не изменяется. Это означает, что относительно кабины лифта вы находитесь в состоянии покоя. Поступательное движение — это один из видов механического движения, а покой — это его отсутствие. Следовательно, в этой системе отсчёта вы не совершаете никакого движения, в том числе и поступательного.

Ответ: Нет, нельзя утверждать, что вы совершаете поступательное движение в системе отсчёта, связанной с кабиной лифта, так как в ней вы находитесь в состоянии покоя.

Движение относительно. Если вы в лифте движетесь вверх относительно Земли, то в системе отсчёта, связанной с вами (и с лифтом), Земля будет двигаться вниз. Представьте, что вы смотрите в окно лифта (если бы оно было) на здание. Вы бы увидели, как этажи здания проплывают мимо вас сверху вниз. Таким образом, относительно вас Земля движется в направлении, противоположном вашему движению.

Ответ: Относительно вас Земля движется вниз.

6.22 [н] Пилот на своём самолёте демонстрирует «мёртвую петлю» (петлю Нестерова). Совершается ли при этом поступательное движение? Можно ли рассматривать самолёт как материальную точку, если система отсчёта связана с Землёй?

Совершается ли при этом поступательное движение?

Поступательным называется движение, при котором любая прямая, проведённая в теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному положению. Во время выполнения «мёртвой петли» ориентация самолёта в пространстве непрерывно меняется. Например, в нижней точке петли самолёт находится в горизонтальном положении, а в верхней точке оказывается перевёрнутым. Это означает, что самолёт совершает вращательное движение. Движение самолёта при выполнении петли Нестерова является сложным и представляет собой комбинацию поступательного движения (перемещение центра масс по траектории) и вращательного движения (изменение ориентации корпуса самолёта). Таким образом, чисто поступательное движение не совершается.

Ответ: нет, при выполнении «мёртвой петли» самолёт совершает не только поступательное, но и вращательное движение, поэтому его движение в целом не является поступательным.

Можно ли рассматривать самолёт как материальную точку, если система отсчёта связана с Землёй?

Тело можно рассматривать как материальную точку, если его размеры пренебрежимо малы по сравнению с характерными расстояниями в данной задаче. В случае выполнения «мёртвой петли» характерным расстоянием является радиус траектории, который обычно составляет сотни метров или даже километры. Размеры же самолёта (длина и размах крыльев) составляют десятки метров. Поскольку размеры самолёта значительно меньше радиуса петли, при рассмотрении его движения по траектории в системе отсчёта, связанной с Землёй, его формой, размерами и вращением можно пренебречь. Это позволяет упростить описание движения, сосредоточившись на траектории его центра масс.

Ответ: да, самолёт можно рассматривать как материальную точку, так как его размеры значительно меньше характерного размера его траектории (радиуса петли).

6.23 [н] Приведите примеры того, как одно и то же физическое тело в одном случае можно рассматривать как материальную точку, а в другом случае этого делать нельзя.

Материальная точка — это физическая модель, представляющая собой тело, размерами, формой и собственным вращением которого можно пренебречь в условиях рассматриваемой задачи. Вопрос о том, можно ли считать тело материальной точкой, решается исходя из конкретных условий: если характерные размеры тела значительно меньше расстояний, которые оно проходит, или расстояний до других тел, с которыми оно взаимодействует, то модель материальной точки применима.

Ниже приведены примеры, иллюстрирующие этот принцип.

Пример 1: Планета Земля

Можно рассматривать как материальную точку: при изучении движения Земли вокруг Солнца. Диаметр Земли (примерно 12 742 км) ничтожно мал по сравнению с радиусом ее орбиты (в среднем 149,6 млн км). Для описания ее орбитального движения достаточно знать ее массу и положение в пространстве относительно Солнца. Ее размеры и вращение в данном контексте не играют существенной роли.

Нельзя рассматривать как материальную точку: при объяснении смены дня и ночи или смены времен года. Эти явления напрямую вызваны суточным вращением Земли вокруг своей оси и наклоном этой оси к плоскости орбиты. Здесь форма и размеры планеты являются ключевыми факторами.

Пример 2: Автомобиль

Можно рассматривать как материальную точку: при расчете времени его поездки между двумя городами, например, из Санкт-Петербурга в Москву. Длина автомобиля (4-5 метров) абсолютно несущественна по сравнению с расстоянием в ~700 км. Нас интересует только его перемещение в целом.

Нельзя рассматривать как материальную точку: при маневрировании на парковке. В этом случае габариты автомобиля (длина, ширина, высота, радиус поворота) имеют решающее значение, так как они сопоставимы с размерами парковочного места или гаража.

Пример 3: Самолет

Можно рассматривать как материальную точку: когда диспетчер отслеживает его полет на маршруте протяженностью в несколько тысяч километров, например, из Лиссабона в Нью-Йорк. На карте полетов самолет изображается точкой, так как его размеры пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием перелета.

Нельзя рассматривать как материальную точку: при изучении его аэродинамических свойств. Подъемная сила, сопротивление воздуха, устойчивость и управляемость самолета напрямую зависят от формы и размеров его крыльев, фюзеляжа и оперения.

Пример 4: Мяч

Можно рассматривать как материальную точку: при анализе траектории его полета после сильного удара через все футбольное поле. Для приблизительного расчета дальности и высоты полета можно пренебречь его размером по сравнению с дистанцией в 100 метров.

Нельзя рассматривать как материальную точку: при анализе "крученого" удара. Вращение мяча вокруг собственной оси создает аэродинамический эффект (эффект Магнуса), который искривляет траекторию. Этот эффект зависит от размера, формы и скорости вращения мяча. Также при столкновении мяча с ногой футболиста или со штангой ворот его упругость и размеры играют ключевую роль.

Ответ: Одно и то же физическое тело (например, Земля, автомобиль, самолет) можно рассматривать как материальную точку в тех задачах, где его размеры, форма и вращение не оказывают влияния на изучаемое движение (например, полет Земли вокруг Солнца, поездка автомобиля между городами). В других задачах, где именно размеры, форма или вращение тела определяют характер явления (например, смена дня и ночи на Земле, парковка автомобиля), это же тело нельзя считать материальной точкой. Следовательно, применимость модели материальной точки определяется не свойствами самого тела, а условиями и целями конкретной задачи.

6.24 [н] Хоккеист движется навстречу скользящей по льду шайбе. Удастся ли вам найти тело отсчёта, относительно которого не будет наблюдаться сближение шайбы и хоккеиста?

Решение

Сближение двух тел означает, что расстояние между ними со временем уменьшается. Факт сближения или удаления тел определяется их относительной скоростью.

Пусть в системе отсчёта, связанной со льдом, скорость хоккеиста равна $\vec{v}_{х}$, а скорость шайбы — $\vec{v}_{ш}$. Поскольку по условию они движутся навстречу друг другу, это означает, что в данной системе отсчёта они сближаются.

Рассмотрим произвольную другую инерциальную систему отсчёта (которая может быть связана с неким «телом отсчёта»), движущуюся со скоростью $\vec{u}$ относительно льда. Согласно классическому закону сложения скоростей, скорости хоккеиста и шайбы в этой новой системе отсчёта будут равны:

$\vec{v'}_{х} = \vec{v}_{х} - \vec{u}$

$\vec{v'}_{ш} = \vec{v}_{ш} - \vec{u}$

Относительная скорость шайбы и хоккеиста в новой системе отсчёта — это векторная разность их скоростей в этой системе:

$\vec{v'}_{отн} = \vec{v'}_{ш} - \vec{v'}_{х} = (\vec{v}_{ш} - \vec{u}) - (\vec{v}_{х} - \vec{u}) = \vec{v}_{ш} - \vec{u} - \vec{v}_{х} + \vec{u} = \vec{v}_{ш} - \vec{v}_{х}$

Результат показывает, что относительная скорость двух тел $\vec{v}_{отн} = \vec{v}_{ш} - \vec{v}_{х}$ не зависит от выбора инерциальной системы отсчёта. Она является инвариантной величиной при переходе от одной инерциальной системы к другой.

Поскольку в системе отсчёта, связанной со льдом, хоккеист и шайба сближаются, их относительная скорость направлена так, чтобы уменьшать расстояние между ними. Так как вектор относительной скорости одинаков во всех инерциальных системах отсчёта, то и процесс сближения будет наблюдаться в любой из них. Невозможно найти такую систему отсчёта, движущуюся прямолинейно и равномерно, в которой бы этот факт изменился.

Ответ: нет, не удастся.

7.1 [111] Каждый из участков пути $AB$, $BC$ и $CD$ (рис. II-6) автомобиль проезжает за 1 мин. На каком участке скорость наибольшая, на каком — наименьшая?

Рис. II-6

Дано:

$t_{AB} = 1 \text{ мин}$

$t_{BC} = 1 \text{ мин}$

$t_{CD} = 1 \text{ мин}$

Перевод в систему СИ:

$t = t_{AB} = t_{BC} = t_{CD} = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$

Найти:

Участок с наибольшей скоростью, участок с наименьшей скоростью.

Решение:

Средняя скорость движения $v$ определяется по формуле:

$v = \frac{S}{t}$

где $S$ — это путь, пройденный телом, а $t$ — время, за которое этот путь был пройден.

По условию задачи, время движения на каждом из трех участков (AB, BC и CD) одинаково:

$t_{AB} = t_{BC} = t_{CD} = t$

Найдем выражения для скоростей на каждом участке:

Скорость на участке AB: $v_{AB} = \frac{S_{AB}}{t}$

Скорость на участке BC: $v_{BC} = \frac{S_{BC}}{t}$

Скорость на участке CD: $v_{CD} = \frac{S_{CD}}{t}$

Из этих формул видно, что при одинаковом времени движения $t$, скорость $v$ прямо пропорциональна пройденному пути $S$. Это значит, что на том участке, где автомобиль прошел большее расстояние, его скорость была выше, и наоборот.

Рассмотрим рисунок II-6. Сравнивая длины отрезков, можно установить следующее соотношение:

$S_{AB} > S_{CD} > S_{BC}$

Поскольку скорости прямо пропорциональны путям, для них будет справедливо аналогичное неравенство:

$v_{AB} > v_{CD} > v_{BC}$

Таким образом, наибольшая скорость автомобиля была на самом длинном участке AB, а наименьшая — на самом коротком участке BC.

Ответ: наибольшая скорость на участке AB, наименьшая — на участке BC.