Номер 6.11, страница 17 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 6. Механическое движение и его относительность. Траектория. Путь. Перемещение. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 6.11, страница 17.

6.11 [107] Кабина лифта опустилась с одиннадцатого этажа здания на пятый, а затем поднялась на восьмой этаж. Считая, что расстояния между этажами равны по 4 м, определите путь и перемещение кабины. Какой знак имеет проекция вектора перемещения на ось, направленную вертикально вверх?

Рис. II-2

Дано:

Начальный этаж: $n_1 = 11$

Промежуточный этаж: $n_2 = 5$

Конечный этаж: $n_3 = 8$

Расстояние между этажами: $h = 4$ м

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Путь: $s - ?$

Перемещение (модуль): $|\vec{\Delta r}| - ?$

Знак проекции вектора перемещения на ось, направленную вертикально вверх: $sign(\Delta r_y) - ?$

Решение:

Для решения задачи введем вертикальную ось координат $OY$, направленную вверх. За начало отсчета ($y=0$) можно принять уровень первого этажа. Тогда высота $n$-го этажа будет определяться как $y_n = (n-1)h$.

Определение пути кабины

Путь – это скалярная величина, равная длине траектории, пройденной телом. Путь кабины лифта складывается из двух участков: движение вниз с 11-го на 5-й этаж и движение вверх с 5-го на 8-й этаж.

1. Длина первого участка (движение вниз): кабина прошла $n_1 - n_2 = 11 - 5 = 6$ этажей. Путь на этом участке равен:

$s_1 = (n_1 - n_2) \cdot h = 6 \cdot 4 \text{ м} = 24 \text{ м}$

2. Длина второго участка (движение вверх): кабина прошла $n_3 - n_2 = 8 - 5 = 3$ этажа. Путь на этом участке равен:

$s_2 = (n_3 - n_2) \cdot h = 3 \cdot 4 \text{ м} = 12 \text{ м}$

3. Общий путь $s$ равен сумме путей на каждом участке:

$s = s_1 + s_2 = 24 \text{ м} + 12 \text{ м} = 36 \text{ м}$

Ответ: путь, пройденный кабиной лифта, равен 36 м.

Определение перемещения кабины

Перемещение – это вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела. Модуль перемещения – это расстояние между начальной и конечной точками по прямой.

1. Начальное положение кабины – 11-й этаж. Координата $y_1$:

$y_1 = (n_1 - 1) \cdot h = (11 - 1) \cdot 4 \text{ м} = 10 \cdot 4 \text{ м} = 40 \text{ м}$

2. Конечное положение кабины – 8-й этаж. Координата $y_3$:

$y_3 = (n_3 - 1) \cdot h = (8 - 1) \cdot 4 \text{ м} = 7 \cdot 4 \text{ м} = 28 \text{ м}$

3. Проекция вектора перемещения на ось $OY$ равна разности конечной и начальной координат:

$\Delta r_y = y_3 - y_1 = 28 \text{ м} - 40 \text{ м} = -12 \text{ м}$

4. Модуль перемещения $|\vec{\Delta r}|$ равен модулю его проекции, так как движение происходит вдоль одной прямой:

$|\vec{\Delta r}| = |\Delta r_y| = |-12 \text{ м}| = 12 \text{ м}$

Ответ: модуль перемещения кабины лифта равен 12 м.

Какой знак имеет проекция вектора перемещения на ось, направленную вертикально вверх?

Вектор перемещения $\vec{\Delta r}$ направлен от начальной точки (11-й этаж) к конечной (8-й этаж). Так как конечный этаж находится ниже начального, вектор перемещения направлен вертикально вниз. Ось координат $OY$ по условию направлена вертикально вверх. Поскольку направление вектора перемещения противоположно направлению оси $OY$, его проекция на эту ось будет отрицательной. Это подтверждается расчетом выше: $\Delta r_y = -12$ м.

Ответ: проекция вектора перемещения на ось, направленную вертикально вверх, имеет отрицательный знак.