Страница 54 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

16.10 [361] На рисунке II-71 изображена сила $\vec{F}$, по модулю равная 20 Н. Пользуясь ею как масштабным отрезком силы, определите, чему равны модули сил $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$. Модуль какой из сил, изображённых на рисунке II-72, больше всех? меньше всех? Запишите эти силы в порядке увеличения их модулей.

Рис. II-71

Рис. II-72

Дано:

Найти:

Решение:

В задаче дан масштаб: длина вектора $\vec{F}$, изображенного на рисунке II-71, соответствует модулю силы $F = 20$ Н. Мы будем использовать эту длину как единицу измерения (масштабный отрезок) для определения модулей сил, изображенных на рисунке II-72.

Определите, чему равны модули сил $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$

Для определения модулей сил $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$ на рисунке II-72 сравним длины их векторов с длиной вектора $\vec{F}$, который является масштабным отрезком.

Длина вектора $\vec{F_1}$ на рисунке II-72 визуально равна длине масштабного отрезка $\vec{F}$. Следовательно, их модули равны:

$F_1 = F = 20$ Н

Длина вектора $\vec{F_2}$ на рисунке II-72 визуально примерно в два раза меньше длины масштабного отрезка $\vec{F}$. Следовательно, модуль силы $\vec{F_2}$ равен половине модуля силы $\vec{F}$:

$F_2 = \frac{F}{2} = \frac{20 \text{ Н}}{2} = 10$ Н

Ответ: Модуль силы $\vec{F_1}$ равен 20 Н, модуль силы $\vec{F_2}$ равен 10 Н.

Модуль какой из сил, изображённых на рисунке II-72, больше всех? меньше всех?

Сравним модули всех трех сил, действующих на тело на рисунке II-72: $F = 20$ Н, $F_1 = 20$ Н, $F_2 = 10$ Н.

Из сравнения видно, что наибольший модуль имеют силы $\vec{F}$ и $\vec{F_1}$, а наименьший модуль имеет сила $\vec{F_2}$.

Ответ: Наибольший модуль (20 Н) имеют силы $\vec{F}$ и $\vec{F_1}$. Наименьший модуль (10 Н) имеет сила $\vec{F_2}$.

Запишите эти силы в порядке увеличения их модулей

Располагая силы в порядке возрастания их модулей, получаем следующую последовательность: сила с наименьшим модулем ($\vec{F_2}$), затем силы с большими и равными между собой модулями ($\vec{F}$ и $\vec{F_1}$).

$F_2 < F = F_1$

Ответ: $\vec{F_2}$, $\vec{F}$, $\vec{F_1}$ (или в другом порядке сил с равными модулями: $\vec{F_2}$, $\vec{F_1}$, $\vec{F}$).

16.11 [362] Пользуясь масштабом (рис. II-73), определите модули сил, действующих на тело А.

1 H

$\vec{F_3}$

$\vec{F_1}$

$\vec{F_2}$

A

Рис. II-73

Дано:

На рисунке II-73 изображено тело A, на которое действуют три силы: $\vec{F_1}$, $\vec{F_2}$ и $\vec{F_3}$.

Задан масштаб: отрезок определенной длины $l_0$ соответствует силе $F_0 = 1 \text{ Н}$.

Найти:

Модули сил $F_1, F_2, F_3$.

Решение:

Чтобы определить модули сил, необходимо сравнить длины векторов, изображающих эти силы на рисунке, с длиной масштабного отрезка. Масштабный отрезок, обозначенный как "1 Н", представляет собой эталон, соответствующий силе в 1 Ньютон. Пусть длина этого отрезка равна $l_0$.

Измерим визуально длины векторов сил, сравнивая их с $l_0$:

1. Длина вектора силы $\vec{F_1}$ (обозначим её $l_1$) примерно в два раза больше длины масштабного отрезка $l_0$. Следовательно, $l_1 \approx 2l_0$.

2. Длина вектора силы $\vec{F_2}$ (обозначим её $l_2$) также примерно в два раза больше длины масштабного отрезка $l_0$. Следовательно, $l_2 \approx 2l_0$.

3. Длина вектора силы $\vec{F_3}$ (обозначим её $l_3$) примерно равна длине масштабного отрезка $l_0$. Следовательно, $l_3 \approx l_0$.

Теперь, зная соотношение длин, мы можем вычислить модули сил, используя пропорцию:

$F_i = F_0 \cdot \frac{l_i}{l_0}$

Для силы $F_1$:

$F_1 = 1 \text{ Н} \cdot \frac{l_1}{l_0} \approx 1 \text{ Н} \cdot \frac{2l_0}{l_0} = 2 \text{ Н}$

Для силы $F_2$:

$F_2 = 1 \text{ Н} \cdot \frac{l_2}{l_0} \approx 1 \text{ Н} \cdot \frac{2l_0}{l_0} = 2 \text{ Н}$

Для силы $F_3$:

$F_3 = 1 \text{ Н} \cdot \frac{l_3}{l_0} \approx 1 \text{ Н} \cdot \frac{l_0}{l_0} = 1 \text{ Н}$

Ответ: $F_1 = 2 \text{ Н}$, $F_2 = 2 \text{ Н}$, $F_3 = 1 \text{ Н}$.

16.12 [363] Какая из сил, изображённых на рисунке II-74, равна 2 Н (масштаб: 0,5 см — 1 Н)?

$\vec{F}$

$\vec{P}$

$\vec{Q}$

Рис. II-74

Дано:

Масштаб: $0,5 \text{ см} - 1 \text{ Н}$
Искомая сила: $F_{иск} = 2 \text{ Н}$

Найти:

Какая из сил, $\vec{F}$, $\vec{P}$ или $\vec{Q}$, равна $2 \text{ Н}$.

Решение:

В задаче указан масштаб, который связывает длину вектора силы на рисунке с ее числовым значением. Масштаб $0,5 \text{ см} - 1 \text{ Н}$ означает, что вектор длиной $0,5$ сантиметра изображает силу, равную $1$ ньютону.

Чтобы найти, какая из сил равна $2 \text{ Н}$, нам нужно определить, какой длины должен быть вектор, изображающий эту силу. Составим пропорцию:

$1 \text{ Н}$ соответствует $0,5 \text{ см}$

$2 \text{ Н}$ соответствует $L \text{ см}$

Отсюда находим длину вектора $L$:

$L = \frac{2 \text{ Н} \cdot 0,5 \text{ см}}{1 \text{ Н}} = 1 \text{ см}$

Следовательно, нам нужно найти на рисунке вектор, длина которого составляет $1 \text{ см}$.

Теперь проанализируем рисунок. На нем изображены три вектора: $\vec{F}$, $\vec{P}$ и $\vec{Q}$. Визуально можно оценить их относительные длины. Векторы $\vec{F}$ и $\vec{P}$ имеют примерно одинаковую длину. Вектор $\vec{Q}$ заметно длиннее, его длина примерно в два раза больше длины векторов $\vec{F}$ и $\vec{P}$.

Примем, что рисунок выполнен в соответствии с масштабом, и одна из сил действительно равна $2 \text{ Н}$. Если предположить, что длина векторов $\vec{F}$ и $\vec{P}$ равна $0,5 \text{ см}$, то они изображают силу в $1 \text{ Н}$. Тогда длина вектора $\vec{Q}$, будучи вдвое больше, составит $2 \cdot 0,5 \text{ см} = 1 \text{ см}$. Сила, соответствующая вектору $\vec{Q}$, будет равна:

$Q = \frac{1 \text{ см}}{0,5 \text{ см/Н}} = 2 \text{ Н}$

Это соответствует условию задачи. Таким образом, сила $\vec{Q}$ равна $2 \text{ Н}$.

Ответ: Сила $\vec{Q}$ равна $2 \text{ Н}$.

16.13 [364] Изобразите графически силы, действующие на доску AB (рис. II-75). Обозначьте буквами точки их приложения.

Рис. II-75

Решение

На доску AB, находящуюся в состоянии покоя, действуют несколько сил. Для графического изображения этих сил необходимо определить их точки приложения, направления и учесть их относительные величины.

Силы, действующие на доску:

1. Сила тяжести доски ($ \vec{F}_{т} $). Эта сила обусловлена притяжением доски к Земле. Она приложена к центру масс доски. Если считать доску однородной, то ее центр масс находится в ее геометрическом центре. Обозначим эту точку буквой C. Сила тяжести всегда направлена вертикально вниз.

2. Вес гири ($ \vec{P} $). Это сила, с которой гиря давит на доску. Она приложена к доске в точке, находящейся под центром тяжести гири. Обозначим эту точку приложения буквой D. Вес гири направлен вертикально вниз.

3. Силы реакции опор ($ \vec{N}_1 $ и $ \vec{N}_2 $). Эти силы — силы упругости, возникающие в точках, где доска опирается на подставки. Они действуют со стороны опор на доску и препятствуют ее падению. Силы реакции опор направлены перпендикулярно поверхности доски, то есть вертикально вверх. Обозначим точку приложения силы реакции левой опоры буквой E, а правой — буквой F.

Итак, на доску действуют четыре силы:

• $ \vec{F}_{т} $ — сила тяжести доски, приложенная в точке C и направленная вниз.

• $ \vec{P} $ — вес гири, приложенный в точке D и направленный вниз.

• $ \vec{N}_1 $ — сила реакции левой опоры, приложенная в точке E и направленная вверх.

• $ \vec{N}_2 $ — сила реакции правой опоры, приложенная в точке F и направленная вверх.

Для графического изображения сил нужно нарисовать векторы (стрелки), исходящие из точек их приложения (C, D, E, F) в соответствующих направлениях.

Поскольку доска находится в равновесии, должны выполняться два условия:

1. Векторная сумма всех сил равна нулю. Для вертикальных сил это означает, что сумма сил, направленных вверх, равна сумме сил, направленных вниз: $ N_1 + N_2 = F_{т} + P $.

2. Сумма моментов всех сил относительно любой точки равна нулю. Из рисунка видно, что гиря расположена ближе к левой опоре (E), чем к правой (F). Чтобы доска не вращалась, левая опора должна нести большую нагрузку. Следовательно, сила реакции левой опоры $ N_1 $ будет больше силы реакции правой опоры $ N_2 $. При графическом изображении вектор $ \vec{N}_1 $ должен быть длиннее вектора $ \vec{N}_2 $.

Ответ:

На доску действуют четыре силы: сила тяжести доски $ \vec{F}_{т} $, приложенная в ее центре масс C и направленная вертикально вниз; вес гири $ \vec{P} $, приложенный в точке D под центром гири и направленный вертикально вниз; сила реакции левой опоры $ \vec{N}_1 $, приложенная в точке E и направленная вертикально вверх; сила реакции правой опоры $ \vec{N}_2 $, приложенная в точке F и направленная вертикально вверх. Точки приложения сил: C — центр доски, D — точка под центром гири, E и F — точки контакта с опорами. Графически эти силы изображаются в виде векторов, исходящих из указанных точек в соответствующих направлениях. Так как гиря смещена влево от центра между опорами, вектор силы $ \vec{N}_1 $ должен быть длиннее вектора $ \vec{N}_2 $. Сумма величин сил $ N_1 $ и $ N_2 $ равна сумме величин сил $ F_{т} $ и $ P $.

16.14 [365] Изобразите графически силы, приложенные к телу (рис. II-76):

а) в точке А силу $4 \text{ кН}$, действующую горизонтально слева направо;

б) в точке В силу $5 \text{ кН}$, направленную вертикально вверх;

в) в точке С силу $6 \text{ кН}$, направленную вертикально вниз (масштаб: $1 \text{ см} \text{ --- } 2 \text{ кН}$).

Рис. II-76

Дано:

Сила, приложенная в точке A, $F_A = 4 \text{ кН}$

Сила, приложенная в точке B, $F_B = 5 \text{ кН}$

Сила, приложенная в точке C, $F_C = 6 \text{ кН}$

Масштаб: $M = 2 \text{ кН/см}$

Найти:

Изобразить графически силы $\vec{F_A}$, $\vec{F_B}$, $\vec{F_C}$ с учетом масштаба.

Решение:

Для графического изображения силы необходимо начертить вектор. Вектор – это направленный отрезок, который характеризуется точкой приложения (начало вектора), направлением (указывается стрелкой) и модулем (длиной), который в определенном масштабе соответствует значению силы.

В данной задаче задан масштаб: в 1 см длины вектора содержится 2 кН силы. Чтобы найти длину вектора в сантиметрах, нужно модуль силы разделить на значение масштаба:

$l = \frac{F}{M}$

Рассчитаем длины векторов для каждой из сил:

Длина вектора силы $\vec{F_A}$: $l_A = \frac{4 \text{ кН}}{2 \text{ кН/см}} = 2 \text{ см}$

Длина вектора силы $\vec{F_B}$: $l_B = \frac{5 \text{ кН}}{2 \text{ кН/см}} = 2,5 \text{ см}$

Длина вектора силы $\vec{F_C}$: $l_C = \frac{6 \text{ кН}}{2 \text{ кН/см}} = 3 \text{ см}$

а) Чтобы изобразить силу $\vec{F_A}$ величиной 4 кН, приложенную в точке А и действующую горизонтально слева направо, нужно из точки А провести горизонтальный вектор, направленный вправо. Длина этого вектора в выбранном масштабе должна быть равна 2 см.

Ответ: Вектор силы $\vec{F_A}$ начинается в точке А, направлен горизонтально вправо, его длина составляет 2 см.

б) Чтобы изобразить силу $\vec{F_B}$ величиной 5 кН, приложенную в точке B и направленную вертикально вверх, нужно из точки B провести вертикальный вектор, направленный вверх. Длина этого вектора в выбранном масштабе должна быть равна 2,5 см.

Ответ: Вектор силы $\vec{F_B}$ начинается в точке B, направлен вертикально вверх, его длина составляет 2,5 см.

в) Чтобы изобразить силу $\vec{F_C}$ величиной 6 кН, приложенную в точке C и направленную вертикально вниз, нужно из точки C провести вертикальный вектор, направленный вниз. Длина этого вектора в выбранном масштабе должна быть равна 3 см.

Ответ: Вектор силы $\vec{F_C}$ начинается в точке C, направлен вертикально вниз, его длина составляет 3 см.

16.15 [366] Изобразите графически две силы: $5 \text{ кН}$ и $2 \text{ кН}$, приложенные к одной точке тела и действующие под углом $90^\circ$ друг к другу (масштаб: $1 \text{ см} — 1 \text{ кН}$).

Дано:

Найти:

Графически изобразить силы $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$.

Решение:

Для графического изображения сил необходимо выбрать точку их приложения, а затем от этой точки отложить два вектора. Длины векторов должны быть пропорциональны модулям сил в заданном масштабе, а угол между векторами должен соответствовать условию задачи.

1. Выберем точку приложения сил и обозначим её буквой O.

2. Определим длины векторов, которые будут изображать силы, используя заданный масштаб (1 см — 1 кН):

• Длина вектора, изображающего силу $\vec{F_1}$, равна $l_1 = \frac{5 \text{ кН}}{1 \text{ кН/см}} = 5 \text{ см}$.
• Длина вектора, изображающего силу $\vec{F_2}$, равна $l_2 = \frac{2 \text{ кН}}{1 \text{ кН/см}} = 2 \text{ см}$.

3. Построим векторы:

• От точки О отложим в произвольном направлении (например, горизонтально вправо) вектор $\vec{F_1}$ длиной 5 см.
• От той же точки О под углом 90° к вектору $\vec{F_1}$ (например, вертикально вверх) отложим вектор $\vec{F_2}$ длиной 2 см.

Графическое построение показано на рисунке ниже. Для наглядности на рисунке присутствует сетка, где сторона одной клетки соответствует 1 см.

Ответ:

Графическое изображение двух сил, приложенных к одной точке под углом 90°, представлено на рисунке. Сила $F_1 = 5 \text{ кН}$ изображена вектором $\vec{F_1}$ длиной 5 см, а сила $F_2 = 2 \text{ кН}$ изображена вектором $\vec{F_2}$ длиной 2 см. Угол между векторами равен 90°.

16.16 [367] На рисунке II-77 графически изображены силы, действующие на модель самолёта. Сила тяжести равна 4 Н. Пользуясь линейкой, определите модули сил:

а) $\vec{F_2}$ — силы тяги двигателя модели;

б) $\vec{F_1}$ — силы сопротивления воздуха;

в) $\vec{F_3}$ — подъёмной силы.

Рис. II-77

Дано:

Модуль силы тяжести $F_T = 4$ Н.
Графическое изображение сил, действующих на модель самолёта (Рис. II-77).

Найти:

а) $F_2$ — модуль силы тяги двигателя модели
б) $F_1$ — модуль силы сопротивления воздуха
в) $F_3$ — модуль подъёмной силы

Решение:

В задаче дано графическое изображение сил, где длина каждого вектора пропорциональна модулю соответствующей силы. Чтобы определить модули неизвестных сил, необходимо найти соотношение между длинами векторов на рисунке. За основу возьмём вектор силы тяжести $\vec{F}_T$, модуль которой нам известен.

1. С помощью линейки измерим длины всех векторов на рисунке. Обозначим их длины как $l_T$, $l_1$, $l_2$ и $l_3$.

2. Сравним длины векторов с длиной вектора силы тяжести $l_T$:

• Длина вектора силы тяги $l_2$ примерно в 1,5 раза больше длины $l_T$. Таким образом, $l_2 \approx 1.5 \cdot l_T$.
• Длина вектора силы сопротивления $l_1$ примерно в 0,75 раза больше длины $l_T$ (или на четверть короче). Таким образом, $l_1 \approx 0.75 \cdot l_T$.
• Длина вектора подъёмной силы $l_3$ равна длине вектора силы тяжести $l_T$. Таким образом, $l_3 = l_T$.

3. Так как модули сил пропорциональны длинам векторов, мы можем использовать найденные соотношения для вычисления искомых сил, зная, что $F_T = 4$ Н.

а) $\vec{F}_2$ — силы тяги двигателя модели

Модуль силы тяги $F_2$ относится к модулю силы тяжести $F_T$ так же, как их длины векторов: $\frac{F_2}{F_T} = \frac{l_2}{l_T} = 1.5$.
Отсюда находим $F_2$:
$F_2 = 1.5 \cdot F_T = 1.5 \cdot 4 \text{ Н} = 6 \text{ Н}$.

Ответ: 6 Н.

б) $\vec{F}_1$ — силы сопротивления воздуха

Аналогично для силы сопротивления $F_1$: $\frac{F_1}{F_T} = \frac{l_1}{l_T} = 0.75$.
Отсюда находим $F_1$:
$F_1 = 0.75 \cdot F_T = 0.75 \cdot 4 \text{ Н} = 3 \text{ Н}$.

Ответ: 3 Н.

в) $\vec{F}_3$ — подъёмной силы

Для подъёмной силы $F_3$: $\frac{F_3}{F_T} = \frac{l_3}{l_T} = 1$.
Отсюда следует, что модуль подъёмной силы равен модулю силы тяжести:
$F_3 = F_T = 4 \text{ Н}$.

Ответ: 4 Н.