Номер 17.22, страница 58 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 17. Сложение и разложение сил. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 17.22, страница 58.

17.22* [390*] Мотоциклист едет по горизонтальному пути. Какую наименьшую скорость он должен развить, чтобы, двигаясь по инерции, совершить полный оборот по круговому вертикальному треку радиусом 10 м?

Дано

Радиус трека $R = 10 \text{ м}$

Ускорение свободного падения (примем) $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

Наименьшую начальную скорость $v_{0,min}$

Решение

Чтобы мотоциклист совершил полный оборот по вертикальному треку, он должен пройти верхнюю точку трека, не отрываясь от него. Условием прохождения верхней точки является то, что сила реакции опоры $N$ со стороны трека должна быть неотрицательной ($N \geq 0$).

В верхней точке траектории на мотоциклиста действуют две силы, направленные вертикально вниз: сила тяжести $mg$ и сила нормальной реакции опоры $N$. Согласно второму закону Ньютона, их равнодействующая сообщает телу центростремительное ускорение $a_c = \frac{v_{top}^2}{R}$:
$mg + N = m \frac{v_{top}^2}{R}$
где $v_{top}$ — скорость мотоциклиста в верхней точке.

Наименьшая начальная скорость $v_{0,min}$, с которой мотоциклист въезжает на трек, будет соответствовать наименьшей возможной скорости в верхней точке $v_{top,min}$. Это произойдет в предельном случае, когда мотоциклист едва касается трека, то есть сила реакции опоры становится равной нулю ($N=0$).
$mg = m \frac{v_{top,min}^2}{R}$
Отсюда находим квадрат минимально необходимой скорости в верхней точке:
$v_{top,min}^2 = gR$

Поскольку мотоциклист движется по инерции, можно пренебречь трением и сопротивлением воздуха, а значит, его полная механическая энергия сохраняется. Применим закон сохранения энергии для начальной (нижняя точка трека) и конечной (верхняя точка) позиций. За нулевой уровень потенциальной энергии примем высоту начального горизонтального пути.
Полная механическая энергия в нижней точке (на высоте $h_0 = 0$):
$E_0 = \frac{mv_{0,min}^2}{2} + mgh_0 = \frac{mv_{0,min}^2}{2}$
Полная механическая энергия в верхней точке (на высоте $h_{top} = 2R$):
$E_{top} = \frac{mv_{top,min}^2}{2} + mgh_{top} = \frac{mv_{top,min}^2}{2} + mg(2R)$

По закону сохранения энергии $E_0 = E_{top}$:
$\frac{mv_{0,min}^2}{2} = \frac{mv_{top,min}^2}{2} + 2mgR$
Сократив массу $m$ в каждом члене уравнения, получаем:
$\frac{v_{0,min}^2}{2} = \frac{v_{top,min}^2}{2} + 2gR$

Теперь подставим в это уравнение найденное ранее выражение для квадрата скорости в верхней точке ($v_{top,min}^2 = gR$):
$\frac{v_{0,min}^2}{2} = \frac{gR}{2} + 2gR$
$\frac{v_{0,min}^2}{2} = \frac{5gR}{2}$
$v_{0,min}^2 = 5gR$
Отсюда искомая наименьшая скорость:
$v_{0,min} = \sqrt{5gR}$

Выполним численный расчет, подставив заданные значения:
$v_{0,min} = \sqrt{5 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 10 \text{ м}} = \sqrt{500} \text{ м/с} = \sqrt{100 \cdot 5} \text{ м/с} = 10\sqrt{5} \text{ м/с}$
$v_{0,min} \approx 10 \cdot 2.236 \text{ м/с} \approx 22.4 \text{ м/с}$

Ответ: наименьшая скорость, которую должен развить мотоциклист, составляет $10\sqrt{5} \text{ м/с}$, или приблизительно $22.4 \text{ м/с}$.