Страница 51 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

15.11 [226] Соревнуясь в перетягивании, два мальчика тянут верёвку в разные стороны, прикладывая к ней силы по 500 Н каждый. Разорвётся ли верёвка, если она выдерживает силу натяжения лишь 800 Н?

Дано:

Сила, с которой тянет первый мальчик, $F_1 = 500$ Н
Сила, с которой тянет второй мальчик, $F_2 = 500$ Н
Максимальная сила натяжения, которую выдерживает верёвка, $T_{max} = 800$ Н

Найти:

Разорвётся ли верёвка?

Решение:

Сила натяжения верёвки — это сила, которая действует вдоль верёвки и растягивает её. Когда два мальчика тянут верёвку в противоположные стороны с одинаковыми силами, верёвка находится в состоянии равновесия (или движется равномерно).

Рассмотрим силы, действующие на верёвку. Первый мальчик тянет её в одну сторону с силой $F_1 = 500$ Н. Второй мальчик тянет её в противоположную сторону с силой $F_2 = 500$ Н. Сила натяжения $T$ внутри верёвки будет одинакова в любой её точке и будет равна силе, приложенной к каждому из её концов.

Часто возникает заблуждение, что силы нужно складывать. Однако это неверно. Сила натяжения — это внутренняя сила, которая возникает в ответ на внешнее растягивающее воздействие. Чтобы понять это, можно представить, что один конец верёвки привязан к неподвижной стене, а мальчик тянет за другой конец с силой 500 Н. Стена, в соответствии с третьим законом Ньютона, будет действовать на верёвку с силой 500 Н в противоположном направлении. Сила натяжения в верёвке при этом будет равна 500 Н.

В нашей задаче второй мальчик выполняет роль "стены", создавая противодействующую силу. Таким образом, сила натяжения верёвки $T$ равна силе, которую прикладывает каждый из мальчиков:

$T = F_1 = F_2 = 500$ Н

Теперь сравним полученную силу натяжения с максимальной силой, которую верёвка может выдержать, не разрываясь:

$T = 500$ Н
$T_{max} = 800$ Н

Поскольку сила натяжения в верёвке меньше, чем максимальная допустимая сила натяжения ($500 \text{ Н} < 800 \text{ Н}$), верёвка не разорвётся.

Ответ: нет, верёвка не разорвётся, так как сила натяжения в ней составляет 500 Н, что меньше предельно допустимой силы натяжения в 800 Н.

15.12 [350] Под действием силы $320 \text{ Н}$ пружина амортизатора сжалась на $9 \text{ мм}$. На сколько миллиметров сожмётся пружина при нагрузке $1.6 \text{ кН}$?

Дано:

$F_1 = 320$ Н
$\Delta x_1 = 9$ мм
$F_2 = 1.6$ кН

Найти:

$\Delta x_2$ - ?

Решение:

При упругой деформации, какой является сжатие пружины, сила упругости, возникающая в пружине, прямо пропорциональна ее удлинению (или сжатию). Это описывается законом Гука:

$F_{\text{упр}} = k \cdot \Delta x$

где $F_{\text{упр}}$ — сила упругости, $k$ — коэффициент жесткости пружины, а $\Delta x$ — изменение длины пружины (сжатие).

В состоянии равновесия приложенная внешняя сила $F$ равна по модулю силе упругости $F_{\text{упр}}$. Следовательно, $F = k \cdot \Delta x$.

Так как в обоих случаях используется одна и та же пружина, ее коэффициент жесткости $k$ является постоянной величиной.

Запишем закон Гука для первого и второго случаев:

$F_1 = k \cdot \Delta x_1$

$F_2 = k \cdot \Delta x_2$

Из первого уравнения выразим коэффициент жесткости $k$:

$k = \frac{F_1}{\Delta x_1}$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$F_2 = \frac{F_1}{\Delta x_1} \cdot \Delta x_2$

Теперь выразим искомое сжатие $\Delta x_2$:

$\Delta x_2 = \frac{F_2 \cdot \Delta x_1}{F_1}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$\Delta x_2 = \frac{1600 \text{ Н} \cdot 0.009 \text{ м}}{320 \text{ Н}} = \frac{1600}{320} \cdot 0.009 \text{ м} = 5 \cdot 0.009 \text{ м} = 0.045 \text{ м}$

По условию задачи, ответ нужно дать в миллиметрах. Переведем метры в миллиметры:

$0.045 \text{ м} = 45 \text{ мм}$

Ответ: пружина сожмётся на 45 мм.

15.13 [351] Пружина динамометра под действием силы 4 Н удлинилась на 5 мм. Определите вес груза, под действием которого эта пружина удлиняется на 16 мм.

Дано:

Сила, действующая на пружину в первом случае, $F_1 = 4$ Н
Удлинение пружины в первом случае, $\Delta x_1 = 5$ мм
Удлинение пружины во втором случае, $\Delta x_2 = 16$ мм

$\Delta x_1 = 5 \text{ мм} = 5 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0.005 \text{ м}$
$\Delta x_2 = 16 \text{ мм} = 16 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0.016 \text{ м}$

Найти:

Вес груза во втором случае $P_2$.

Решение:

Для решения данной задачи используется закон Гука. Согласно этому закону, сила упругости ($F_{упр}$), возникающая при деформации (растяжении или сжатии) пружины, прямо пропорциональна изменению ее длины ($\Delta x$).

Формула закона Гука: $F_{упр} = k \cdot \Delta x$, где $k$ – коэффициент жёсткости пружины.

Когда к пружине прикладывают внешнюю силу (в данном случае, вес груза $P$), она растягивается до тех пор, пока сила упругости не станет равной по модулю приложенной силе. Таким образом, для состояния равновесия можно записать $F = F_{упр}$, где $F$ - внешняя сила.

Запишем уравнения для двух ситуаций, описанных в условии задачи:
1. Под действием силы $F_1$ пружина удлинилась на $\Delta x_1$: $F_1 = k \cdot \Delta x_1$.
2. Под действием веса груза $P_2$ пружина удлинилась на $\Delta x_2$: $P_2 = k \cdot \Delta x_2$.

Так как в обоих случаях используется одна и та же пружина, её жёсткость $k$ не изменяется. Мы можем составить пропорцию, разделив второе уравнение на первое: $\frac{P_2}{F_1} = \frac{k \cdot \Delta x_2}{k \cdot \Delta x_1}$

Коэффициент жёсткости $k$ в числителе и знаменателе сокращается: $\frac{P_2}{F_1} = \frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}$

Из этого соотношения выражаем искомый вес груза $P_2$: $P_2 = F_1 \cdot \frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}$

Теперь подставим известные числовые значения. Так как в формуле используется отношение удлинений, нет необходимости переводить их в систему СИ, можно использовать миллиметры, поскольку единицы измерения сократятся. $P_2 = 4 \text{ Н} \cdot \frac{16 \text{ мм}}{5 \text{ мм}} = 4 \cdot 3.2 \text{ Н} = 12.8 \text{ Н}$

Ответ: вес груза равен 12.8 Н.

15.14* [352*] Грузовик взял на буксир легковой автомобиль массой 1 т и, двигаясь равноускоренно, за 50 с проехал путь 400 м. На сколько удлинился во время движения трос, соединяющий автомобили, если его жёсткость равна $2,0 \cdot 10^5$ Н/м? Трение не учитывайте.

Дано:

Масса легкового автомобиля $m = 1 \text{ т}$
Время движения $t = 50 \text{ с}$
Пройденный путь $S = 400 \text{ м}$
Жёсткость троса $k = 2,0 \cdot 10^5 \text{ Н/м}$
Начальная скорость $v_0 = 0 \text{ м/с}$

Перевод в систему СИ:

$m = 1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$

Найти:

Удлинение троса $\Delta l$

Решение:

Удлинение троса $\Delta l$ можно найти, используя закон Гука, который связывает силу упругости $F_{упр}$, возникающую в тросе, с его жёсткостью $k$ и удлинением:
$F_{упр} = k \cdot \Delta l$
Отсюда удлинение равно:
$\Delta l = \frac{F_{упр}}{k}$

Сила упругости $F_{упр}$, действующая на легковой автомобиль со стороны троса, сообщает ему ускорение $a$. Согласно второму закону Ньютона, эта сила равна:
$F_{упр} = m \cdot a$
По условию задачи трение не учитывается, поэтому сила упругости является единственной силой, действующей на автомобиль в горизонтальном направлении.

Чтобы найти силу, необходимо сначала определить ускорение $a$. Поскольку автомобили движутся равноускоренно из состояния покоя ($v_0 = 0$), пройденный путь $S$ за время $t$ определяется по формуле:
$S = v_0 t + \frac{at^2}{2} = \frac{at^2}{2}$
Выразим из этой формулы ускорение:
$a = \frac{2S}{t^2}$

Теперь, объединив формулы, можно выразить удлинение троса через известные величины:
$\Delta l = \frac{F_{упр}}{k} = \frac{ma}{k} = \frac{m}{k} \cdot \frac{2S}{t^2} = \frac{2mS}{kt^2}$

Подставим числовые значения в полученную формулу и произведем вычисления:
$\Delta l = \frac{2 \cdot 1000 \text{ кг} \cdot 400 \text{ м}}{2,0 \cdot 10^5 \text{ Н/м} \cdot (50 \text{ с})^2} = \frac{800000}{2,0 \cdot 10^5 \cdot 2500} = \frac{8 \cdot 10^5}{2 \cdot 10^5 \cdot 2,5 \cdot 10^3} = \frac{8 \cdot 10^5}{5 \cdot 10^8} = 1,6 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Полученное значение можно перевести в миллиметры: $1,6 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 1,6 \text{ мм}$.

Ответ: удлинение троса во время движения составило $1,6 \cdot 10^{-3} \text{ м}$ (или $1,6 \text{ мм}$).

15.15 [335] Что измеряет динамометр на рисунке II-64?

Чему равно его показание?

Рис. II-64

Что измеряет динамометр на рисунке II-64?
Динамометр — это прибор, предназначенный для измерения силы. На рисунке к крючку динамометра подвешен флакон. Под действием силы тяжести флакон растягивает пружину динамометра. Сила упругости пружины уравновешивает силу тяжести. Таким образом, динамометр измеряет модуль силы тяжести, действующей на флакон. Силу тяжести также называют весом тела.

Ответ: динамометр измеряет силу тяжести (вес) флакона.

Чему равно его показание?

Дано:
Шкала динамометра проградуирована в Ньютонах (Н).
Пределы измерения: от 0 до 4 Н.
Число делений между оцифрованными отметками 0 и 1: $N = 10$.
Единицы измерения (Ньютоны) являются единицами системы СИ.

Найти:
Показание динамометра $F$.

Решение:
1. Для того чтобы определить показание прибора, сначала нужно найти цену деления его шкалы. Цена деления ($c$) — это значение, соответствующее одному наименьшему делению. Возьмем две соседние оцифрованные отметки, например, 0 и 1. Разность между ними равна $1 \text{ Н} - 0 \text{ Н} = 1 \text{ Н}$. Между этими отметками находится 10 делений.
Цена деления вычисляется по формуле:
$c = \frac{1 \text{ Н}}{10} = 0.1 \text{ Н}$
2. Теперь определим показание динамометра. Указатель (верхний край штока) остановился на 8-м делении после отметки 0.
Следовательно, измеряемая сила $F$ равна:
$F = 8 \times c = 8 \times 0.1 \text{ Н} = 0.8 \text{ Н}$

Ответ: показание динамометра равно 0.8 Н.

15.16 [н] На примере неподвижного лабораторного динамометра (см. рис. II-64) объясните проявление первого и второго законов Ньютона.

Решение

Рассмотрим лабораторный динамометр, закрепленный в штативе, к крючку которого подвешен груз. Вся система находится в покое относительно Земли (инерциальной системы отсчета).

Проявление первого закона Ньютона

Первый закон Ньютона (закон инерции) гласит: существуют такие системы отсчета, называемые инерциальными, в которых тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если на него не действуют другие тела или действие этих тел скомпенсировано.

В нашем примере динамометр и подвешенный к нему груз находятся в состоянии покоя, то есть их скорость равна нулю и не изменяется. Это означает, что равнодействующая всех сил, приложенных к грузу (и к динамометру), равна нулю.

На груз действуют две силы:
1. Сила тяжести $\vec{F}_т$, направленная вертикально вниз.
2. Сила упругости $\vec{F}_{упр}$ со стороны пружины динамометра, направленная вертикально вверх.

Поскольку груз находится в покое, согласно первому закону Ньютона, векторная сумма этих сил равна нулю:
$ \sum \vec{F} = \vec{F}_т + \vec{F}_{упр} = 0 $

В проекции на вертикальную ось, направленную вверх, это уравнение принимает вид:
$ F_{упр} - F_т = 0 $, откуда $ F_{упр} = F_т $.

Динамометр как раз и измеряет модуль силы упругости $F_{упр}$. Таким образом, тот факт, что неподвижный динамометр показывает постоянное, не равное нулю значение (вес тела), является прямым следствием компенсации силы тяжести силой упругости, что и описывается первым законом Ньютона.

Ответ: Первый закон Ньютона проявляется в том, что динамометр с грузом находится в состоянии покоя, а это возможно только тогда, когда действие силы тяжести, приложенной к грузу, скомпенсировано действием силы упругости со стороны пружины динамометра. Векторная сумма сил, действующих на груз, равна нулю.

Проявление второго закона Ньютона

Второй закон Ньютона устанавливает связь между силой, действующей на тело, его массой и ускорением: равнодействующая сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на сообщаемое этими силами ускорение ($\vec{F} = m\vec{a}$).

Этот закон описывает как состояние покоя, так и состояние движения.

1. В состоянии покоя: Ускорение тела равно нулю ($ \vec{a} = 0 $). Тогда, согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сила также равна нулю: $ \vec{F} = m \cdot 0 = 0 $. Это приводит нас к тому же выводу, что и первый закон Ньютона: $ \vec{F}_т + \vec{F}_{упр} = 0 $. Таким образом, первый закон Ньютона является частным случаем второго закона для $ \vec{a} = 0 $.

2. В процессе движения: Представим, что мы только что подвесили груз к динамометру и отпустили его. Груз начнет двигаться вниз с ускорением, так как в начальный момент сила упругости мала, и сила тяжести преобладает. Движение груза (часто это затухающие колебания около положения равновесия) полностью описывается вторым законом Ньютона. В любой момент времени его ускорение $\vec{a}$ определяется равнодействующей силой: $ \vec{a} = \frac{\vec{F}_т + \vec{F}_{упр}}{m} $. Показания динамометра при этом будут меняться, так как меняется растяжение пружины и, следовательно, сила упругости. В конце концов, из-за потерь энергии, колебания затухнут, и система придет в состояние покоя, где $ \vec{a}=0 $.

Ответ: Второй закон Ньютона объясняет состояние равновесия динамометра как частный случай движения, при котором ускорение равно нулю, и, следовательно, равнодействующая всех сил также равна нулю. Кроме того, он описывает динамику системы, например, в момент подвешивания груза, когда возникает ускорение из-за того, что равнодействующая сил не равна нулю.

15.17 [н] Показания динамометра, к которому подвешен груз составляют 2 Н. Что покажет динамометр, если будет:

a) свободно падать вместе с грузом с некоторой высоты;

б) подниматься вверх с ускорением, равным $3g$?

Дано:

Найти:

Решение:

Показания динамометра в состоянии покоя равны весу груза $P_0$. Вес, в свою очередь, равен силе тяжести, действующей на груз, когда опора (подвес) и тело покоятся относительно Земли:

$P_0 = mg$

где $m$ - масса груза, а $g$ - ускорение свободного падения. Из условия задачи имеем $mg = 2$ Н.

Когда система движется с ускорением $a$, показания динамометра $P$ (которые равны силе упругости пружины или силе натяжения подвеса $T$) изменяются. Для нахождения $P$ применим второй закон Ньютона. Направим ось OY вертикально вверх. Тогда уравнение движения для груза в проекции на эту ось будет:

$ma_y = T - mg$

Отсюда показания динамометра (вес тела):

$P = T = mg + ma_y = m(g + a_y)$

Здесь $a_y$ - проекция ускорения на ось OY. Если ускорение направлено вверх, $a_y > 0$, если вниз, $a_y < 0$.

а) При свободном падении динамометр и груз движутся вниз с ускорением $a_1 = g$. Так как ускорение направлено вниз, его проекция на ось OY будет $a_y = -g$.

Подставим это значение в формулу для показаний динамометра $P_1$:

$P_1 = m(g + a_y) = m(g + (-g)) = m(g - g) = 0$ Н.

Это состояние называется невесомостью. В состоянии свободного падения груз не оказывает давления на подвес, поэтому показания динамометра равны нулю.

Ответ: Показания динамометра будут равны 0 Н.

б) При подъеме вверх с ускорением $a_2 = 3g$, ускорение направлено вверх, поэтому его проекция на ось OY будет $a_y = 3g$.

Подставим это значение в формулу для показаний динамометра $P_2$:

$P_2 = m(g + a_y) = m(g + 3g) = m(4g) = 4mg$.

Из начального условия мы знаем, что вес покоящегося груза $mg = 2$ Н.

Следовательно, новые показания динамометра будут:

$P_2 = 4 \times (mg) = 4 \times 2 \text{ Н} = 8 \text{ Н}$.

В этом случае тело испытывает перегрузку, и его вес увеличивается.

Ответ: Показания динамометра будут равны 8 Н.

15.18 [333] В начале подъёма в лифте высотного здания человек ощущает, что его прижимает к полу лифта. Меняются ли при этом:

а) масса человека;

б) сила тяжести, действующая на человека;

в) вес человека?

Рассмотрим силы, действующие на человека в лифте. В системе отсчета, связанной с Землей, на человека действуют две силы: сила тяжести $F_т$, направленная вертикально вниз, и сила реакции опоры $N$ со стороны пола лифта, направленная вертикально вверх. В начале подъема лифт движется с ускорением $a$, направленным вверх.

а) Масса человека — это мера его инертности и количества вещества в теле. Масса является скалярной и постоянной величиной (в рамках нерелятивистской физики), она не зависит от того, движется тело или покоится, и с каким ускорением оно движется.

Ответ: масса человека не меняется.

б) Сила тяжести, действующая на человека, — это сила его гравитационного притяжения к Земле. Она рассчитывается по формуле $F_т = mg$, где $m$ — масса человека, а $g$ — ускорение свободного падения. Так как масса человека не меняется, а ускорение свободного падения в пределах высоты здания можно считать постоянным, то и сила тяжести, действующая на человека, не меняется.

Ответ: сила тяжести, действующая на человека, не меняется.

в) Вес человека ($P$) — это сила, с которой он давит на опору, то есть на пол лифта. Согласно второму закону Ньютона, сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на его ускорение. Запишем уравнение в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$N - F_т = ma$

Отсюда можно выразить силу реакции опоры:

$N = F_т + ma = mg + ma = m(g + a)$

По третьему закону Ньютона, сила, с которой человек давит на пол (его вес $P$), равна по модулю силе, с которой пол давит на человека (силе реакции опоры $N$). Таким образом, $P = N$.

Поскольку лифт ускоряется вверх ($a > 0$), вес человека $P = m(g + a)$ становится больше, чем его вес в состоянии покоя ($P_{покоя} = mg$). Именно это увеличение веса человек и ощущает как "прижатие" к полу.

Ответ: вес человека увеличивается.

15.19 [334] Какой из шаров на рисунке II-65 имеет самый маленький вес? самый большой вес? Одинакова ли плотность веществ, из которых изготовлены шары?

Рис. II-65

Дано:

Масса первого шара $m_1 = 2$ кг.

Масса второго шара $m_2 = 5$ кг.

Масса третьего шара $m_3 = 10$ кг.

Из рисунка видно, что объемы шаров соотносятся как $V_1 > V_2 > V_3$.

Найти:

1. Шар с самым маленьким весом.

2. Шар с самым большим весом.

3. Определить, одинакова ли плотность веществ шаров.

Решение:

Какой из шаров на рисунке П-65 имеет самый маленький вес?

Вес тела $P$ — это сила, с которой тело вследствие притяжения к Земле действует на опору. Для тела, покоящегося на горизонтальной опоре, вес равен силе тяжести и вычисляется по формуле $P = mg$, где $m$ — масса тела, а $g$ — ускорение свободного падения.

Поскольку $g$ — величина постоянная, вес тела прямо пропорционален его массе. Следовательно, тело с наименьшей массой будет иметь и наименьший вес.

Сравнивая массы шаров: $m_1 = 2$ кг, $m_2 = 5$ кг, $m_3 = 10$ кг, мы видим, что наименьшей массой обладает первый шар.

Ответ: самый маленький вес имеет шар массой 2 кг.

самый большой вес?

Аналогично предыдущему пункту, вес тела прямо пропорционален его массе ($P=mg$). Тело с наибольшей массой будет иметь и наибольший вес.

Наибольшей массой среди представленных шаров обладает третий шар ($m_3 = 10$ кг).

Ответ: самый большой вес имеет шар массой 10 кг.

Одинакова ли плотность веществ, из которых изготовлены шары?

Плотность вещества $\rho$ определяется как отношение массы тела $m$ к его объему $V$: $\rho = \frac{m}{V}$.

Предположим, что плотность всех шаров одинакова. В этом случае объем тела был бы прямо пропорционален его массе ($V = \frac{m}{\rho}$). Это значит, что шар с большей массой должен был бы иметь больший объем, т.е. должно было выполняться соотношение $V_3 > V_2 > V_1$.

Однако на рисунке мы наблюдаем обратную ситуацию: шар с наименьшей массой ($m_1=2$ кг) имеет наибольший объем ($V_1$), а шар с наибольшей массой ($m_3=10$ кг) имеет наименьший объем ($V_3$). Таким образом, $V_1 > V_2 > V_3$.

Это явное противоречие говорит о том, что наше первоначальное предположение о равенстве плотностей неверно. Плотности веществ, из которых изготовлены шары, различны.

Чем больше масса и меньше объем, тем больше плотность. Следовательно, шар массой 10 кг имеет наибольшую плотность, а шар массой 2 кг — наименьшую. То есть, $\rho_3 > \rho_2 > \rho_1$.

Ответ: нет, плотности веществ, из которых изготовлены шары, не одинаковы. Плотность шара массой 10 кг самая большая, а шара массой 2 кг — самая маленькая.

15.20 [316] Почему массу тела рекомендуется определять с помощью рычажных, а не пружинных весов?

Решение

Рекомендация использовать рычажные весы для определения массы тела, а не пружинные, основана на фундаментальном различии в принципах их работы и измеряемых ими физических величин.

1. Пружинные весы (динамометр). Эти весы измеряют силу тяжести, действующую на тело, то есть его вес $P$. Принцип их работы основан на законе Гука: под действием веса пружина растягивается, и по величине этого растяжения судят о силе. Вес тела связан с его массой $m$ и ускорением свободного падения $g$ соотношением $P = mg$. Шкала пружинных весов проградуирована не в ньютонах (единицах силы), а в килограммах (единицах массы). Этот пересчет делается в предположении, что ускорение свободного падения имеет стандартное значение (обычно $g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$). Однако величина $g$ не является строго постоянной — она зависит от географической широты, высоты над уровнем моря и локальных гравитационных аномалий. Следовательно, в месте, где $g$ отличается от стандартного значения, пружинные весы дадут неверное значение массы.

2. Рычажные весы. Эти весы работают по принципу рычага, сравнивая массу измеряемого тела с массой эталонных гирь. На одну чашу весов помещают тело с неизвестной массой $m_1$, а на другую — гири с известной общей массой $m_2$ до достижения равновесия. Условие равновесия для равноплечего рычага заключается в равенстве моментов сил, действующих на его плечи. Силами являются веса $P_1 = m_1 g$ и $P_2 = m_2 g$.

Условие равновесия моментов: $M_1 = M_2$.

Так как $M = P \cdot l$, где $l$ — длина плеча рычага, то для равноплечих весов ($l_1 = l_2 = l$) получаем:

$P_1 l = P_2 l$

$m_1 g l = m_2 g l$

В этом уравнении ускорение свободного падения $g$ и длина плеча $l$ присутствуют в обеих частях и сокращаются. В результате мы получаем прямое равенство масс:

$m_1 = m_2$

Таким образом, показания рычажных весов не зависят от местного значения ускорения свободного падения. Они позволяют определить истинную, инвариантную массу тела путем прямого сравнения с эталоном. Именно поэтому для точных научных и коммерческих измерений массы используют рычажные весы.

Ответ: Рычажные весы сравнивают массу измеряемого тела с массой эталона, и результат этого сравнения не зависит от местного значения ускорения свободного падения ($g$). Пружинные весы измеряют вес тела ($P=mg$), который прямо пропорционален $g$. Их шкала, проградуированная в единицах массы, дает точное значение только при стандартном $g$, поэтому в других условиях их показания будут неточными.

15.21 [317] Можно ли для определения массы тела пользоваться рычажными весами на другой планете?

Решение

Да, для определения массы тела можно пользоваться рычажными весами на другой планете. Это связано с принципом их работы.

Рычажные весы — это прибор для сравнения масс. Они приходят в равновесие, когда моменты сил, действующих на плечи рычага, уравновешивают друг друга. Момент силы $M$ определяется как произведение силы $F$ на плечо рычага $l$: $M = F \cdot l$.

На одну чашу весов помещают тело, массу которого нужно измерить (обозначим ее $m_1$), а на другую — гири-эталоны известной массы (обозначим их общую массу как $m_2$). Силы, действующие на чаши весов, — это веса тел, которые равны $P_1 = m_1 \cdot g$ и $P_2 = m_2 \cdot g$ соответственно. Здесь $g$ — ускорение свободного падения на данной планете.

Условие равновесия весов, у которых плечи равны ($l_1 = l_2 = l$), записывается как равенство моментов сил:

$M_1 = M_2$

$P_1 \cdot l = P_2 \cdot l$

Подставим выражения для веса:

$(m_1 \cdot g) \cdot l = (m_2 \cdot g) \cdot l$

Как видно из этого уравнения, величина ускорения свободного падения $g$ и длина плеча $l$ присутствуют в обеих частях равенства, поэтому их можно сократить. В результате мы получаем:

$m_1 = m_2$

Таким образом, равновесие рычажных весов зависит только от соотношения масс и не зависит от величины ускорения свободного падения. Следовательно, рычажные весы будут показывать правильную массу тела на любой планете, где есть сила тяжести (чтобы весы в принципе работали).

Ответ: да, можно, так как результат измерения на рычажных весах не зависит от величины ускорения свободного падения.

15.22 [336] Чему равен вес зайца; волка; медведя; носорога; слона, если их массы соответственно равны 6 кг; 40 кг; 400 кг; 2 т; 4 т?

Дано:

Масса зайца, $m_з = 6$ кг
Масса волка, $m_в = 40$ кг
Масса медведя, $m_м = 400$ кг
Масса носорога, $m_н = 2$ т
Масса слона, $m_с = 4$ т

$m_н = 2 \text{ т} = 2 \cdot 1000 \text{ кг} = 2000 \text{ кг}$
$m_с = 4 \text{ т} = 4 \cdot 1000 \text{ кг} = 4000 \text{ кг}$

Найти:

$P_з$ - ?, $P_в$ - ?, $P_м$ - ?, $P_н$ - ?, $P_с$ - ?

Решение:

Вес тела — это сила, с которой тело вследствие притяжения к Земле действует на опору или подвес. Если тело покоится на горизонтальной опоре, его вес $P$ численно равен силе тяжести и вычисляется по формуле:

$P = m \cdot g$

где $m$ — масса тела, а $g$ — ускорение свободного падения. Примем значение $g \approx 9.8$ Н/кг.

зайца;

$P_з = m_з \cdot g = 6 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ Н/кг} = 58.8 \text{ Н}$

Ответ: $58.8$ Н.

волка;

$P_в = m_в \cdot g = 40 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ Н/кг} = 392 \text{ Н}$

Ответ: $392$ Н.

медведя;

$P_м = m_м \cdot g = 400 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ Н/кг} = 3920 \text{ Н}$. Так как $1 \text{ кН} = 1000 \text{ Н}$, то вес также равен $3.92 \text{ кН}$.

Ответ: $3920$ Н (или $3.92$ кН).

носорога;

$P_н = m_н \cdot g = 2000 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ Н/кг} = 19600 \text{ Н}$. Так как $1 \text{ кН} = 1000 \text{ Н}$, то вес также равен $19.6 \text{ кН}$.

Ответ: $19600$ Н (или $19.6$ кН).

слона,

$P_с = m_с \cdot g = 4000 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ Н/кг} = 39200 \text{ Н}$. Так как $1 \text{ кН} = 1000 \text{ Н}$, то вес также равен $39.2 \text{ кН}$.

Ответ: $39200$ Н (или $39.2$ кН).