Номер 12.22, страница 41 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 12. Сила. Второй закон Ньютона. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 12.22, страница 41.

12.22 [д. 35] Графики зависимости координаты $x$ от времени $t$ для трёх автомобилей $A$, $B$ и $C$, движущихся по прямому шоссе, представлены на рисунке II-42. На автомобиль $A$ массой 1000 кг действует сила $F_A$. Определите массы автомобилей $B$ и $C$, если на них действуют силы $F_B = 0,4F_A$ и $F_C = 0,3F_A$ соответственно.

Рис. II-42

Дано:

Масса автомобиля А: $m_A = 1000 \text{ кг}$
Сила, действующая на автомобиль B: $F_B = 0,4 F_A$
Сила, действующая на автомобиль C: $F_C = 0,3 F_A$
Графики зависимости координаты $x$ от времени $t$.

Найти:

Массу автомобиля B: $m_B$ - ?
Массу автомобиля C: $m_C$ - ?

Решение:

Для определения масс автомобилей B и C воспользуемся вторым законом Ньютона, который связывает силу, массу и ускорение: $F = ma$. Отсюда масса может быть выражена как $m = \frac{F}{a}$. Силы, действующие на автомобили B и C, зависят от силы $F_A$, которую мы можем найти, определив ускорение автомобиля А из графика. Ускорения всех автомобилей определяются по их графикам зависимости координаты от времени $x(t)$.

1. Анализ движения автомобиля А.
График $x(t)$ для автомобиля А представляет собой параболу, выходящую из начала координат. Это соответствует равноускоренному движению с нулевой начальной скоростью ($v_0 = 0$) и нулевой начальной координатой ($x_0 = 0$). Уравнение движения в этом случае имеет вид: $x(t) = \frac{a t^2}{2}$. Из графика для автомобиля А видно, что в момент времени $t_A = 4 \text{ с}$ его координата $x_A = 8 \text{ м}$. Подставим эти значения в уравнение движения, чтобы найти ускорение $a_A$: $x_A = \frac{a_A t_A^2}{2} \implies a_A = \frac{2x_A}{t_A^2} = \frac{2 \cdot 8 \text{ м}}{(4 \text{ с})^2} = \frac{16}{16} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 1 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$. Теперь найдем силу $F_A$, действующую на автомобиль А: $F_A = m_A a_A = 1000 \text{ кг} \cdot 1 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 1000 \text{ Н}$.

2. Определение массы автомобиля B.
Найдем силу, действующую на автомобиль B: $F_B = 0,4 F_A = 0,4 \cdot 1000 \text{ Н} = 400 \text{ Н}$. Аналогично автомобилю А, график для автомобиля B — парабола, что означает равноускоренное движение из состояния покоя. Из графика находим, что в момент времени $t_B = 6 \text{ с}$ координата $x_B = 10 \text{ м}$. Найдем ускорение $a_B$: $a_B = \frac{2x_B}{t_B^2} = \frac{2 \cdot 10 \text{ м}}{(6 \text{ с})^2} = \frac{20}{36} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = \frac{5}{9} \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$. Теперь можем вычислить массу автомобиля B: $m_B = \frac{F_B}{a_B} = \frac{400 \text{ Н}}{5/9 \text{ м/с}^2} = \frac{400 \cdot 9}{5} \text{ кг} = 80 \cdot 9 \text{ кг} = 720 \text{ кг}$.

3. Определение массы автомобиля C.
Найдем силу, действующую на автомобиль C: $F_C = 0,3 F_A = 0,3 \cdot 1000 \text{ Н} = 300 \text{ Н}$. График движения автомобиля C — прямая линия. Это означает, что он движется с постоянной скоростью, то есть равномерно. При равномерном движении ускорение равно нулю ($a_C = 0$). Это противоречит условию задачи, согласно которому на автомобиль действует ненулевая сила $F_C$, которая должна вызывать ускорение. Вероятнее всего, график является упрощением, и на самом деле автомобиль С совершает равноускоренное движение из состояния покоя ($v_0=0$) от начальной координаты $x_0 = 10 \text{ м}$. Из графика видно, что автомобиль достигает координаты $x=0$ за время $t_C = 5 \text{ с}$. Примем эту гипотезу и найдем ускорение из уравнения равноускоренного движения: $x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{a_C t^2}{2}$. $0 = 10 \text{ м} + 0 \cdot 5 \text{ с} + \frac{a_C (5 \text{ с})^2}{2}$. $ -10 = \frac{25 a_C}{2} \implies a_C = -\frac{20}{25} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = -0,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$. Знак "минус" указывает, что ускорение направлено против оси $x$. Модуль ускорения $|a_C| = 0,8 \text{ м/с}^2$. Теперь найдем массу автомобиля C: $m_C = \frac{F_C}{|a_C|} = \frac{300 \text{ Н}}{0,8 \text{ м/с}^2} = \frac{3000}{8} \text{ кг} = 375 \text{ кг}$.

Ответ: масса автомобиля B равна 720 кг; масса автомобиля C равна 375 кг.