Номер 10.20, страница 34 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 10. Взаимодействие тел. Масса тел. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 10.20, страница 34.

10.20 [218] Мальчик выбирает верёвку, и лодки в озере сближаются (рис. II-33). Какая из двух одинаковых лодок к моменту сближения приобретает большую скорость? Почему?

Рис. II-33

Дано:

Масса мальчика: $m_м$
Масса каждой из одинаковых лодок: $m_л$
Пусть лодка без мальчика будет лодкой 1, а лодка с мальчиком — лодкой 2.
Масса лодки 1: $M_1 = m_л$
Масса лодки 2: $M_2 = m_л + m_м$
Начальные скорости лодок равны нулю.

Найти:

Какая из лодок ($v_1$ или $v_2$) приобретет большую скорость к моменту сближения.

Решение:

Эту задачу можно решить двумя способами.

1-й способ: Используя законы Ньютона.

Когда мальчик тянет веревку, он прикладывает силу к пустой лодке. Согласно третьему закону Ньютона, веревка с такой же по модулю, но противоположной по направлению силой действует на мальчика, а следовательно, и на лодку, в которой он находится. Обозначим модуль этой силы тяги как $F$.

Таким образом, на обе лодки действует одинаковая по модулю сила:

$F_1 = F$ (сила, действующая на пустую лодку)
$F_2 = F$ (сила, действующая на лодку с мальчиком)

Согласно второму закону Ньютона, ускорение, которое приобретает тело, равно $a = F/M$, где $F$ — действующая сила, а $M$ — масса тела.

Найдем ускорения каждой лодки:

Ускорение пустой лодки (лодки 1): $a_1 = \frac{F}{M_1} = \frac{F}{m_л}$

Ускорение лодки с мальчиком (лодки 2): $a_2 = \frac{F}{M_2} = \frac{F}{m_л + m_м}$

Сравним массы: $M_1 = m_л$, а $M_2 = m_л + m_м$. Очевидно, что $M_2 > M_1$.

Поскольку на лодки действуют одинаковые силы, а массы у них разные, то ускорение будет больше у той лодки, чья масса меньше. Следовательно, $a_1 > a_2$.

Обе лодки начинают движение одновременно из состояния покоя и движутся до встречи одинаковое время $t$. Скорость при равноускоренном движении из состояния покоя определяется как $v = at$. Значит, к моменту встречи их скорости будут $v_1 = a_1 t$ и $v_2 = a_2 t$. Так как $a_1 > a_2$, то и $v_1 > v_2$.

2-й способ: Используя закон сохранения импульса.

Рассмотрим систему, состоящую из мальчика и двух лодок. Силы натяжения веревки являются внутренними для этой системы. Если пренебречь внешними силами (сопротивлением воды), то для данной системы будет выполняться закон сохранения импульса.

Изначально обе лодки покоились, поэтому суммарный импульс системы был равен нулю.

$p_{начальный} = 0$

Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс системы должен оставаться равным нулю и в процессе движения. Суммарный импульс в любой момент времени равен векторной сумме импульсов пустой лодки ($p_1$) и лодки с мальчиком ($p_2$).

$p_1 + p_2 = 0 \implies p_1 = -p_2$

Это означает, что модули импульсов двух лодок равны в любой момент времени:

$|p_1| = |p_2|$
$M_1 v_1 = M_2 v_2$
$m_л \cdot v_1 = (m_л + m_м) \cdot v_2$

Из этого равенства выразим отношение скоростей:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{m_л + m_м}{m_л}$

Поскольку масса мальчика $m_м > 0$, числитель дроби $(m_л + m_м)$ больше знаменателя $m_л$, следовательно, их отношение больше единицы. Отсюда следует, что $v_1 > v_2$.

Оба способа приводят к выводу, что скорость пустой лодки будет больше.

Ответ: Большую скорость к моменту сближения приобретет пустая лодка. Причина в том, что силы, действующие на лодки, равны по модулю (третий закон Ньютона), а массы объектов различны. Согласно второму закону Ньютона ($a=F/m$), тело с меньшей массой (пустая лодка) получит большее ускорение и, следовательно, разовьет большую скорость за то же время.