Номер 17.23, страница 58 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 17. Сложение и разложение сил. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 17.23, страница 58.

17.23* [391*] Ведёрко с водой вращается в вертикальной плоскости по окружности диаметром 2 м. При каком максимальном периоде обращения вода из ведёрка не будет выливаться?

Дано:

Диаметр окружности $d = 2$ м.

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с².

Радиус вращения $R = \frac{d}{2} = \frac{2}{2} = 1$ м.

Найти:

Максимальный период обращения $T_{max}$.

Решение:

Для того чтобы вода не выливалась из ведёрка, она должна всё время быть прижата к его дну. Рассмотрим самый критический момент — прохождение ведёрком верхней точки траектории. В этой точке на воду действуют две силы, направленные вертикально вниз (к центру окружности): сила тяжести $mg$ и сила реакции дна ведёрка $N$.

Согласно второму закону Ньютона, сумма этих сил сообщает воде центростремительное ускорение $a_c$:

$mg + N = ma_c$

Вода не выльется, если она будет оказывать давление на дно, то есть если сила реакции опоры будет неотрицательной: $N \ge 0$.

Максимальный период обращения $T_{max}$ соответствует минимальной скорости вращения $v_{min}$, при которой вода ещё удерживается в ведёрке. Этот предельный случай наступает, когда сила реакции дна становится равной нулю ($N=0$). В этот момент только сила тяжести обеспечивает необходимое центростремительное ускорение.

Тогда уравнение принимает вид:

$mg = ma_c$

Отсюда следует, что минимально необходимое центростремительное ускорение равно ускорению свободного падения:

$a_c = g$

Центростремительное ускорение связано с периодом обращения $T$ и радиусом окружности $R$ соотношением:

$a_c = \omega^2 R = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 R = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$

Подставим $a_c = g$ и $T = T_{max}$ в это выражение:

$g = \frac{4\pi^2 R}{T_{max}^2}$

Теперь выразим из формулы максимальный период $T_{max}$:

$T_{max}^2 = \frac{4\pi^2 R}{g}$

$T_{max} = \sqrt{\frac{4\pi^2 R}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$

Подставим числовые значения ($R=1$ м, $g \approx 9,8$ м/с²):

$T_{max} = 2\pi\sqrt{\frac{1 \text{ м}}{9,8 \text{ м/с}^2}} \approx 2 \cdot 3,1416 \cdot \sqrt{0,10204 \text{ с}^2} \approx 6,2832 \cdot 0,3194 \text{ с} \approx 2,007$ с.

Округляя до двух значащих цифр, получаем $2,0$ с. Если округлить до сотых, то $2,01$ с. Часто в таких задачах для упрощения принимают $g \approx \pi^2 \approx 9,87$ м/с², что дало бы ответ ровно $2$ с.

Ответ: максимальный период обращения составляет примерно $2,01$ с.