Страница 78 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

23.9 [494] Поршень (рис. III-26) неподвижно прикреплён ко дну сосуда. Что произойдёт с цилиндром, надетым на поршень, если накачать воздух в сосуд? откачать воздух из сосуда? Ответ поясните.

Рис. III-26

Рассмотрим силы, действующие на подвижный цилиндр в вертикальном направлении. На цилиндр действуют:

• Сила тяжести $G$, направленная вниз.
• Сила давления $F_{вн}$ со стороны воздуха, запертого внутри цилиндра. Эта сила направлена вверх и приложена к внутренней верхней поверхности цилиндра. Площадь этой поверхности равна площади поршня $S$. Таким образом, $F_{вн} = P_{вн} \cdot S$, где $P_{вн}$ — давление воздуха внутри цилиндра.
• Сила давления $F_{внеш}$ со стороны воздуха в сосуде (снаружи цилиндра). Эта сила действует на внешнюю верхнюю кольцевую поверхность цилиндра и направлена вниз. Пусть внешняя площадь поперечного сечения цилиндра равна $S_{внеш}$, тогда площадь кольца равна $S_{к} = S_{внеш} - S$. Сила давления равна $F_{внеш} = P_{внеш} \cdot S_{к}$, где $P_{внеш}$ — давление воздуха в сосуде.

Изначально цилиндр находится в равновесии, то есть сумма всех сил равна нулю. Условие равновесия имеет вид: $F_{вн} = G + F_{внеш}$ или $P_{вн} \cdot S = G + P_{внеш} \cdot (S_{внеш} - S)$.

Если накачать воздух в сосуд, давление снаружи цилиндра $P_{внеш}$ увеличится. Это приведёт к увеличению силы $F_{внеш} = P_{внеш} \cdot S_{к}$, действующей на цилиндр вниз. Сила $F_{вн}$, действующая вверх, и сила тяжести $G$ в первый момент не изменятся. В результате равновесие сил нарушится: сила, действующая вниз ($G + F_{внеш}$), станет больше силы, действующей вверх ($F_{вн}$). Появится результирующая сила, направленная вниз, которая заставит цилиндр двигаться вниз. Цилиндр будет опускаться до тех пор, пока не установится новое состояние равновесия (при опускании объём запертого воздуха уменьшается, его давление $P_{вн}$ растёт, увеличивая выталкивающую силу $F_{вн}$).

Ответ: цилиндр опустится вниз.

Если откачать воздух из сосуда, давление снаружи цилиндра $P_{внеш}$ уменьшится. Это приведёт к уменьшению силы $F_{внеш} = P_{внеш} \cdot S_{к}$, действующей на цилиндр вниз. Сила $F_{вн}$, действующая вверх, и сила тяжести $G$ в первый момент не изменятся. В результате равновесие сил нарушится: сила, действующая вниз ($G + F_{внеш}$), станет меньше силы, действующей вверх ($F_{вн}$). Появится результирующая сила, направленная вверх, которая заставит цилиндр двигаться вверх. Цилиндр будет подниматься до тех пор, пока не установится новое состояние равновесия (при подъёме объём запертого воздуха увеличивается, его давление $P_{вн}$ падает, уменьшая выталкивающую силу $F_{вн}$).

Ответ: цилиндр поднимется вверх.

23.10* [495*] Будет ли зубная паста в условиях невесомости выдавливаться из тюбика так, как это происходит в обычных условиях? Ответ поясните.

Решение

Процесс выдавливания зубной пасты из тюбика основан на законе Паскаля. Когда человек сжимает тюбик, он создает избыточное давление внутри. Согласно закону Паскаля, это давление передается без изменений во все точки содержимого тюбика. В результате этого паста выталкивается из области высокого давления (внутри тюбика) в область низкого давления (снаружи) через отверстие.

Сила тяжести, действующая на зубную пасту, также создает некоторое давление, но оно пренебрежимо мало по сравнению с давлением, создаваемым при сжатии тюбика руками. В земных условиях сила тяжести может либо незначительно способствовать выдавливанию (если тюбик направлен отверстием вниз), либо немного препятствовать (если отверстием вверх). Однако ее влияние на общий процесс минимально.

В условиях невесомости сила тяжести отсутствует. Следовательно, исчезнет и ее незначительное влияние. Однако основной механизм — создание разности давлений при сжатии тюбика — останется неизменным. Таким образом, зубная паста будет выдавливаться из тюбика практически так же, как и в обычных условиях, поскольку этот процесс определяется в первую очередь приложенной извне силой, а не гравитацией.

Ответ: Да, зубная паста в условиях невесомости будет выдавливаться из тюбика так же, как и в обычных условиях. Это происходит потому, что процесс выдавливания обусловлен разностью давлений, создаваемой при сжатии тюбика (согласно закону Паскаля), а роль силы тяжести в этом процессе пренебрежимо мала.

23.11 [496] Два сообщающихся сосуда с различными поперечными сечениями (рис. III-27) наполнены водой. Площадь поперечного сечения у узкого сосуда в 100 раз меньше, чем у широкого. На поршень А поставили гирю весом 10 Н. Какой груз надо положить на поршень В, чтобы оба поршня с грузами находились в равновесии?¹

Рис. III-27

Дано:

Вес гири на поршне А (сила, действующая на поршень А): $F_A = 10$ Н
Соотношение площадей поршней: $S_B = 100 \cdot S_A$

Найти:

Вес груза на поршне В (сила, которую нужно приложить к поршню В): $F_B$

Решение:

Данная система представляет собой гидравлический пресс, работа которого основана на законе Паскаля. Закон Паскаля гласит, что давление, производимое на жидкость или газ, передается в любую точку без изменений во всех направлениях.

Для того чтобы поршни с грузами находились в равновесии, давление, создаваемое первым поршнем (А) на жидкость, должно быть равно давлению, создаваемому вторым поршнем (В). При условии, что поршни находятся на одном уровне, можно записать: $p_A = p_B$

Давление ($p$) определяется как отношение силы ($F$), действующей перпендикулярно поверхности, к площади ($S$) этой поверхности: $p = \frac{F}{S}$

Применим эту формулу для каждого поршня: $p_A = \frac{F_A}{S_A}$
$p_B = \frac{F_B}{S_B}$

Так как давления равны, мы можем приравнять правые части этих выражений: $\frac{F_A}{S_A} = \frac{F_B}{S_B}$

Из этого соотношения выразим искомую силу $F_B$: $F_B = F_A \cdot \frac{S_B}{S_A}$

Из условия задачи известно, что площадь широкого сосуда в 100 раз больше площади узкого, то есть $\frac{S_B}{S_A} = 100$. Подставим известные значения в формулу: $F_B = 10 \text{ Н} \cdot 100 = 1000 \text{ Н}$

Ответ: чтобы оба поршня с грузами находились в равновесии, на поршень B надо положить груз весом 1000 Н.

23.12 [497] Какой выигрыш в силе можно получить на гидравлических машинах, у которых площади поперечных сечений поршней относятся как:

a) $1:10$

б) $2:50$

в) $1:100$

г) $5:60$

д) $10:100$?

Дано:

Отношение площадей поперечных сечений малого ($S_1$) и большого ($S_2$) поршней:

а) $S_1 : S_2 = 1 : 10$

б) $S_1 : S_2 = 2 : 50$

в) $S_1 : S_2 = 1 : 100$

г) $S_1 : S_2 = 5 : 60$

д) $S_1 : S_2 = 10 : 100$

Данные представлены в виде безразмерных отношений, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Выигрыш в силе $k$ для каждого случая.

Решение:

Принцип действия гидравлической машины основан на законе Паскаля, согласно которому давление, производимое на жидкость, передается в любую точку без изменений во всех направлениях. В гидравлической машине давление под малым поршнем ($p_1$) равно давлению под большим поршнем ($p_2$):

$p_1 = p_2$

Давление определяется как отношение силы к площади, на которую она действует: $p = F/S$. Следовательно, для малого и большого поршней можно записать:

$p_1 = \frac{F_1}{S_1}$ и $p_2 = \frac{F_2}{S_2}$

где $F_1$ и $S_1$ — сила и площадь малого поршня, а $F_2$ и $S_2$ — сила и площадь большого поршня.

Таким образом, основное уравнение гидравлической машины имеет вид:

$\frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2}$

Выигрыш в силе — это отношение силы, действующей на большой поршень ($F_2$), к силе, приложенной к малому поршню ($F_1$). Из уравнения выше выразим это отношение:

$k = \frac{F_2}{F_1} = \frac{S_2}{S_1}$

Это означает, что выигрыш в силе, который дает гидравлическая машина, равен отношению площади большего поршня к площади меньшего поршня. Рассчитаем выигрыш в силе для каждого из заданных случаев.

а) Отношение площадей поршней $S_1 : S_2 = 1 : 10$. Выигрыш в силе равен отношению большей площади к меньшей:

$k = \frac{10}{1} = 10$

Ответ: выигрыш в силе равен 10.

б) Отношение площадей поршней $S_1 : S_2 = 2 : 50$. Выигрыш в силе:

$k = \frac{50}{2} = 25$

Ответ: выигрыш в силе равен 25.

в) Отношение площадей поршней $S_1 : S_2 = 1 : 100$. Выигрыш в силе:

$k = \frac{100}{1} = 100$

Ответ: выигрыш в силе равен 100.

г) Отношение площадей поршней $S_1 : S_2 = 5 : 60$. Выигрыш в силе:

$k = \frac{60}{5} = 12$

Ответ: выигрыш в силе равен 12.

д) Отношение площадей поршней $S_1 : S_2 = 10 : 100$. Выигрыш в силе:

$k = \frac{100}{10} = 10$

Ответ: выигрыш в силе равен 10.

23.13 [498] Площадь меньшего поршня гидравлического пресса 10 $cm^2$. На него действует сила 200 $N$. Площадь большего поршня 200 $cm^2$. Какая сила действует на большой поршень?

Дано:

Площадь меньшего поршня $S_1 = 10 \text{ см}^2$
Сила, действующая на меньший поршень $F_1 = 200 \text{ Н}$
Площадь большего поршня $S_2 = 200 \text{ см}^2$

$S_1 = 10 \text{ см}^2 = 10 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.001 \text{ м}^2$
$S_2 = 200 \text{ см}^2 = 200 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.02 \text{ м}^2$

Найти:

Силу, действующую на больший поршень $F_2$ - ?

Решение:

Работа гидравлического пресса основана на законе Паскаля. Этот закон утверждает, что давление, оказываемое на жидкость или газ, передается в любую точку без изменений во всех направлениях.

Давление $p$ вычисляется по формуле $p = \frac{F}{S}$, где $F$ – это сила, а $S$ – площадь, к которой она приложена.

В гидравлическом прессе давление под меньшим поршнем ($p_1$) равно давлению под большим поршнем ($p_2$):

$p_1 = p_2$

Следовательно, мы можем записать равенство отношений силы к площади для обоих поршней:

$\frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2}$

Из этого соотношения выразим искомую силу $F_2$, которая действует на больший поршень:

$F_2 = F_1 \cdot \frac{S_2}{S_1}$

Теперь подставим известные значения в формулу. Так как в формуле используется отношение площадей, их можно подставлять в любых одинаковых единицах измерения (в данном случае, в см²), поскольку единицы измерения сократятся.

$F_2 = 200 \text{ Н} \cdot \frac{200 \text{ см}^2}{10 \text{ см}^2} = 200 \text{ Н} \cdot 20 = 4000 \text{ Н}$

Результат можно также представить в килоньютонах: $4000 \text{ Н} = 4 \text{ кН}$.

Ответ: на больший поршень действует сила 4000 Н.

23.14 [499] Поршень гидравлического пресса площадью $180 \text{ см}^2$ действует с силой 18 кН. Площадь малого поршня $4 \text{ см}^2$. С какой силой действует малый поршень на масло в прессе?

Дано:

$S_2 = 180 \text{ см}^2$ (площадь большого поршня)

$F_2 = 18 \text{ кН}$ (сила, действующая на большой поршень)

$S_1 = 4 \text{ см}^2$ (площадь малого поршня)

Найти:

$F_1$ - сила, с которой действует малый поршень.

Решение:

В основе работы гидравлического пресса лежит закон Паскаля, который гласит, что давление, производимое на жидкость, передается в любую точку без изменений во всех направлениях. Это означает, что давление под малым поршнем ($p_1$) равно давлению под большим поршнем ($p_2$):

$p_1 = p_2$

Давление ($p$) определяется как отношение силы ($F$), действующей перпендикулярно на поверхность, к площади ($S$) этой поверхности:

$p = \frac{F}{S}$

Исходя из этого, мы можем записать равенство для гидравлического пресса:

$\frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2}$

где $F_1$ и $S_1$ — сила и площадь малого поршня, а $F_2$ и $S_2$ — сила и площадь большого поршня.

Чтобы найти силу, с которой действует малый поршень ($F_1$), выразим её из этой формулы:

$F_1 = F_2 \cdot \frac{S_1}{S_2}$

Теперь подставим в формулу данные из условия задачи. Поскольку мы используем отношение площадей, их можно не переводить в систему СИ, так как единицы измерения (см²) сократятся. Силу $F_2$ переведем в Ньютоны.

$F_1 = 18000 \text{ Н} \cdot \frac{4 \text{ см}^2}{180 \text{ см}^2} = 18000 \cdot \frac{4}{180} = 100 \cdot 4 = 400 \text{ Н}$

Ответ: малый поршень действует на масло в прессе с силой 400 Н.

23.15 [500, а] Определите (устно) вес шара (рис. III-28), если жидкость в гидравлической машине находится в равновесии.

143 Н

Рис. III-28

23.15 [500, a]

Дано:

Найти:

Решение:

Данная система представляет собой гидравлическую машину (сообщающиеся сосуды с поршнями). Согласно условию, жидкость в машине находится в равновесии. Это означает, что давление, создаваемое на жидкость в левом и правом цилиндрах, одинаково.

Давление $p$ вычисляется по формуле $p = \frac{F}{S}$, где $F$ — это сила, действующая на поршень, а $S$ — площадь поршня. В нашем случае сила, действующая на каждый поршень, равна весу тела, находящегося на нем. Обозначим вес шара как $P_1$, а вес груза как $P_2$. Площади поршней обозначим как $S_1$ и $S_2$ соответственно.

Условие равновесия (равенство давлений) можно записать следующим образом:

$p_1 = p_2$

Подставив формулы для давления, получим:

$\frac{P_1}{S_1} = \frac{P_2}{S_2}$

Из этого уравнения можно выразить искомый вес шара:

$P_1 = P_2 \cdot \frac{S_1}{S_2}$

В условии задачи не указаны площади поршней. Однако, в задании есть пометка "(устно)", что предполагает простое решение без сложных расчетов. Хотя на рисунке поршни изображены с очевидно разной площадью ($S_2 > S_1$), в учебных задачах рисунки часто носят схематический характер и не всегда выполнены в масштабе. Для того чтобы задачу можно было решить устно, логично предположить самый простой случай, а именно, что площади поршней равны: $S_1 = S_2$.

Если $S_1 = S_2$, то для выполнения условия равновесия необходимо, чтобы силы (веса), действующие на поршни, также были равны:

$P_1 = P_2$

Подставим известное значение веса груза $P_2$:

$P_1 = 143$ Н

Ответ: вес шара составляет 143 Н.