Номер 12.20, страница 41 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 12. Сила. Второй закон Ньютона. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 12.20, страница 41.

12.20 [д. 39] По данным условия предыдущей задачи определите массу мотоциклиста вместе с мотоциклом.

Для решения этой задачи используются данные из предыдущей задачи (12.19). Обычно в таких задачах рассматривается движение мотоциклиста по выпуклому мосту. Предположим, что из условия предыдущей задачи известно, что радиус кривизны моста $R = 50$ м, а при движении со скоростью $v = 36$ км/ч сила давления мотоциклиста на мост в его верхней точке составляет $N = 2,0$ кН.

Дано:

$R = 50 \text{ м}$
$v = 36 \text{ км/ч}$
$N = 2,0 \text{ кН}$
$g \approx 10 \text{ м/с}^2$

$v = 36 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 36 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 10 \text{ м/с}$
$N = 2,0 \text{ кН} = 2000 \text{ Н}$

Найти:

$m$

Решение:

Когда мотоциклист находится в верхней точке выпуклого моста, на него действуют две силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $N$, направленная вертикально вверх. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил сообщает телу центростремительное ускорение $a_c$, которое направлено к центру кривизны моста, то есть также вертикально вниз.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направив ее по направлению центростремительного ускорения (вниз):

$mg - N = ma_c$

По третьему закону Ньютона сила давления на мост равна по модулю силе реакции опоры $N$. Центростремительное ускорение вычисляется по формуле:

$a_c = \frac{v^2}{R}$

Подставим это выражение в уравнение второго закона Ньютона:

$mg - N = m\frac{v^2}{R}$

Цель задачи — найти массу $m$. Для этого выразим $m$ из полученного уравнения. Сгруппируем члены, содержащие $m$, в левой части уравнения:

$mg - m\frac{v^2}{R} = N$

Вынесем $m$ за скобки:

$m \left( g - \frac{v^2}{R} \right) = N$

Отсюда получаем итоговую формулу для массы:

$m = \frac{N}{g - \frac{v^2}{R}}$

Теперь подставим числовые значения, переведенные в систему СИ:

$m = \frac{2000 \text{ Н}}{10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} - \frac{(10 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{50 \text{ м}}} = \frac{2000}{10 - \frac{100}{50}} = \frac{2000}{10 - 2} = \frac{2000}{8} = 250 \text{ кг}$

Ответ: масса мотоциклиста вместе с мотоциклом составляет $250$ кг.