Номер 7.42, страница 22 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 7. Скорость. Средняя скорость. Ускорение и его относительность. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 7.42, страница 22.

7.42 [149] По данным условия задачи 7.39 постройте график скорости и определите отрезки пути, пройденные телом на каждом этапе движения. Постройте график средней скорости движения тела. Сравните площади под графиками.

Для решения задачи воспользуемся данными из условия задачи 7.39. В задаче 7.39 дан график зависимости ускорения от времени для тела, начинающего движение из состояния покоя.

Дано:

Начальная скорость: $v_0 = 0$ м/с.

Этап 1 (интервал времени от 0 до 2 с): ускорение постоянно и равно $a_1 = 2$ м/с².

Этап 2 (интервал времени от 2 до 5 с): ускорение равно $a_2 = 0$ м/с².

Этап 3 (интервал времени от 5 до 10 с): ускорение постоянно и равно $a_3 = -1$ м/с².

Найти:

1. График скорости $v(t)$.

2. Отрезки пути $s_1, s_2, s_3$, пройденные на каждом этапе.

3. График средней путевой скорости $v_{ср}(t)$.

4. Сравнить площади под графиками скорости $v(t)$ и модуля скорости $|v(t)|$.

Решение:

Постройте график скорости и определите отрезки пути, пройденные телом на каждом этапе движения.

Движение тела можно разбить на три этапа, на каждом из которых оно является равноускоренным.

Этап 1: $t \in [0, 2]$ с

Тело движется с постоянным ускорением $a_1 = 2$ м/с² из состояния покоя. Скорость изменяется по закону $v(t) = v_0 + a_1 t = 0 + 2t = 2t$.

В конце этапа, при $t=2$ с, скорость будет: $v(2) = 2 \cdot 2 = 4$ м/с.

Путь, пройденный на первом этапе, можно найти как площадь под графиком скорости (площадь треугольника) или по формуле: $s_1 = v_0 t_1 + \frac{a_1 t_1^2}{2} = 0 \cdot 2 + \frac{2 \cdot 2^2}{2} = 4$ м.

Этап 2: $t \in (2, 5]$ с

Ускорение $a_2 = 0$, следовательно, тело движется равномерно со скоростью, достигнутой в конце первого этапа: $v(t) = v(2) = 4$ м/с.

Путь, пройденный на втором этапе, равен: $s_2 = v(2) \cdot \Delta t_2 = 4 \cdot (5 - 2) = 4 \cdot 3 = 12$ м.

Этап 3: $t \in (5, 10]$ с

Тело движется с постоянным ускорением $a_3 = -1$ м/с². Начальная скорость для этого этапа равна скорости в конце второго этапа, $v(5) = 4$ м/с.

Скорость изменяется по закону: $v(t) = v(5) + a_3 (t - 5) = 4 - 1 \cdot (t - 5) = 4 - t + 5 = 9 - t$.

В конце этапа, при $t=10$ с, скорость будет: $v(10) = 9 - 10 = -1$ м/с.

Отрицательное значение скорости означает, что тело начало двигаться в обратном направлении. Найдем момент времени, когда скорость стала равна нулю: $v(t) = 0 \Rightarrow 9 - t = 0 \Rightarrow t = 9$ с.

Путь на третьем этапе состоит из двух частей: путь до остановки (от 5 до 9 с) и путь в обратном направлении (от 9 до 10 с).

Путь до остановки: $s_{3a} = \frac{v(5) + v(9)}{2} \cdot (9-5) = \frac{4+0}{2} \cdot 4 = 8$ м.

Путь в обратном направлении (модуль перемещения): $s_{3b} = |\frac{v(9) + v(10)}{2} \cdot (10-9)| = |\frac{0 + (-1)}{2} \cdot 1| = 0.5$ м.

Общий путь на третьем этапе: $s_3 = s_{3a} + s_{3b} = 8 + 0.5 = 8.5$ м.

График скорости $v(t)$:

График состоит из трех линейных участков:

• от $t=0$ до $t=2$ с: прямая, соединяющая точки $(0, 0)$ и $(2, 4)$;
• от $t=2$ с до $t=5$ с: горизонтальная прямая на уровне $v=4$ м/с, соединяющая точки $(2, 4)$ и $(5, 4)$;
• от $t=5$ с до $t=10$ с: прямая, соединяющая точки $(5, 4)$ и $(10, -1)$.

Ответ: Отрезки пути, пройденные телом на каждом этапе: $s_1 = 4$ м, $s_2 = 12$ м, $s_3 = 8.5$ м. График скорости описан выше.

Постройте график средней скорости движения тела.

Средняя путевая скорость определяется как отношение всего пройденного пути $s(t)$ к времени движения $t$: $v_{ср}(t) = \frac{s(t)}{t}$.

Найдем зависимость пройденного пути $s(t)$ от времени:

• При $t \in [0, 2]$ с: $s(t) = \frac{a_1 t^2}{2} = t^2$.
• При $t \in (2, 5]$ с: $s(t) = s_1 + v(2)(t-2) = 4 + 4(t-2) = 4t - 4$.
• При $t \in (5, 9]$ с: $s(t) = s_1 + s_2 + s_{3a}(t) = 16 + (v(5)(t-5) + \frac{a_3(t-5)^2}{2}) = 16 + 4(t-5) - \frac{(t-5)^2}{2} = -0.5t^2 + 9t - 16.5$.
• При $t \in (9, 10]$ с: $s(t) = s(9) + s_{3b}(t) = 24 + \frac{|a_3|(t-9)^2}{2} = 24 + \frac{(t-9)^2}{2} = 0.5t^2 - 9t + 64.5$.

Теперь найдем среднюю скорость $v_{ср}(t) = s(t)/t$:

• При $t \in (0, 2]$ с: $v_{ср}(t) = \frac{t^2}{t} = t$.
• При $t \in (2, 5]$ с: $v_{ср}(t) = \frac{4t-4}{t} = 4 - \frac{4}{t}$.
• При $t \in (5, 9]$ с: $v_{ср}(t) = \frac{-0.5t^2 + 9t - 16.5}{t} = -0.5t + 9 - \frac{16.5}{t}$.
• При $t \in (9, 10]$ с: $v_{ср}(t) = \frac{0.5t^2 - 9t + 64.5}{t} = 0.5t - 9 + \frac{64.5}{t}$.

График средней скорости $v_{ср}(t)$:

График состоит из нескольких участков кривых:

• от $t=0$ до $t=2$ с: прямая от $(0, 0)$ до $(2, 2)$;
• от $t=2$ с до $t=5$ с: кривая, идущая от $(2, 2)$ до $(5, 3.2)$;
• от $t=5$ с до $t=9$ с: кривая от $(5, 3.2)$ до $(9, 8/3 \approx 2.67)$, достигающая максимума $\approx 3.26$ м/с при $t=\sqrt{33} \approx 5.74$ с;
• от $t=9$ с до $t=10$ с: кривая, идущая от $(9, 8/3)$ до $(10, 2.45)$.

Ответ: График средней скорости является кусочно-заданной функцией, состоящей из линейного и нескольких криволинейных участков, как описано выше.

Сравните площади под графиками.

Сравним площади под двумя ключевыми графиками: графиком скорости $v(t)$ и графиком модуля скорости (путевой скорости) $|v(t)|$.

1. Площадь под графиком скорости $v(t)$. Эта площадь численно равна полному перемещению тела $\Delta x$ за всё время движения $T=10$ с. Площадь участков ниже оси времени вычитается.

$S_{v(t)} = \Delta x = s_1 + s_2 + \Delta x_3$.

Перемещение на третьем этапе: $\Delta x_3 = v(5)(10-5) + \frac{a_3(10-5)^2}{2} = 4 \cdot 5 + \frac{-1 \cdot 5^2}{2} = 20 - 12.5 = 7.5$ м.

Полное перемещение: $\Delta x = 4 + 12 + 7.5 = 23.5$ м.

Итак, площадь под графиком $v(t)$ равна $S_{v(t)} = 23.5$ м.

2. Площадь под графиком модуля скорости $|v(t)||$. Этот график получается из графика $v(t)$ отражением отрицательной части ($t \in (9, 10]$) относительно оси времени. Площадь под этим графиком численно равна полному пройденному пути $s_{полн}$.

$S_{|v(t)|} = s_{полн} = s_1 + s_2 + s_3 = 4 + 12 + 8.5 = 24.5$ м.

Сравнение:

$S_{|v(t)|} = 24.5$ м, а $S_{v(t)} = 23.5$ м.

Таким образом, $S_{|v(t)|} > S_{v(t)}$. Площадь под графиком модуля скорости (полный путь) больше площади под графиком скорости (полное перемещение). Это связано с тем, что на последнем этапе тело меняло направление движения, и пройденный путь оказался больше модуля перемещения.

Ответ: Площадь под графиком модуля скорости $S_{|v(t)|} = 24.5$ м, она представляет собой полный пройденный путь. Площадь под графиком скорости $S_{v(t)} = 23.5$ м, она представляет собой полное перемещение. Поскольку тело меняло направление движения, пройденный путь больше перемещения, и, соответственно, $S_{|v(t)|} > S_{v(t)}$.