Номер 7.42, страница 22 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

Глава 2. Движение и взаимодействие тел. Параграф 7. Скорость. Средняя скорость. Ускорение и его относительность - номер 7.42, страница 22.

Условие.

7.42 [149] По данным условия задачи 7.39 постройте график скорости и определите отрезки пути, пройденные телом на каждом этапе движения. Постройте график средней скорости движения тела. Сравните площади под графиками.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для решения задачи воспользуемся данными из условия задачи 7.39. В задаче 7.39 дан график зависимости ускорения от времени для тела, начинающего движение из состояния покоя.

Дано:

Начальная скорость: $v_0 = 0$ м/с.

Этап 1 (интервал времени от 0 до 2 с): ускорение постоянно и равно $a_1 = 2$ м/с².

Этап 2 (интервал времени от 2 до 5 с): ускорение равно $a_2 = 0$ м/с².

Этап 3 (интервал времени от 5 до 10 с): ускорение постоянно и равно $a_3 = -1$ м/с².

Найти:

1. График скорости $v(t)$.

2. Отрезки пути $s_1, s_2, s_3$, пройденные на каждом этапе.

3. График средней путевой скорости $v_{ср}(t)$.

4. Сравнить площади под графиками скорости $v(t)$ и модуля скорости $|v(t)|$.

Решение:

Постройте график скорости и определите отрезки пути, пройденные телом на каждом этапе движения.

Движение тела можно разбить на три этапа, на каждом из которых оно является равноускоренным.

Этап 1: $t \in [0, 2]$ с

Тело движется с постоянным ускорением $a_1 = 2$ м/с² из состояния покоя. Скорость изменяется по закону $v(t) = v_0 + a_1 t = 0 + 2t = 2t$.

В конце этапа, при $t=2$ с, скорость будет: $v(2) = 2 \cdot 2 = 4$ м/с.

Путь, пройденный на первом этапе, можно найти как площадь под графиком скорости (площадь треугольника) или по формуле: $s_1 = v_0 t_1 + \frac{a_1 t_1^2}{2} = 0 \cdot 2 + \frac{2 \cdot 2^2}{2} = 4$ м.

Этап 2: $t \in (2, 5]$ с

Ускорение $a_2 = 0$, следовательно, тело движется равномерно со скоростью, достигнутой в конце первого этапа: $v(t) = v(2) = 4$ м/с.

Путь, пройденный на втором этапе, равен: $s_2 = v(2) \cdot \Delta t_2 = 4 \cdot (5 - 2) = 4 \cdot 3 = 12$ м.

Этап 3: $t \in (5, 10]$ с

Тело движется с постоянным ускорением $a_3 = -1$ м/с². Начальная скорость для этого этапа равна скорости в конце второго этапа, $v(5) = 4$ м/с.

Скорость изменяется по закону: $v(t) = v(5) + a_3 (t - 5) = 4 - 1 \cdot (t - 5) = 4 - t + 5 = 9 - t$.

В конце этапа, при $t=10$ с, скорость будет: $v(10) = 9 - 10 = -1$ м/с.

Отрицательное значение скорости означает, что тело начало двигаться в обратном направлении. Найдем момент времени, когда скорость стала равна нулю: $v(t) = 0 \Rightarrow 9 - t = 0 \Rightarrow t = 9$ с.

Путь на третьем этапе состоит из двух частей: путь до остановки (от 5 до 9 с) и путь в обратном направлении (от 9 до 10 с).

Путь до остановки: $s_{3a} = \frac{v(5) + v(9)}{2} \cdot (9-5) = \frac{4+0}{2} \cdot 4 = 8$ м.

Путь в обратном направлении (модуль перемещения): $s_{3b} = |\frac{v(9) + v(10)}{2} \cdot (10-9)| = |\frac{0 + (-1)}{2} \cdot 1| = 0.5$ м.

Общий путь на третьем этапе: $s_3 = s_{3a} + s_{3b} = 8 + 0.5 = 8.5$ м.

График скорости $v(t)$:

График состоит из трех линейных участков:

• от $t=0$ до $t=2$ с: прямая, соединяющая точки $(0, 0)$ и $(2, 4)$;
• от $t=2$ с до $t=5$ с: горизонтальная прямая на уровне $v=4$ м/с, соединяющая точки $(2, 4)$ и $(5, 4)$;
• от $t=5$ с до $t=10$ с: прямая, соединяющая точки $(5, 4)$ и $(10, -1)$.

Ответ: Отрезки пути, пройденные телом на каждом этапе: $s_1 = 4$ м, $s_2 = 12$ м, $s_3 = 8.5$ м. График скорости описан выше.

Постройте график средней скорости движения тела.

Средняя путевая скорость определяется как отношение всего пройденного пути $s(t)$ к времени движения $t$: $v_{ср}(t) = \frac{s(t)}{t}$.

Найдем зависимость пройденного пути $s(t)$ от времени:

• При $t \in [0, 2]$ с: $s(t) = \frac{a_1 t^2}{2} = t^2$.
• При $t \in (2, 5]$ с: $s(t) = s_1 + v(2)(t-2) = 4 + 4(t-2) = 4t - 4$.
• При $t \in (5, 9]$ с: $s(t) = s_1 + s_2 + s_{3a}(t) = 16 + (v(5)(t-5) + \frac{a_3(t-5)^2}{2}) = 16 + 4(t-5) - \frac{(t-5)^2}{2} = -0.5t^2 + 9t - 16.5$.
• При $t \in (9, 10]$ с: $s(t) = s(9) + s_{3b}(t) = 24 + \frac{|a_3|(t-9)^2}{2} = 24 + \frac{(t-9)^2}{2} = 0.5t^2 - 9t + 64.5$.

Теперь найдем среднюю скорость $v_{ср}(t) = s(t)/t$:

• При $t \in (0, 2]$ с: $v_{ср}(t) = \frac{t^2}{t} = t$.
• При $t \in (2, 5]$ с: $v_{ср}(t) = \frac{4t-4}{t} = 4 - \frac{4}{t}$.
• При $t \in (5, 9]$ с: $v_{ср}(t) = \frac{-0.5t^2 + 9t - 16.5}{t} = -0.5t + 9 - \frac{16.5}{t}$.
• При $t \in (9, 10]$ с: $v_{ср}(t) = \frac{0.5t^2 - 9t + 64.5}{t} = 0.5t - 9 + \frac{64.5}{t}$.

График средней скорости $v_{ср}(t)$:

График состоит из нескольких участков кривых:

• от $t=0$ до $t=2$ с: прямая от $(0, 0)$ до $(2, 2)$;
• от $t=2$ с до $t=5$ с: кривая, идущая от $(2, 2)$ до $(5, 3.2)$;
• от $t=5$ с до $t=9$ с: кривая от $(5, 3.2)$ до $(9, 8/3 \approx 2.67)$, достигающая максимума $\approx 3.26$ м/с при $t=\sqrt{33} \approx 5.74$ с;
• от $t=9$ с до $t=10$ с: кривая, идущая от $(9, 8/3)$ до $(10, 2.45)$.

Ответ: График средней скорости является кусочно-заданной функцией, состоящей из линейного и нескольких криволинейных участков, как описано выше.

Сравните площади под графиками.

Сравним площади под двумя ключевыми графиками: графиком скорости $v(t)$ и графиком модуля скорости (путевой скорости) $|v(t)|$.

1. Площадь под графиком скорости $v(t)$. Эта площадь численно равна полному перемещению тела $\Delta x$ за всё время движения $T=10$ с. Площадь участков ниже оси времени вычитается.

$S_{v(t)} = \Delta x = s_1 + s_2 + \Delta x_3$.

Перемещение на третьем этапе: $\Delta x_3 = v(5)(10-5) + \frac{a_3(10-5)^2}{2} = 4 \cdot 5 + \frac{-1 \cdot 5^2}{2} = 20 - 12.5 = 7.5$ м.

Полное перемещение: $\Delta x = 4 + 12 + 7.5 = 23.5$ м.

Итак, площадь под графиком $v(t)$ равна $S_{v(t)} = 23.5$ м.

2. Площадь под графиком модуля скорости $|v(t)||$. Этот график получается из графика $v(t)$ отражением отрицательной части ($t \in (9, 10]$) относительно оси времени. Площадь под этим графиком численно равна полному пройденному пути $s_{полн}$.

$S_{|v(t)|} = s_{полн} = s_1 + s_2 + s_3 = 4 + 12 + 8.5 = 24.5$ м.

Сравнение:

$S_{|v(t)|} = 24.5$ м, а $S_{v(t)} = 23.5$ м.

Таким образом, $S_{|v(t)|} > S_{v(t)}$. Площадь под графиком модуля скорости (полный путь) больше площади под графиком скорости (полное перемещение). Это связано с тем, что на последнем этапе тело меняло направление движения, и пройденный путь оказался больше модуля перемещения.

Ответ: Площадь под графиком модуля скорости $S_{|v(t)|} = 24.5$ м, она представляет собой полный пройденный путь. Площадь под графиком скорости $S_{v(t)} = 23.5$ м, она представляет собой полное перемещение. Поскольку тело меняло направление движения, пройденный путь больше перемещения, и, соответственно, $S_{|v(t)|} > S_{v(t)}$.