Номер 7.34, страница 22 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 7. Скорость. Средняя скорость. Ускорение и его относительность. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 7.34, страница 22.

7.34 [140] Два автомобиля движутся прямолинейно и равномерно в одном направлении со скоростями $v_1 = 54 \text{ км/ч}$ и $v_2 = 36 \text{ км/ч}$. В начале наблюдения расстояние между ними было равно 18 км. Через какое время первый автомобиль догонит идущий впереди второй автомобиль? Решите задачу аналитически и графически.

Дано:
Скорость первого автомобиля, $v_1 = 54$ км/ч
Скорость второго автомобиля, $v_2 = 36$ км/ч
Начальное расстояние между автомобилями, $S_0 = 18$ км

Перевод в систему СИ:
$v_1 = 54 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 54 \cdot \frac{1000 \, \text{м}}{3600 \, \text{с}} = 15 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}$
$v_2 = 36 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 36 \cdot \frac{1000 \, \text{м}}{3600 \, \text{с}} = 10 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}$
$S_0 = 18 \, \text{км} = 18 \cdot 1000 \, \text{м} = 18000 \, \text{м}$

Найти:
Время встречи $t$

Решение:
Для удобства будем производить вычисления в километрах и часах, так как все исходные данные представлены в этих единицах.

Аналитически

Выберем систему отсчета, связанную с Землей. Направим ось координат $OX$ по направлению движения автомобилей. В начальный момент времени ($t=0$) пусть первый (догоняющий) автомобиль находится в начале координат, тогда его начальная координата $x_{01} = 0$. Второй автомобиль, находящийся впереди на расстоянии $S_0$, будет иметь начальную координату $x_{02} = S_0 = 18$ км.

Так как движение автомобилей прямолинейное и равномерное, их координаты изменяются со временем по закону $x(t) = x_0 + v \cdot t$.

Составим уравнение движения для первого автомобиля: $x_1(t) = x_{01} + v_1 \cdot t = 0 + 54 \cdot t = 54t$

Составим уравнение движения для второго автомобиля: $x_2(t) = x_{02} + v_2 \cdot t = 18 + 36 \cdot t$

Первый автомобиль догонит второй в тот момент времени $t$, когда их координаты будут равны: $x_1(t) = x_2(t)$.

Приравняем правые части уравнений и решим полученное уравнение относительно $t$: $54t = 18 + 36t$

$54t - 36t = 18$

$18t = 18$

$t = \frac{18}{18} = 1$ (ч)

Ответ: первый автомобиль догонит второй через 1 час.

Графически

Для графического решения задачи построим в одной системе координат графики зависимости координаты от времени $x(t)$ для каждого автомобиля. По оси абсцисс (горизонтальной) отложим время $t$ в часах, а по оси ординат (вертикальной) — координату $x$ в километрах.

1. График движения первого автомобиля задается уравнением $x_1(t) = 54t$. Это линейная функция, ее график — прямая линия, проходящая через начало координат (точку с координатами $t=0, x=0$). Для построения прямой найдем еще одну точку, например, при $t=1$ ч, координата будет $x_1 = 54 \cdot 1 = 54$ км. Таким образом, график проходит через точки (0, 0) и (1, 54).

2. График движения второго автомобиля задается уравнением $x_2(t) = 18 + 36t$. Это также линейная функция. В начальный момент времени $t=0$, координата $x_2 = 18$ км. При $t=1$ ч, координата будет $x_2 = 18 + 36 \cdot 1 = 54$ км. Таким образом, график проходит через точки (0, 18) и (1, 54).

Точка пересечения этих двух графиков на плоскости $(t, x)$ соответствует моменту времени и месту, где автомобили встретятся. Из координат найденных точек видно, что оба графика пересекаются в точке (1, 54).

Абсцисса (координата по оси времени) точки пересечения дает нам искомое время встречи: $t=1$ час. Ордината (координата по оси пути) показывает, на каком расстоянии от начальной точки первого автомобиля произойдет встреча: $x=54$ км.

Ответ: по графикам видно, что встреча автомобилей произойдет через 1 час.