Номер 10.21, страница 34 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 10. Взаимодействие тел. Масса тел. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 10.21, страница 34.

10.21 [223] Могут ли два неподвижных вначале тела в результате взаимодействия друг с другом приобрести одинаковые по численному значению скорости?

Дано:

Система из двух тел с массами $m_1$ и $m_2$.

Начальные скорости тел: $\vec{v}_{1н} = 0$, $\vec{v}_{2н} = 0$.

Найти:

Условие, при котором скорости тел после взаимодействия будут равны по модулю: $| \vec{v}_{1к} | = | \vec{v}_{2к} |$.

Решение:

Рассмотрим систему двух тел как замкнутую, так как они взаимодействуют только друг с другом (внутренними силами). Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс замкнутой системы тел остается постоянным.

Начальный импульс системы $\vec{P}_{н}$ равен сумме импульсов тел до взаимодействия. Поскольку тела покоились, их начальные скорости были равны нулю:

$\vec{P}_{н} = m_1 \vec{v}_{1н} + m_2 \vec{v}_{2н} = m_1 \cdot 0 + m_2 \cdot 0 = \vec{0}$

Пусть $\vec{v}_{1к}$ и $\vec{v}_{2к}$ — скорости тел после взаимодействия. Конечный импульс системы $\vec{P}_{к}$ равен:

$\vec{P}_{к} = m_1 \vec{v}_{1к} + m_2 \vec{v}_{2к}$

По закону сохранения импульса $\vec{P}_{н} = \vec{P}_{к}$, следовательно:

$m_1 \vec{v}_{1к} + m_2 \vec{v}_{2к} = \vec{0}$

Из этого векторного равенства следует, что $m_1 \vec{v}_{1к} = -m_2 \vec{v}_{2к}$. Это означает, что векторы скоростей $\vec{v}_{1к}$ и $\vec{v}_{2к}$ направлены в противоположные стороны (так как массы — положительные скалярные величины), а сами тела разлетаются вдоль одной прямой.

Запишем равенство для модулей векторов:

$|m_1 \vec{v}_{1к}| = |-m_2 \vec{v}_{2к}|$

$m_1 |\vec{v}_{1к}| = m_2 |\vec{v}_{2к}|$

Обозначим численные значения скоростей (их модули) как $v_{1к}$ и $v_{2к}$. Тогда:

$m_1 v_{1к} = m_2 v_{2к}$

Вопрос состоит в том, при каком условии возможно $v_{1к} = v_{2к}$. Пусть $v_{1к} = v_{2к} = v$, где $v$ — некоторая ненулевая скорость ($v \ne 0$, так как тела в результате взаимодействия приходят в движение). Подставим это условие в полученное уравнение:

$m_1 v = m_2 v$

Поскольку $v \ne 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $v$:

$m_1 = m_2$

Таким образом, два тела, первоначально находившиеся в покое, могут приобрести в результате взаимодействия одинаковые по численному значению скорости только в том случае, если их массы равны.

Ответ: да, могут, если массы этих тел одинаковы.