Номер 17.31, страница 59 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 17. Сложение и разложение сил. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 17.31, страница 59.

17.31 [Д. 47] По условию задачи 16.21 определите направление и модуль равнодействующей сил, представленных на рисунке II-78.

Дано:

По условию задачи 16.21 и рисунку II-78 задана система из четырех сходящихся сил, приложенных к началу координат:
Сила $F_1 = 10$ Н, направлена вдоль положительного направления оси Oy (угол $90^\circ$ с осью Ox).
Сила $F_2 = 20$ Н, образует угол $\alpha_2 = 30^\circ$ с положительным направлением оси Ox.
Сила $F_3 = 30$ Н, образует угол $\alpha_3 = -45^\circ$ с положительным направлением оси Ox (или $45^\circ$ в четвертой четверти).
Сила $F_4 = 40$ Н, образует угол $60^\circ$ с отрицательным направлением оси Ox в третьей четверти. Угол с положительным направлением оси Ox составляет $\alpha_4 = 180^\circ + 60^\circ = 240^\circ$.

Найти:

Модуль равнодействующей силы $R$ и ее направление (угол $\alpha$ с положительным направлением оси Ox).

Решение:

Равнодействующая сила $\vec{R}$ является векторной суммой всех действующих сил: $\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} + \vec{F_4}$. Для нахождения модуля и направления равнодействующей силы воспользуемся методом проекций. Найдем проекции каждой силы на оси координат Ox и Oy.

Проекции сил на ось Ox: $F_{1x} = F_1 \cos(90^\circ) = 10 \cdot 0 = 0$ Н
$F_{2x} = F_2 \cos(30^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ Н
$F_{3x} = F_3 \cos(-45^\circ) = 30 \cdot \cos(45^\circ) = 30 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 15\sqrt{2}$ Н
$F_{4x} = F_4 \cos(240^\circ) = 40 \cdot (-\frac{1}{2}) = -20$ Н

Проекция равнодействующей силы на ось Ox равна сумме проекций всех сил: $R_x = F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} + F_{4x} = 0 + 10\sqrt{3} + 15\sqrt{2} - 20 = 10\sqrt{3} + 15\sqrt{2} - 20$ Н.
Вычислим приближенное значение: $R_x \approx 10 \cdot 1,732 + 15 \cdot 1,414 - 20 = 17,32 + 21,21 - 20 = 18,53$ Н.

Проекции сил на ось Oy: $F_{1y} = F_1 \sin(90^\circ) = 10 \cdot 1 = 10$ Н
$F_{2y} = F_2 \sin(30^\circ) = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10$ Н
$F_{3y} = F_3 \sin(-45^\circ) = -30 \cdot \sin(45^\circ) = -30 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -15\sqrt{2}$ Н
$F_{4y} = F_4 \sin(240^\circ) = 40 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -20\sqrt{3}$ Н

Проекция равнодействующей силы на ось Oy равна сумме проекций всех сил: $R_y = F_{1y} + F_{2y} + F_{3y} + F_{4y} = 10 + 10 - 15\sqrt{2} - 20\sqrt{3} = 20 - 15\sqrt{2} - 20\sqrt{3}$ Н.
Вычислим приближенное значение: $R_y \approx 20 - 15 \cdot 1,414 - 20 \cdot 1,732 = 20 - 21,21 - 34,64 = -35,85$ Н.

Модуль равнодействующей силы найдем по теореме Пифагора: $R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \approx \sqrt{(18,53)^2 + (-35,85)^2} = \sqrt{343,3609 + 1285,2225} = \sqrt{1628,5834} \approx 40,36$ Н.

Направление равнодействующей силы определим по тангенсу угла $\alpha$, который вектор $\vec{R}$ составляет с положительным направлением оси Ox. $\tan \alpha = \frac{R_y}{R_x} \approx \frac{-35,85}{18,53} \approx -1,9347$.
Отсюда, $\alpha = \arctan(-1,9347) \approx -62,66^\circ$.

Поскольку проекция $R_x > 0$ и $R_y < 0$, вектор равнодействующей силы направлен в четвертую координатную четверть, что согласуется со знаком вычисленного угла.

Ответ: модуль равнодействующей силы $R \approx 40,4$ Н, сила направлена под углом $\alpha \approx -62,7^\circ$ к положительному направлению оси Ox.