Страница 73 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

21.3 [463] В узкой запаянной с обоих концов трубке, подвешенной на нити, воздух разделён капелькой ртути (рис. III-9). Одинаково ли давление воздуха в верхней и нижней частях трубки?

Рис. III-9

Решение

Для ответа на вопрос рассмотрим силы, действующие на каплю ртути. Поскольку трубка с каплей находится в состоянии покоя, сама капля также находится в равновесии. Это означает, что сумма всех сил, действующих на каплю, равна нулю.

На каплю ртути действуют три силы в вертикальном направлении:

1. Сила тяжести $F_g$, направленная вертикально вниз. Она равна $F_g = mg$, где $m$ — масса капли ртути, а $g$ — ускорение свободного падения.
2. Сила давления $F_1$ со стороны воздуха в верхней части трубки. Эта сила приложена к верхней поверхности капли и направлена вниз. Она равна $F_1 = p_1 S$, где $p_1$ — давление воздуха в верхней части, а $S$ — площадь поперечного сечения трубки.
3. Сила давления $F_2$ со стороны воздуха в нижней части трубки. Эта сила приложена к нижней поверхности капли и направлена вверх. Она равна $F_2 = p_2 S$, где $p_2$ — давление воздуха в нижней части трубки.

Запишем условие равновесия капли ртути. Сумма сил, направленных вверх, должна быть равна сумме сил, направленных вниз:

$F_2 = F_1 + F_g$

Подставим в это уравнение выражения для сил через давление:

$p_2 S = p_1 S + mg$

Разделим обе части уравнения на площадь $S$:

$p_2 = p_1 + \frac{mg}{S}$

Из полученного выражения видно, что давление в нижней части трубки ($p_2$) больше давления в верхней части ($p_1$) на величину $\frac{mg}{S}$. Эта величина представляет собой гидростатическое давление, создаваемое столбиком ртути высотой $h$. Если плотность ртути равна $\rho$, то $m = \rho V = \rho S h$, и тогда добавочное давление равно $\rho g h$.

Таким образом, давление воздуха в верхней и нижней частях трубки не одинаково.

Ответ: Нет, давление воздуха в верхней и нижней частях трубки не одинаково. Давление в нижней части больше давления в верхней на величину гидростатического давления столбика ртути.

21.4 [464] Поршень в цилиндре на рисунке III-10 занимал положение А. Цилиндр поместили под колокол воздушного насоса и откачали часть воздуха. Поршень при этом переместился и занял положение В. Чем можно объяснить перемещение поршня?

Рис. III-10

Перемещение поршня из положения А в положение В можно объяснить изменением давления воздуха снаружи и внутри цилиндра.

1. Начальное состояние (положение А): Изначально поршень находится в равновесии. Это означает, что давление воздуха, запертого в левой части цилиндра ($P_1$), уравновешено давлением воздуха снаружи, то есть атмосферным давлением ($P_{атм}$), которое действует на поршень справа. Таким образом, в положении А: $P_1 = P_{атм}$.

2. Процесс откачки воздуха: Когда цилиндр помещают под колокол воздушного насоса и откачивают часть воздуха, давление под колоколом (и, следовательно, снаружи цилиндра) уменьшается. Обозначим это новое, пониженное внешнее давление как $P_2$. Теперь $P_2 < P_{атм}$.

3. Возникновение силы: Сразу после откачки воздуха давление слева от поршня всё ещё равно $P_1$, в то время как давление справа стало равно $P_2$. Поскольку $P_1 = P_{атм}$, а $P_2 < P_{атм}$, возникает разность давлений: $P_1 > P_2$. Эта разность давлений создает силу, действующую на поршень и направленную слева направо. Величина этой силы равна $F = (P_1 - P_2) \cdot S$, где $S$ – площадь поршня.

4. Движение и новое равновесие (положение В): Под действием этой силы поршень начинает двигаться вправо. По мере движения поршня объем, занимаемый запертым воздухом слева, увеличивается. Согласно закону Бойля-Мариотта, при постоянной температуре увеличение объема газа приводит к уменьшению его давления. Давление запертого воздуха ($P_1$) начинает падать. Поршень будет двигаться до тех пор, пока давление воздуха внутри цилиндра не станет равным новому внешнему давлению $P_2$. В положении В наступает новое равновесие, при котором силы, действующие на поршень, снова уравновешены.

Ответ: Перемещение поршня объясняется тем, что после откачки воздуха из-под колокола давление снаружи цилиндра стало меньше, чем давление воздуха, запертого внутри. Возникшая разность давлений создала силу, которая вытолкнула поршень вправо до тех пор, пока давление внутри и снаружи не уравнялось.

21.5 [465] Массы одного и того же газа, находящегося в разных закрытых сосудах (рис. III-11) при одинаковой температуре, одинаковы. В каком из сосудов давление газа наибольшее? наименьшее? Ответ поясните.

Рис. III-11

Дано:

$m_1 = m_2 = m_3 = m$ (масса газа)
$T_1 = T_2 = T_3 = T$ (температура газа)
$M_1 = M_2 = M_3 = M$ (молярная масса одного и того же газа)
Из рисунка видно, что объемы сосудов соотносятся как $V_1 > V_2 > V_3$.

Найти:

В каком сосуде давление $p$ наибольшее и в каком наименьшее?

Решение:

Состояние идеального газа описывается уравнением Менделеева–Клапейрона:

$pV = \frac{m}{M}RT$

где $p$ — давление газа, $V$ — объём сосуда, $m$ — масса газа, $M$ — молярная масса газа, $T$ — абсолютная температура, а $R$ — универсальная газовая постоянная.

Выразим давление из этой формулы:

$p = \frac{mRT}{MV}$

По условию задачи масса газа ($m$), температура ($T$) и молярная масса ($M$) одинаковы для всех трех сосудов. Универсальная газовая постоянная ($R$) также является константой. Следовательно, произведение $mRT$ и знаменатель $M$ являются постоянными величинами для всех трех случаев.

Таким образом, давление газа $p$ обратно пропорционально объёму сосуда $V$:

$p \propto \frac{1}{V}$

Это означает, что чем меньше объём сосуда, тем выше в нём давление газа, и наоборот, чем больше объём, тем давление ниже.

Из рисунка мы видим, что объёмы сосудов соотносятся следующим образом: $V_1 > V_2 > V_3$.

Следовательно, для давлений будет выполняться обратное соотношение: $p_1 < p_2 < p_3$.

Значит, наибольшее давление будет в сосуде с наименьшим объёмом (сосуд 3, самый правый), а наименьшее давление — в сосуде с наибольшим объёмом (сосуд 1, самый левый).

Ответ: наибольшее давление в самом маленьком сосуде (справа), а наименьшее — в самом большом сосуде (слева).

$21.6^0$ $[466^0]$ Под колоколом воздушного насоса находится стакан, частично наполненный мыльной пеной. Что будет наблюдаться внутри стакана, если воздух из-под колокола начать откачивать? Что произойдёт, если воздух вновь впустить?

Что будет наблюдаться внутри стакана, если воздух из-под колокола начать откачивать?

Мыльная пена состоит из большого количества маленьких пузырьков, каждый из которых представляет собой объем воздуха, заключенный в тонкую оболочку из мыльного раствора. Давление воздуха внутри каждого пузырька ($p_{внутри}$) немного выше, чем давление окружающего воздуха ($p_{снаружи}$), из-за сил поверхностного натяжения мыльной пленки.

Когда с помощью насоса начинают откачивать воздух из-под колокола, давление воздуха снаружи пузырьков ($p_{снаружи}$) уменьшается. Согласно закону Бойля-Мариотта, при постоянной температуре объем данной массы газа обратно пропорционален давлению ($p V = \text{const}$). Поскольку внешнее давление падает, давление воздуха внутри пузырьков становится избыточным, и газ внутри них начинает расширяться, увеличивая объем каждого пузырька.

В результате увеличения объема каждого отдельного пузырька, общий объем всей мыльной пены также будет увеличиваться. Мы будем наблюдать, как пена "растет", поднимается вверх по стакану и, возможно, даже переливается через край.

Ответ: Объем мыльной пены начнет увеличиваться, она поднимется и может вылиться из стакана.

Что произойдёт, если воздух вновь впустить?

Когда воздух впускают обратно под колокол, давление снаружи пузырьков ($p_{снаружи}$) быстро возрастает до атмосферного. Теперь внешнее давление становится значительно выше, чем давление воздуха внутри расширившихся пузырьков.

Это высокое внешнее давление будет сжимать пузырьки, заставляя воздух внутри них уменьшаться в объеме. В результате общий объем мыльной пены резко сократится. Пена быстро "осядет" или "схлопнется" на дно стакана. Ее итоговый объем может оказаться даже меньше первоначального, так как в процессе расширения и последующего резкого сжатия многие пузырьки могут лопнуть.

Ответ: Объем мыльной пены резко уменьшится, пена осядет.

21.7 [467] Почему при накачивании воздуха в шину велосипеда с каждым разом становится всё труднее двигать ручку насоса?

Решение

При накачивании воздуха в шину велосипеда с каждым разом двигать ручку насоса становится всё труднее из-за увеличения давления воздуха внутри шины. Этот процесс можно объяснить следующим образом:

1. Насос работает по принципу сжатия воздуха и перемещения его из области с меньшим давлением (атмосфера) в область с большим давлением (шина).

2. Когда шина пуста или слабо накачана, давление в ней невелико. Чтобы закачать первую порцию воздуха, достаточно приложить небольшое усилие к ручке насоса, чтобы сжать воздух в его цилиндре до давления, незначительно превышающего давление в шине.

3. С каждой новой порцией воздуха, попадающей в замкнутый объем шины, концентрация молекул газа в ней увеличивается. Это приводит к росту числа ударов молекул о внутренние стенки шины, что, в свою очередь, увеличивает давление $P_{шины}$ внутри нее.

4. Чтобы следующая порция воздуха перешла из насоса в шину, давление в цилиндре насоса $P_{насоса}$ должно стать больше, чем уже возросшее давление в шине $P_{шины}$.

5. Сила $F$, которую необходимо приложить к ручке насоса, прямо пропорциональна давлению, которое нужно создать для преодоления давления в шине: $F \approx P_{шины} \cdot S$, где $S$ — площадь поршня насоса. Поскольку давление в шине $P_{шины}$ постоянно растет, то для каждого последующего качка требуется прикладывать все большую и большую силу $F$.

Таким образом, человек, накачивающий шину, совершает работу против силы давления воздуха в шине. Чем выше это давление, тем больше работа и тем большее усилие требуется.

Ответ: Двигать ручку насоса становится труднее, потому что с каждой порцией закачанного воздуха давление в шине увеличивается. Чтобы протолкнуть в шину следующую порцию воздуха, необходимо совершить работу против этого возрастающего давления, то есть приложить большую силу для сжатия воздуха в насосе до давления, превышающего давление в шине.

$21.8^0 [468^0]$ Пробирка закрыта пробкой из мыльной пены. Что будет наблюдаться, если пробирку частично погрузить в стакан с холодной водой? в стакан с горячей водой? Объясните явление.

В основе наблюдаемых явлений лежит тепловое расширение и сжатие воздуха, который находится внутри пробирки. Воздух, как и любой газ, при изменении температуры изменяет свой объем. Поскольку пробирка закрыта подвижной мыльной пленкой, давление воздуха внутри пробирки остается практически постоянным и равным атмосферному давлению. Такой процесс, протекающий при постоянном давлении, называется изобарным.

Для изобарного процесса справедлив закон Гей-Люссака, согласно которому объем данной массы газа прямо пропорционален его абсолютной температуре:

$ \frac{V}{T} = \text{const} $

где $V$ — объем газа, а $T$ — его абсолютная температура (в Кельвинах).

в стакан с холодной водой?

При погружении пробирки в холодную воду, воздух внутри нее начнет отдавать тепло воде и охлаждаться. Согласно закону Гей-Люссака, при понижении температуры газа его объем уменьшается. Так как объем воздуха внутри пробирки сокращается, давление внутри становится немного меньше, чем снаружи, и внешнее атмосферное давление вталкивает мыльную пробку внутрь пробирки.

Ответ: мыльная пробка будет втягиваться внутрь пробирки.

в стакан с горячей водой?

При погружении пробирки в горячую воду, воздух внутри нее начнет получать тепло от воды и нагреваться. В соответствии с законом Гей-Люссака, при повышении температуры объем газа увеличивается. Расширяющийся воздух начнет давить на мыльную пробку изнутри, выталкивая ее наружу. Мыльная пленка будет надуваться, образуя мыльный пузырь, который может в итоге лопнуть.

Ответ: мыльная пробка будет выталкиваться из пробирки, надуваясь в виде пузыря.

21.9 [469] В соединённых сосудах, изображённых на рисунке III-12, кран К открыт. Чему равно давление газа в правом сосуде?

$0,016 \text{ Па}$

К

Рис. III-12

Дано:

Давление газа в левом сосуде $p_1 = 0,016 \text{ Па}$

Сосуды соединены, кран К между ними открыт.

Найти:

Давление газа в правом сосуде $p_2$.

Решение:

На рисунке изображены соединённые сосуды. Поскольку кран К, соединяющий сосуды, открыт, они образуют единую систему. Газ, находящийся в сосудах, может свободно перемещаться между ними.

Согласно основному свойству газов, они стремятся занять весь предоставленный им объём. Молекулы газа будут хаотично двигаться и перемещаться между сосудами до тех пор, пока система не придёт в состояние термодинамического равновесия.

В состоянии равновесия давление газа во всех точках объёма соединённых сосудов становится одинаковым. Этот принцип является частным случаем закона Паскаля, который гласит, что давление, производимое на жидкость или газ в состоянии покоя, передаётся в любую точку без изменений во всех направлениях.

Следовательно, давление в правом сосуде ($p_2$) должно быть равно давлению в левом сосуде ($p_1$).

$p_2 = p_1$

Так как по условию давление в левом сосуде известно, $p_1 = 0,016 \text{ Па}$, то давление в правом сосуде будет иметь то же значение:

$p_2 = 0,016 \text{ Па}$

Ответ: давление газа в правом сосуде равно $0,016 \text{ Па}$.

21.10 [470] Из баллона медленно выпустили половину газа. Как изменилось давление газа в баллоне? Объясните почему.

Дано:

$m_2 = \frac{1}{2} m_1$ (масса газа уменьшилась в 2 раза)
$V_1 = V_2 = V = \text{const}$ (объем баллона постоянен)
$T_1 = T_2 = T = \text{const}$ (процесс медленный, значит изотермический)

Найти:

$\frac{p_2}{p_1}$ - ?

Решение:

Состояние идеального газа описывается уравнением состояния (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$pV = \frac{m}{M}RT$

где $p$ – давление газа, $V$ – его объем, $m$ – масса газа, $M$ – молярная масса газа, $R$ – универсальная газовая постоянная, а $T$ – абсолютная температура.

Запишем это уравнение для начального (индекс 1) и конечного (индекс 2) состояний газа в баллоне.

Начальное состояние (до выпуска газа):

$p_1V = \frac{m_1}{M}RT_1$

Конечное состояние (после выпуска половины газа):

$p_2V = \frac{m_2}{M}RT_2$

Поскольку процесс выпуска газа был "медленным", температура газа в баллоне не изменялась, так как он успевал обмениваться теплом с окружающей средой. Следовательно, процесс можно считать изотермическим: $T_1 = T_2 = T$. Объем баллона $V$ и молярная масса газа $M$ также остаются постоянными.

По условию, из баллона выпустили половину газа, значит, масса оставшегося газа стала вдвое меньше начальной:

$m_2 = \frac{1}{2}m_1$

Чтобы найти, как изменилось давление, разделим уравнение для конечного состояния на уравнение для начального состояния:

$\frac{p_2V}{p_1V} = \frac{\frac{m_2}{M}RT}{\frac{m_1}{M}RT}$

Сократим одинаковые величины в левой и правой частях уравнения ($V, M, R, T$):

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{m_2}{m_1}$

Теперь подставим соотношение масс $m_2 = \frac{1}{2}m_1$:

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{\frac{1}{2}m_1}{m_1} = \frac{1}{2}$

Таким образом, конечное давление $p_2$ вдвое меньше начального $p_1$.

Объяснение: Давление газа на стенки сосуда создается ударами его молекул. Когда из баллона выпустили половину газа, количество молекул в том же объеме уменьшилось вдвое. Так как процесс медленный (изотермический), средняя кинетическая энергия молекул, а значит, и их средняя скорость, не изменились. В результате, число ударов молекул о стенки баллона в единицу времени уменьшилось вдвое, что и привело к уменьшению давления в два раза.

Ответ: давление газа в баллоне уменьшилось в 2 раза.

21.11 [471] Два одинаковых сосуда соединены небольшой трубкой (рис. III-13). В одном из них находится газ под давлением $0,08 \text{ Па}$, в другом молекулы газа отсутствуют (сосуд пустой). Каким станет давление газа в сосудах, если открыть кран К?

Рис. III-13

Дано:

Найти:

Решение:

Рассмотрим систему из двух сосудов. Так как в условии задачи не указано об изменении температуры или теплообмене с окружающей средой, будем считать процесс расширения газа изотермическим, то есть происходящим при постоянной температуре ($T = \text{const}$). Для изотермического процесса справедлив закон Бойля-Мариотта.

Запишем состояние системы до и после открытия крана.

Начальное состояние (кран К закрыт):

Весь газ находится в первом сосуде. Его параметры:

Начальное давление: $p_{нач} = p_1 = 0,08 \text{ Па}$

Начальный объем, занимаемый газом: $V_{нач} = V_1 = V$

Конечное состояние (кран К открыт):

Газ равномерно распределяется по объему обоих сосудов. Параметры системы:

Конечное давление: $p_{кон} = p$ (одинаковое в обоих сосудах)

Конечный объем, занимаемый газом (пренебрегая объемом трубки): $V_{кон} = V_1 + V_2 = V + V = 2V$

Согласно закону Бойля-Мариотта, произведение давления газа на его объем остается постоянным при постоянной температуре:

$p_{нач} \cdot V_{нач} = p_{кон} \cdot V_{кон}$

Подставим в уравнение известные нам величины:

$p_1 \cdot V = p \cdot (2V)$

Из этого уравнения выразим искомое конечное давление $p$:

$p = \frac{p_1 \cdot V}{2V}$

Как видно из формулы, объем $V$ сокращается, и результат не зависит от конкретного объема сосудов, а только от их соотношения.

$p = \frac{p_1}{2}$

Подставим числовое значение начального давления:

$p = \frac{0,08 \text{ Па}}{2} = 0,04 \text{ Па}$

Ответ: $0,04 \text{ Па}$.