Номер 17.28, страница 59 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 17. Сложение и разложение сил. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 17.28, страница 59.

17.28 [396] Чтобы сдвинуть с места застрявший автомобиль, его привязывают к дереву сильно натянутой длинной верёвкой. Затем, оттягивая верёвку посередине в сторону, перпендикулярную её направлению, человек легко может сдвинуть автомобиль с места. Почему это возможно?

Это возможно благодаря принципу разложения сил, который в данном случае обеспечивает большой выигрыш в силе. Рассмотрим физику процесса.

Дано:
Пусть $F_ч$ — это сила, которую человек прикладывает к середине веревки перпендикулярно ее первоначальному направлению.
$T$ — сила натяжения в каждой из половин веревки.
$F_а$ — сила, которая тянет автомобиль.
$\alpha$ — очень малый угол, на который каждая половина веревки отклоняется от прямой линии, соединяющей дерево и автомобиль.

Найти:
Объяснить, почему $F_а$ может быть значительно больше $F_ч$.

Решение:
Когда человек оттягивает середину сильно натянутой веревки, эта точка оказывается под действием трех сил: силы человека $F_ч$ и двух сил натяжения $T$, направленных от этой точки к автомобилю и к дереву.

Рассмотрим условие равновесия сил в точке приложения силы $F_ч$. Проекции сил на направление, перпендикулярное линии "дерево-автомобиль", должны компенсировать друг друга.

Сила человека $F_ч$ уравновешивается суммой проекций сил натяжения $T$ на это направление: $F_ч = T \sin(\alpha) + T \sin(\alpha) = 2T \sin(\alpha)$

Отсюда можно выразить силу натяжения веревки: $T = \frac{F_ч}{2 \sin(\alpha)}$

Сила, которая непосредственно тянет автомобиль, — это проекция силы натяжения $T$ на первоначальное направление веревки (вдоль линии "дерево-автомобиль"): $F_а = T \cos(\alpha)$

Подставим выражение для $T$ в эту формулу: $F_а = \left( \frac{F_ч}{2 \sin(\alpha)} \right) \cos(\alpha) = \frac{F_ч}{2} \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{F_ч}{2 \tan(\alpha)}$

Ключевой момент заключается в том, что веревка "сильно натянута" и "длинная". Это означает, что даже при небольшом усилии человека веревка отклоняется на очень малый угол $\alpha$. Для малых углов значение тангенса $\tan(\alpha)$ очень мало (стремится к нулю).

Поскольку в нашей формуле $F_а = \frac{F_ч}{2 \tan(\alpha)}$ малая величина $\tan(\alpha)$ находится в знаменателе, результат деления (сила $F_а$) оказывается во много раз больше, чем приложенная человеком сила $F_ч$. Например, если угол $\alpha$ таков, что $\tan(\alpha) = 0.05$, то выигрыш в силе будет $F_а = \frac{F_ч}{2 \cdot 0.05} = \frac{F_ч}{0.1} = 10F_ч$. Таким образом, приложив усилие в 500 Н (около 50 кгс), можно создать тянущую силу в 5000 Н (около 500 кгс), которой может быть достаточно, чтобы сдвинуть застрявший автомобиль.

Ответ: Это возможно потому, что небольшая сила, приложенная перпендикулярно к сильно натянутой веревке, создает в ней очень большую силу натяжения. Горизонтальная составляющая этой силы натяжения, которая и тянет автомобиль, оказывается значительно больше, чем усилие, приложенное человеком. Этот метод дает большой выигрыш в силе.