Номер 17.25, страница 58 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 17. Сложение и разложение сил. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 17.25, страница 58.

17.25* [393*] Определите силы, с которыми действуют друг на друга вследствие тяготения два свинцовых шара диаметром по 1 м каждый; три таких же шара, соприкасающиеся так, как показано на рисунке II-86.

Рис. II-86

два свинцовых шара

Дано:

диаметр свинцовых шаров $d = 1$ м
плотность свинца $\rho = 11340$ кг/м³
гравитационная постоянная $G \approx 6.67 \times 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

силу гравитационного притяжения между двумя шарами $F$.

Решение:

Сначала найдем массу одного свинцового шара. Радиус шара $R$ равен половине диаметра:

$R = d/2 = 1 \text{ м} / 2 = 0.5 \text{ м}$

Объем шара $V$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

$V = \frac{4}{3}\pi (0.5 \text{ м})^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 0.125 \text{ м}^3 = \frac{\pi}{6} \text{ м}^3$

Масса шара $m$ равна произведению его плотности $\rho$ на объем $V$:

$m = \rho \cdot V = 11340 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot \frac{\pi}{6} \text{ м}^3 = 1890\pi \text{ кг} \approx 5937.6 \text{ кг}$

Сила гравитационного притяжения между двумя телами определяется законом всемирного тяготения Ньютона:

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

В нашем случае массы шаров одинаковы, $m_1 = m_2 = m$. Так как шары соприкасаются, расстояние $r$ между их центрами равно диаметру шара $d$.

$r = R + R = d = 1 \text{ м}$

Подставим значения в формулу:

$F = G \frac{m^2}{d^2} = 6.67 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot \frac{(1890\pi \text{ кг})^2}{(1 \text{ м})^2}$

$F \approx 6.67 \times 10^{-11} \cdot (5937.6)^2 \text{ Н} \approx 6.67 \times 10^{-11} \cdot 3.525 \times 10^7 \text{ Н} \approx 2.35 \times 10^{-3} \text{ Н}$

Ответ: сила, с которой действуют друг на друга два свинцовых шара, равна примерно $2.35 \times 10^{-3}$ Н.

три таких же шара

Дано:

диаметр свинцовых шаров $d = 1$ м
масса одного шара $m = 1890\pi$ кг
сила притяжения между двумя шарами $F_1 \approx 2.35 \times 10^{-3}$ Н

Найти:

результирующую силу $F_{рез}$, действующую на один из шаров со стороны двух других.

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на один из шаров (например, на нижний). На него действуют силы притяжения со стороны двух других шаров. Центры трех соприкасающихся шаров образуют равносторонний треугольник со стороной, равной диаметру шара, $d = 1$ м.

Пусть $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$ - силы, с которыми два верхних шара действуют на нижний. Модули этих сил равны силе, найденной в первой части задачи:

$|\vec{F}_{1}| = |\vec{F}_{2}| = F_1 \approx 2.35 \times 10^{-3} \text{ Н}$

Угол между векторами сил $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$ равен $60^\circ$, так как он соответствует углу в равностороннем треугольнике, образованном центрами шаров.

Результирующая сила $\vec{F}_{рез}$ является векторной суммой сил $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$. Модуль результирующей силы можно найти по теореме косинусов для векторов:

$F_{рез} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2 F_1 F_2 \cos(60^\circ)}$

Так как $F_1 = F_2$, а $\cos(60^\circ) = 0.5$:

$F_{рез} = \sqrt{F_1^2 + F_1^2 + 2 F_1^2 \cdot 0.5} = \sqrt{2F_1^2 + F_1^2} = \sqrt{3F_1^2} = F_1\sqrt{3}$

Подставим числовое значение для $F_1$:

$F_{рез} \approx (2.35 \times 10^{-3} \text{ Н}) \cdot \sqrt{3} \approx 2.35 \times 10^{-3} \cdot 1.732 \text{ Н} \approx 4.07 \times 10^{-3} \text{ Н}$

По принципу суперпозиции и из соображений симметрии, на каждый из трех шаров действует результирующая сила с таким же модулем, направленная к центру треугольника, образованного центрами шаров.

Ответ: результирующая сила, действующая на каждый из трех шаров со стороны двух других, равна примерно $4.07 \times 10^{-3}$ Н.