Страница 58 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

17.18* [386*] Определите силу, с которой кресло в кабине космического корабля давит на космонавта массой 80 кг: перед стартом; при вертикальном подъёме корабля с ускорением $a = 6g$; при движении по орбите искусственного спутника Земли. Можно ли назвать эту силу весом космонавта?

Дано:

Масса космонавта: $m = 80$ кг
Ускорение при подъеме: $a = 6g$
Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

Силу $N_1$, с которой кресло давит на космонавта перед стартом
Силу $N_2$, с которой кресло давит на космонавта при вертикальном подъеме
Силу $N_3$, с которой кресло давит на космонавта при движении по орбите
Определить, можно ли назвать эту силу весом космонавта.

Решение:

Сила, с которой кресло давит на космонавта, — это сила нормальной реакции опоры, которую мы обозначим $N$. Для нахождения этой силы применим второй закон Ньютона к космонавту. На космонавта в общем случае действуют две силы: сила тяжести $F_{т} = mg$, направленная вертикально вниз, и искомая сила реакции опоры $N$ со стороны кресла, направленная вертикально вверх. Согласно второму закону Ньютона, $\sum \vec{F} = m\vec{a}$.

перед стартом;

Перед стартом космический корабль и космонавт находятся в состоянии покоя. Ускорение космонавта равно нулю ($a_1 = 0$). Выберем ось OY, направленную вертикально вверх. Тогда второй закон Ньютона в проекции на эту ось запишется так:

$N_1 - F_т = m \cdot 0$

Отсюда сила реакции опоры $N_1$ равна по модулю силе тяжести:

$N_1 = F_т = mg$

Выполним расчет:

$N_1 = 80 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 784 \text{ Н}$

Ответ: Сила, с которой кресло давит на космонавта перед стартом, равна 784 Н.

при вертикальном подъёме корабля с ускорением $a = 6g$;

При вертикальном подъеме корабль движется с ускорением $a = 6g$, направленным вверх. Применим второй закон Ньютона для космонавта. Ось OY по-прежнему направлена вверх.

В проекции на ось OY: $N_2 - F_т = ma$

Выразим отсюда силу реакции опоры $N_2$:

$N_2 = F_т + ma = mg + m(6g) = 7mg$

Это состояние называется перегрузкой. Рассчитаем значение силы:

$N_2 = 7 \cdot 80 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 7 \cdot 784 \text{ Н} = 5488 \text{ Н}$

Ответ: Сила, с которой кресло давит на космонавта при вертикальном подъеме, равна 5488 Н.

при движении по орбите искусственного спутника Земли.

При движении по орбите и корабль, и космонавт находятся в состоянии свободного падения. Единственной силой, действующей на космонавта, является сила гравитационного притяжения Земли $F_т$. Эта сила сообщает космонавту центростремительное ускорение $a_ц$, необходимое для движения по орбите ($F_т = ma_ц$).

Поскольку и космонавт, и кресло (как часть корабля) движутся с одинаковым ускорением, они не оказывают друг на друга никакого давления. Это состояние называется невесомостью. Сила реакции опоры со стороны кресла равна нулю.

$N_3 = 0 \text{ Н}$

Ответ: Сила, с которой кресло давит на космонавта при движении по орбите, равна 0 Н.

Можно ли назвать эту силу весом космонавта?

Нет, эту силу называть весом космонавта некорректно. Сила, которую мы нашли, — это сила нормальной реакции опоры ($N$), с которой кресло действует на космонавта.

Вес космонавта — это сила ($P$), с которой сам космонавт давит на кресло. Согласно третьему закону Ньютона, сила реакции опоры $N$ и вес $P$ равны по величине и противоположны по направлению ($\vec{N} = -\vec{P}$). Однако это разные силы, так как они приложены к разным телам (сила $N$ — к космонавту, сила $P$ — к креслу).

Кроме того, часто под весом понимают силу тяжести ($F_т=mg$). Как показали расчеты, сила $N$ равна силе тяжести только в состоянии покоя. В других случаях она может быть значительно больше (перегрузка) или равна нулю (невесомость). Поэтому, чтобы избежать путаницы, силу $N$ следует называть силой реакции опоры.

Ответ: Нет, эту силу нельзя назвать весом космонавта, так как это сила реакции опоры. Хотя ее величина равна величине кажущегося веса, это разные силы, приложенные к разным телам. Она также не равна силе тяжести в общем случае.

17.19* [387*] Самолёт выполняет мёртвую петлю. Определите значение силы, с которой лётчик давит на сиденье в верхней и нижней точках траектории движения, если радиус петли равен 200 м, масса лётчика равна 80 кг, скорость самолёта равна 360 км/ч.

Дано:

Радиус петли $R = 200 \text{ м}$

Масса лётчика $m = 80 \text{ кг}$

Скорость самолёта $v = 360 \text{ км/ч}$

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Силу, с которой лётчик давит на сиденье в верхней точке траектории $P_1$

Силу, с которой лётчик давит на сиденье в нижней точке траектории $P_2$

Решение:

Сила, с которой лётчик давит на сиденье (вес лётчика), по третьему закону Ньютона равна по модулю и противоположна по направлению силе реакции опоры $N$, действующей со стороны сиденья на лётчика. То есть $P = N$.

Движение самолёта по петле — это движение по окружности с центростремительным ускорением $a_ц$, направленным к центру петли. Модуль центростремительного ускорения вычисляется по формуле:

$a_ц = \frac{v^2}{R}$

Рассмотрим силы, действующие на лётчика, и применим второй закон Ньютона ($ \vec{F} = m\vec{a} $) для верхней и нижней точек траектории.

Сила в верхней точке траектории

В верхней точке на лётчика действуют две силы, направленные вертикально вниз (к центру окружности): сила тяжести $mg$ и сила реакции опоры $N_1$. Их равнодействующая сообщает лётчику центростремительное ускорение $a_ц$, также направленное вниз.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вниз:

$N_1 + mg = m a_ц$

$N_1 = m a_ц - mg = m(\frac{v^2}{R} - g)$

Сила, с которой лётчик давит на сиденье $P_1$, равна $N_1$:

$P_1 = m(\frac{v^2}{R} - g)$

Подставим числовые значения:

$P_1 = 80 \text{ кг} \cdot ( \frac{(100 \text{ м/с})^2}{200 \text{ м}} - 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}) = 80 \cdot (\frac{10000}{200} - 9.8) \text{ Н} = 80 \cdot (50 - 9.8) \text{ Н} = 80 \cdot 40.2 \text{ Н} = 3216 \text{ Н}$

Ответ: сила давления на сиденье в верхней точке траектории равна $3216 \text{ Н}$.

Сила в нижней точке траектории

В нижней точке на лётчика действуют сила тяжести $mg$, направленная вниз, и сила реакции опоры $N_2$, направленная вверх (к центру окружности). Центростремительное ускорение $a_ц$ также направлено вверх.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$N_2 - mg = m a_ц$

$N_2 = m a_ц + mg = m(\frac{v^2}{R} + g)$

Сила, с которой лётчик давит на сиденье $P_2$, равна $N_2$:

$P_2 = m(\frac{v^2}{R} + g)$

Подставим числовые значения:

$P_2 = 80 \text{ кг} \cdot ( \frac{(100 \text{ м/с})^2}{200 \text{ м}} + 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}) = 80 \cdot (\frac{10000}{200} + 9.8) \text{ Н} = 80 \cdot (50 + 9.8) \text{ Н} = 80 \cdot 59.8 \text{ Н} = 4784 \text{ Н}$

Ответ: сила давления на сиденье в нижней точке траектории равна $4784 \text{ Н}$.

17.20* [388*] Легковой автомобиль массой 1000 кг движется со скоростью 28,8 км/ч по выпуклому мосту радиусом 40 м. Определите силу давления на середину моста. Можно ли считать, что эта сила равна весу автомобиля?

Дано:

Масса автомобиля, $m = 1000 \text{ кг}$

Скорость автомобиля, $v = 28,8 \text{ км/ч}$

Радиус кривизны моста, $R = 40 \text{ м}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Перевод в систему СИ:

$v = 28,8 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 28,8 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 8 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

Силу давления $P$ на середину моста.

Сравнить силу давления $P$ с весом автомобиля $P_{вес}$.

Решение:

На автомобиль, движущийся по выпуклому мосту, в верхней точке траектории действуют две силы: сила тяжести $F_{тяж} = mg$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $N$, направленная вертикально вверх. Равнодействующая этих сил сообщает автомобилю центростремительное ускорение $a_ц$, направленное к центру кривизны моста, то есть вниз.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направив ее вниз:

$F_{тяж} - N = m a_ц$

Центростремительное ускорение вычисляется по формуле:

$a_ц = \frac{v^2}{R}$

Подставим выражение для ускорения в уравнение второго закона Ньютона:

$mg - N = m\frac{v^2}{R}$

Отсюда можем выразить силу нормальной реакции опоры $N$:

$N = mg - m\frac{v^2}{R} = m(g - \frac{v^2}{R})$

Согласно третьему закону Ньютона, сила давления $P$, которую автомобиль оказывает на мост, по модулю равна силе нормальной реакции опоры $N$:

$P = N$

Теперь подставим числовые значения и вычислим силу давления:

$P = 1000 \text{ кг} \cdot (10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} - \frac{(8 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{40 \text{ м}}) = 1000 \cdot (10 - \frac{64}{40}) = 1000 \cdot (10 - 1,6) = 1000 \cdot 8,4 = 8400 \text{ Н}$

Теперь ответим на вторую часть вопроса. Весом автомобиля в данном контексте будем считать силу тяжести, действующую на него, т.е. силу, с которой он давил бы на горизонтальную опору в состоянии покоя.

$P_{вес} = mg = 1000 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 10000 \text{ Н}$

Сравним полученные значения: $P = 8400 \text{ Н}$ и $P_{вес} = 10000 \text{ Н}$. Очевидно, что $P < P_{вес}$.

Таким образом, сила давления автомобиля на середину выпуклого моста не равна его весу (силе тяжести). Она меньше, так как часть силы тяжести "уходит" на создание центростремительного ускорения, необходимого для движения по криволинейной траектории.

Ответ: Сила давления на середину моста составляет $8400 \text{ Н}$. Считать эту силу равной весу автомобиля нельзя, так как она меньше веса ($8400 \text{ Н} < 10000 \text{ Н}$).

17.21* [389*] Трамвайный вагон массой 15 т движется по выпуклому мосту радиусом 50 м. Определите скорость трамвая, если сила давления, оказываемая трамваем на середину моста, равна 139,5 кН.

Дано:

Масса трамвайного вагона, $m = 15$ т
Радиус кривизны моста, $R = 50$ м
Сила давления трамвая на мост, $P = 139,5$ кН
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

Переведем данные в систему СИ:
$m = 15 \times 1000 = 15000$ кг
$P = 139,5 \times 1000 = 139500$ Н

Найти:

Скорость трамвая, $v$.

Решение:

Когда трамвайный вагон движется по выпуклому мосту, в верхней точке траектории (на середине моста) на него действуют две силы в вертикальном направлении: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $N$, направленная вертикально вверх.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил сообщает вагону центростремительное ускорение $a_c$, направленное к центру кривизны траектории (в данном случае, вниз). Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось, направив ее вниз:

$F_g - N = ma_c$

Центростремительное ускорение выражается формулой $a_c = \frac{v^2}{R}$. Подставим это в уравнение:

$mg - N = \frac{mv^2}{R}$

По третьему закону Ньютона, сила давления $P$, которую вагон оказывает на мост (вес тела), равна по модулю силе нормальной реакции $N$, с которой мост действует на вагон. Таким образом, $P = N$.

Произведем замену $N$ на $P$ в нашем уравнении:

$mg - P = \frac{mv^2}{R}$

Теперь выразим скорость $v$ из этого уравнения:

$v^2 = \frac{R(mg - P)}{m}$

$v = \sqrt{\frac{R(mg - P)}{m}}$

Подставим числовые значения в СИ в полученную формулу и выполним вычисления:

$v = \sqrt{\frac{50 \text{ м} \cdot (15000 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с²} - 139500 \text{ Н})}{15000 \text{ кг}}}$

$v = \sqrt{\frac{50 \cdot (147000 - 139500)}{15000}} = \sqrt{\frac{50 \cdot 7500}{15000}} = \sqrt{\frac{375000}{15000}} = \sqrt{25} = 5$ м/с.

Ответ: скорость трамвая равна 5 м/с.

17.22* [390*] Мотоциклист едет по горизонтальному пути. Какую наименьшую скорость он должен развить, чтобы, двигаясь по инерции, совершить полный оборот по круговому вертикальному треку радиусом 10 м?

Дано

Найти:

Решение

Чтобы мотоциклист совершил полный оборот по вертикальному треку, он должен пройти верхнюю точку трека, не отрываясь от него. Условием прохождения верхней точки является то, что сила реакции опоры $N$ со стороны трека должна быть неотрицательной ($N \geq 0$).

В верхней точке траектории на мотоциклиста действуют две силы, направленные вертикально вниз: сила тяжести $mg$ и сила нормальной реакции опоры $N$. Согласно второму закону Ньютона, их равнодействующая сообщает телу центростремительное ускорение $a_c = \frac{v_{top}^2}{R}$:
$mg + N = m \frac{v_{top}^2}{R}$
где $v_{top}$ — скорость мотоциклиста в верхней точке.

Наименьшая начальная скорость $v_{0,min}$, с которой мотоциклист въезжает на трек, будет соответствовать наименьшей возможной скорости в верхней точке $v_{top,min}$. Это произойдет в предельном случае, когда мотоциклист едва касается трека, то есть сила реакции опоры становится равной нулю ($N=0$).
$mg = m \frac{v_{top,min}^2}{R}$
Отсюда находим квадрат минимально необходимой скорости в верхней точке:
$v_{top,min}^2 = gR$

Поскольку мотоциклист движется по инерции, можно пренебречь трением и сопротивлением воздуха, а значит, его полная механическая энергия сохраняется. Применим закон сохранения энергии для начальной (нижняя точка трека) и конечной (верхняя точка) позиций. За нулевой уровень потенциальной энергии примем высоту начального горизонтального пути.
Полная механическая энергия в нижней точке (на высоте $h_0 = 0$):
$E_0 = \frac{mv_{0,min}^2}{2} + mgh_0 = \frac{mv_{0,min}^2}{2}$
Полная механическая энергия в верхней точке (на высоте $h_{top} = 2R$):
$E_{top} = \frac{mv_{top,min}^2}{2} + mgh_{top} = \frac{mv_{top,min}^2}{2} + mg(2R)$

По закону сохранения энергии $E_0 = E_{top}$:
$\frac{mv_{0,min}^2}{2} = \frac{mv_{top,min}^2}{2} + 2mgR$
Сократив массу $m$ в каждом члене уравнения, получаем:
$\frac{v_{0,min}^2}{2} = \frac{v_{top,min}^2}{2} + 2gR$

Теперь подставим в это уравнение найденное ранее выражение для квадрата скорости в верхней точке ($v_{top,min}^2 = gR$):
$\frac{v_{0,min}^2}{2} = \frac{gR}{2} + 2gR$
$\frac{v_{0,min}^2}{2} = \frac{5gR}{2}$
$v_{0,min}^2 = 5gR$
Отсюда искомая наименьшая скорость:
$v_{0,min} = \sqrt{5gR}$

Выполним численный расчет, подставив заданные значения:
$v_{0,min} = \sqrt{5 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 10 \text{ м}} = \sqrt{500} \text{ м/с} = \sqrt{100 \cdot 5} \text{ м/с} = 10\sqrt{5} \text{ м/с}$
$v_{0,min} \approx 10 \cdot 2.236 \text{ м/с} \approx 22.4 \text{ м/с}$

Ответ: наименьшая скорость, которую должен развить мотоциклист, составляет $10\sqrt{5} \text{ м/с}$, или приблизительно $22.4 \text{ м/с}$.

17.23* [391*] Ведёрко с водой вращается в вертикальной плоскости по окружности диаметром 2 м. При каком максимальном периоде обращения вода из ведёрка не будет выливаться?

Дано:

Диаметр окружности $d = 2$ м.

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с².

Радиус вращения $R = \frac{d}{2} = \frac{2}{2} = 1$ м.

Найти:

Максимальный период обращения $T_{max}$.

Решение:

Для того чтобы вода не выливалась из ведёрка, она должна всё время быть прижата к его дну. Рассмотрим самый критический момент — прохождение ведёрком верхней точки траектории. В этой точке на воду действуют две силы, направленные вертикально вниз (к центру окружности): сила тяжести $mg$ и сила реакции дна ведёрка $N$.

Согласно второму закону Ньютона, сумма этих сил сообщает воде центростремительное ускорение $a_c$:

$mg + N = ma_c$

Вода не выльется, если она будет оказывать давление на дно, то есть если сила реакции опоры будет неотрицательной: $N \ge 0$.

Максимальный период обращения $T_{max}$ соответствует минимальной скорости вращения $v_{min}$, при которой вода ещё удерживается в ведёрке. Этот предельный случай наступает, когда сила реакции дна становится равной нулю ($N=0$). В этот момент только сила тяжести обеспечивает необходимое центростремительное ускорение.

Тогда уравнение принимает вид:

$mg = ma_c$

Отсюда следует, что минимально необходимое центростремительное ускорение равно ускорению свободного падения:

$a_c = g$

Центростремительное ускорение связано с периодом обращения $T$ и радиусом окружности $R$ соотношением:

$a_c = \omega^2 R = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 R = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$

Подставим $a_c = g$ и $T = T_{max}$ в это выражение:

$g = \frac{4\pi^2 R}{T_{max}^2}$

Теперь выразим из формулы максимальный период $T_{max}$:

$T_{max}^2 = \frac{4\pi^2 R}{g}$

$T_{max} = \sqrt{\frac{4\pi^2 R}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$

Подставим числовые значения ($R=1$ м, $g \approx 9,8$ м/с²):

$T_{max} = 2\pi\sqrt{\frac{1 \text{ м}}{9,8 \text{ м/с}^2}} \approx 2 \cdot 3,1416 \cdot \sqrt{0,10204 \text{ с}^2} \approx 6,2832 \cdot 0,3194 \text{ с} \approx 2,007$ с.

Округляя до двух значащих цифр, получаем $2,0$ с. Если округлить до сотых, то $2,01$ с. Часто в таких задачах для упрощения принимают $g \approx \pi^2 \approx 9,87$ м/с², что дало бы ответ ровно $2$ с.

Ответ: максимальный период обращения составляет примерно $2,01$ с.

17.24* [392*] Определите равнодействующую трёх сил: $F_1 = 8 \text{ H}$, $F_2 = 4 \text{ H}$ и $F_3 = 5 \text{ H}$, направленных так, как показано на рисунке II-85. Каков характер движения тела $M$ под действием этих сил?

Дано:

$F_1 = 8 \text{ Н}$

$F_2 = 4 \text{ Н}$

$F_3 = 5 \text{ Н}$

Направления сил соответствуют стандартному расположению для задач такого типа: сила $\vec{F}_1$ направлена горизонтально вправо, сила $\vec{F}_2$ — вертикально вверх, а сила $\vec{F}_3$ — горизонтально влево.

Найти:

1. Равнодействующую силу $\vec{R}$.

2. Характер движения тела M.

Решение:

Определите равнодействующую трёх сил

Для нахождения равнодействующей силы $\vec{R}$ применим метод проекций. Введем прямоугольную систему координат $Oxy$, направив ось $Ox$ горизонтально вправо (по направлению силы $\vec{F}_1$), а ось $Oy$ — вертикально вверх (по направлению силы $\vec{F}_2$).

Определим проекции заданных сил на оси координат:

• Сила $\vec{F}_1$ направлена вдоль оси $Ox$: $F_{1x} = 8 \text{ Н}$, $F_{1y} = 0$.
• Сила $\vec{F}_2$ направлена вдоль оси $Oy$: $F_{2x} = 0$, $F_{2y} = 4 \text{ Н}$.
• Сила $\vec{F}_3$ направлена против оси $Ox$: $F_{3x} = -5 \text{ Н}$, $F_{3y} = 0$.

Равнодействующая сила $\vec{R}$ является векторной суммой всех приложенных сил: $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3$.

Найдем проекции равнодействующей силы на оси координат, сложив проекции составляющих сил:

Проекция на ось $Ox$: $R_x = F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} = 8 + 0 + (-5) = 3 \text{ Н}$.

Проекция на ось $Oy$: $R_y = F_{1y} + F_{2y} + F_{3y} = 0 + 4 + 0 = 4 \text{ Н}$.

Модуль (величину) равнодействующей силы найдем по теореме Пифагора:

$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ Н}$.

Направление равнодействующей силы определяется углом $\alpha$ с положительным направлением оси $Ox$, тангенс которого равен $\tan(\alpha) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{4}{3}$.

Ответ: Равнодействующая сила равна 5 Н и направлена под углом $\arctan(4/3) \approx 53.1^\circ$ к направлению силы $F_1$.

Каков характер движения тела M под действием этих сил?

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сила $\vec{R}$, приложенная к телу массой $m$, сообщает ему ускорение $\vec{a}$: $\vec{R} = m\vec{a}$.

Поскольку равнодействующая сила $\vec{R}$ является постоянной по величине и направлению ($R = 5 \text{ Н}$, направление постоянно), то и ускорение тела $\vec{a} = \frac{\vec{R}}{m}$ также будет постоянным вектором.

Движение под действием постоянной силы, вызывающей постоянное ускорение, является равноускоренным.

Конкретный вид траектории зависит от начальных условий (начальной скорости $\vec{v}_0$):

• Если тело изначально покоилось ($\vec{v}_0 = 0$), оно будет двигаться прямолинейно и равноускоренно в направлении вектора равнодействующей силы $\vec{R}$.
• Если начальная скорость $\vec{v}_0$ не равна нулю и её направление не совпадает с направлением $\vec{R}$, тело будет двигаться по параболической траектории с постоянным ускорением.

В общем случае, не имея данных о начальной скорости, можно утверждать, что тело будет двигаться равноускоренно.

Ответ: Тело M будет двигаться с постоянным ускорением (равноускоренно). Если начальная скорость тела равна нулю, то его движение будет прямолинейным равноускоренным.

17.25* [393*] Определите силы, с которыми действуют друг на друга вследствие тяготения два свинцовых шара диаметром по 1 м каждый; три таких же шара, соприкасающиеся так, как показано на рисунке II-86.

Рис. II-86

два свинцовых шара

Дано:

диаметр свинцовых шаров $d = 1$ м
плотность свинца $\rho = 11340$ кг/м³
гравитационная постоянная $G \approx 6.67 \times 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

силу гравитационного притяжения между двумя шарами $F$.

Решение:

Сначала найдем массу одного свинцового шара. Радиус шара $R$ равен половине диаметра:

$R = d/2 = 1 \text{ м} / 2 = 0.5 \text{ м}$

Объем шара $V$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

$V = \frac{4}{3}\pi (0.5 \text{ м})^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 0.125 \text{ м}^3 = \frac{\pi}{6} \text{ м}^3$

Масса шара $m$ равна произведению его плотности $\rho$ на объем $V$:

$m = \rho \cdot V = 11340 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot \frac{\pi}{6} \text{ м}^3 = 1890\pi \text{ кг} \approx 5937.6 \text{ кг}$

Сила гравитационного притяжения между двумя телами определяется законом всемирного тяготения Ньютона:

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

В нашем случае массы шаров одинаковы, $m_1 = m_2 = m$. Так как шары соприкасаются, расстояние $r$ между их центрами равно диаметру шара $d$.

$r = R + R = d = 1 \text{ м}$

Подставим значения в формулу:

$F = G \frac{m^2}{d^2} = 6.67 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot \frac{(1890\pi \text{ кг})^2}{(1 \text{ м})^2}$

$F \approx 6.67 \times 10^{-11} \cdot (5937.6)^2 \text{ Н} \approx 6.67 \times 10^{-11} \cdot 3.525 \times 10^7 \text{ Н} \approx 2.35 \times 10^{-3} \text{ Н}$

Ответ: сила, с которой действуют друг на друга два свинцовых шара, равна примерно $2.35 \times 10^{-3}$ Н.

три таких же шара

Дано:

диаметр свинцовых шаров $d = 1$ м
масса одного шара $m = 1890\pi$ кг
сила притяжения между двумя шарами $F_1 \approx 2.35 \times 10^{-3}$ Н

Найти:

результирующую силу $F_{рез}$, действующую на один из шаров со стороны двух других.

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на один из шаров (например, на нижний). На него действуют силы притяжения со стороны двух других шаров. Центры трех соприкасающихся шаров образуют равносторонний треугольник со стороной, равной диаметру шара, $d = 1$ м.

Пусть $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$ - силы, с которыми два верхних шара действуют на нижний. Модули этих сил равны силе, найденной в первой части задачи:

$|\vec{F}_{1}| = |\vec{F}_{2}| = F_1 \approx 2.35 \times 10^{-3} \text{ Н}$

Угол между векторами сил $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$ равен $60^\circ$, так как он соответствует углу в равностороннем треугольнике, образованном центрами шаров.

Результирующая сила $\vec{F}_{рез}$ является векторной суммой сил $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$. Модуль результирующей силы можно найти по теореме косинусов для векторов:

$F_{рез} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2 F_1 F_2 \cos(60^\circ)}$

Так как $F_1 = F_2$, а $\cos(60^\circ) = 0.5$:

$F_{рез} = \sqrt{F_1^2 + F_1^2 + 2 F_1^2 \cdot 0.5} = \sqrt{2F_1^2 + F_1^2} = \sqrt{3F_1^2} = F_1\sqrt{3}$

Подставим числовое значение для $F_1$:

$F_{рез} \approx (2.35 \times 10^{-3} \text{ Н}) \cdot \sqrt{3} \approx 2.35 \times 10^{-3} \cdot 1.732 \text{ Н} \approx 4.07 \times 10^{-3} \text{ Н}$

По принципу суперпозиции и из соображений симметрии, на каждый из трех шаров действует результирующая сила с таким же модулем, направленная к центру треугольника, образованного центрами шаров.

Ответ: результирующая сила, действующая на каждый из трех шаров со стороны двух других, равна примерно $4.07 \times 10^{-3}$ Н.

17.26* [394*] На баржу, привязанную к берегу тросом длиной 10 м, действует сила течения воды, равная 400 Н, и сила давления ветра, дующего с берега, равная 300 Н. С какой силой натянут трос, если баржа находится в равновесии? На каком расстоянии от берега она расположена?

Дано:

Длина троса, $L = 10 \text{ м}$

Сила течения воды, $F_{\text{теч}} = 400 \text{ Н}$

Сила давления ветра, $F_{\text{ветра}} = 300 \text{ Н}$

Найти:

Силу натяжения троса, $T$

Расстояние от берега, $d$

Решение:

На баржу действуют три силы: сила течения воды $\vec{F}_{\text{теч}}$, сила давления ветра $\vec{F}_{\text{ветра}}$ и сила натяжения троса $\vec{T}$. Поскольку баржа находится в равновесии, векторная сумма всех действующих на нее сил равна нулю (первый закон Ньютона):

$\vec{T} + \vec{F}_{\text{теч}} + \vec{F}_{\text{ветра}} = \vec{0}$

Это означает, что сила натяжения троса $\vec{T}$ уравновешивает равнодействующую сил течения и ветра $\vec{F}_{\text{рез}}$, где $\vec{F}_{\text{рез}} = \vec{F}_{\text{теч}} + \vec{F}_{\text{ветра}}$. Следовательно, $\vec{T} = -\vec{F}_{\text{рез}}$, а по модулю $T = F_{\text{рез}}$.

С какой силой натянут трос, если баржа находится в равновесии?

Сила течения воды направлена вдоль берега, а сила ветра, дующего с берега, направлена перпендикулярно берегу. Таким образом, векторы сил $\vec{F}_{\text{теч}}$ и $\vec{F}_{\text{ветра}}$ взаимно перпендикулярны. Модуль их равнодействующей $F_{\text{рез}}$ можно найти по теореме Пифагора:

$F_{\text{рез}} = \sqrt{F_{\text{теч}}^2 + F_{\text{ветра}}^2}$

Сила натяжения троса $T$ равна модулю этой равнодействующей силы:

$T = \sqrt{(400 \text{ Н})^2 + (300 \text{ Н})^2} = \sqrt{160000 \text{ Н}^2 + 90000 \text{ Н}^2} = \sqrt{250000 \text{ Н}^2} = 500 \text{ Н}$

Ответ: Сила натяжения троса равна 500 Н.

На каком расстоянии от берега она расположена?

Положение баржи, точка крепления троса на берегу и точка на берегу напротив баржи образуют прямоугольный треугольник. Гипотенузой этого треугольника является трос длиной $L$, а одним из катетов — искомое расстояние от берега $d$.

Треугольник, образованный силами $\vec{T}$, $\vec{F}_{\text{теч}}$ и $\vec{F}_{\text{ветра}}$, подобен геометрическому треугольнику, образованному тросом и его проекциями на направления вдоль и поперек берега. Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон:

$\frac{d}{F_{\text{ветра}}} = \frac{L}{T}$

Здесь $d$ — катет, соответствующий силе ветра $F_{\text{ветра}}$, а $L$ — гипотенуза, соответствующая силе натяжения троса $T$.

Выразим из этого соотношения расстояние $d$:

$d = L \cdot \frac{F_{\text{ветра}}}{T}$

Подставим числовые значения:

$d = 10 \text{ м} \cdot \frac{300 \text{ Н}}{500 \text{ Н}} = 10 \cdot 0.6 = 6 \text{ м}$

Ответ: Баржа расположена на расстоянии 6 м от берега.