Номер 17.32, страница 59 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 17. Сложение и разложение сил. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 17.32, страница 59.

17.32 [д. 48] Небольшой шарик массой $m$, подвешенный на нити длиной $l$, вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси. Нить образует с осью вращения угол $\alpha$. Сделайте рисунок и определите центростремительную силу и силу натяжения нити. С какой частотой осуществляется вращение? Вычислите линейную скорость шарика.

Дано:

Масса шарика: $m$

Длина нити: $l$

Угол отклонения нити от вертикали: $\alpha$

Найти:

Центростремительную силу: $F_{ц}$

Силу натяжения нити: $T$

Частоту вращения: $f$

Линейную скорость шарика: $v$

Решение:

Рисунок и силы, действующие на шарик

Шарик, вращаясь, описывает горизонтальную окружность. На него действуют две силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $T$, направленная вдоль нити к точке подвеса. Геометрически можно определить радиус окружности $r$ как $r = l \sin(\alpha)$.

Для решения задачи разложим силу натяжения нити $T$ на две компоненты: вертикальную $T_y = T \cos(\alpha)$ и горизонтальную $T_x = T \sin(\alpha)$.

Определите центростремительную силу и силу натяжения нити.

Применим второй закон Ньютона. Поскольку шарик не движется по вертикали, вертикальная компонента силы натяжения уравновешивает силу тяжести:

$T_y = mg \implies T \cos(\alpha) = mg$

Из этого уравнения выразим силу натяжения нити $T$:

$T = \frac{mg}{\cos(\alpha)}$

Горизонтальная компонента силы натяжения $T_x$ является равнодействующей силой, которая направлена к центру окружности и сообщает шарику центростремительное ускорение. Эта сила и есть центростремительная сила $F_ц$:

$F_ц = T_x = T \sin(\alpha)$

Подставим в это выражение найденное значение для $T$:

$F_ц = \left(\frac{mg}{\cos(\alpha)}\right) \sin(\alpha) = mg \tan(\alpha)$

Ответ: Сила натяжения нити $T = \frac{mg}{\cos(\alpha)}$, центростремительная сила $F_ц = mg \tan(\alpha)$.

С какой частотой осуществляется вращение?

Центростремительная сила связана с угловой скоростью $\omega$ и радиусом вращения $r$ формулой $F_ц = m\omega^2 r$. Угловая скорость, в свою очередь, связана с частотой $f$ как $\omega = 2\pi f$.

Приравняем два выражения для центростремительной силы:

$mg \tan(\alpha) = m\omega^2 r = m(2\pi f)^2 (l \sin(\alpha))$

$g \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = 4\pi^2 f^2 l \sin(\alpha)$

Сократим массу $m$ и $\sin(\alpha)$ (при условии, что $\alpha \neq 0$):

$\frac{g}{\cos(\alpha)} = 4\pi^2 f^2 l$

Выразим квадрат частоты:

$f^2 = \frac{g}{4\pi^2 l \cos(\alpha)}$

Отсюда находим частоту вращения:

$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l \cos(\alpha)}}$

Ответ: $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l \cos(\alpha)}}$.

Вычислите линейную скорость шарика.

Линейную скорость $v$ можно найти из формулы для центростремительной силы: $F_ц = \frac{mv^2}{r}$.

Выразим $v^2$:

$v^2 = \frac{F_ц \cdot r}{m}$

Подставим известные выражения для $F_ц = mg \tan(\alpha)$ и $r = l \sin(\alpha)$:

$v^2 = \frac{mg \tan(\alpha) \cdot l \sin(\alpha)}{m} = gl \tan(\alpha)\sin(\alpha)$

$v^2 = gl \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \sin(\alpha) = \frac{gl \sin^2(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Извлекая квадратный корень, получаем выражение для линейной скорости:

$v = \sqrt{\frac{gl \sin^2(\alpha)}{\cos(\alpha)}} = \sin(\alpha) \sqrt{\frac{gl}{\cos(\alpha)}}$

Ответ: $v = \sin(\alpha) \sqrt{\frac{gl}{\cos(\alpha)}}$.