Страница 84 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

24.34 [537] Точкой А обозначен уровень воды в левом колене трубки (рис. III-44). Сделайте рисунок и на нём отметьте точкой B уровень воды в правом колене трубки.

Рис. III-44

Решение

Трубка, показанная на рисунке, является сообщающимися сосудами. Согласно закону сообщающихся сосудов, в открытых сообщающихся сосудах, заполненных однородной жидкостью, свободные поверхности этой жидкости устанавливаются на одном горизонтальном уровне. Это происходит потому, что давление на любом уровне внутри покоящейся жидкости должно быть одинаковым.

Давление, создаваемое столбом жидкости, зависит от его высоты $h$ по формуле $p = \rho g h$, где $\rho$ — плотность жидкости, а $g$ — ускорение свободного падения. На свободные поверхности жидкости в обоих коленах трубки действует одинаковое атмосферное давление $p_{атм}$.

Для того чтобы жидкость находилась в равновесии, давление на любом горизонтальном уровне в обоих коленах должно быть равным. Если мы выберем горизонтальный уровень, проходящий через точки A и B, то давление в этих точках должно быть одинаковым. Поскольку на поверхность жидкости в обоих коленах действует только атмосферное давление, уровни жидкости должны быть на одной высоте.

Таким образом, точка В, обозначающая уровень воды в правом колене трубки, должна находиться на той же горизонтальной линии, что и точка А.

На рисунке ниже показано расположение точки B.

Ответ:

Уровень воды в правом колене трубки (точка B) установится на той же высоте, что и уровень воды в левом колене (точка A), как показано на рисунке.

24.35° [538°] В сообщающиеся сосуды налита вода. Что произойдёт и почему, если в левый сосуд долить немного воды (рис. III-45)? если в средний сосуд долить немного воды (рис. III-46)?

Рис. III-45

Рис. III-46

если в левый сосуд долить немного воды (рис. III-45)

Система на рисунке III-45 представляет собой сообщающиеся сосуды. Согласно закону сообщающихся сосудов, в открытых сосудах, соединенных между собой, поверхности однородной жидкости в состоянии покоя устанавливаются на одном уровне. Это объясняется тем, что давление на любом горизонтальном уровне внутри покоящейся жидкости должно быть одинаковым. Гидростатическое давление столба жидкости определяется по формуле $p = \rho g h$, где $\rho$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения, а $h$ — высота столба жидкости.

Когда в левый сосуд доливают немного воды, уровень в нем временно повышается. Это приводит к увеличению гидростатического давления на дне левого сосуда по сравнению с правым. Под действием этой разности давлений вода начинает перетекать из левого сосуда (где давление больше) в правый (где давление меньше). Этот процесс продолжается до тех пор, пока давление на дне обоих сосудов не выровняется, что произойдет, когда уровни воды в них станут одинаковыми. Таким образом, итоговый уровень воды в обоих сосудах станет выше первоначального, но будет одинаковым.

Ответ: Вода перетечет из левого сосуда в правый до тех пор, пока уровни в них не сравняются. В результате установится новый, более высокий, но одинаковый для обоих сосудов уровень воды.

если в средний сосуд долить немного воды (рис. III-46)

Система на рисунке III-46 также является системой сообщающихся сосудов. Закон сообщающихся сосудов гласит, что высота столба однородной жидкости в состоянии равновесия не зависит от формы или ширины сосуда. Важно лишь, чтобы сосуды были соединены ниже уровня жидкости и открыты сверху, чтобы на поверхность жидкости действовало одинаковое атмосферное давление.

Если долить воду в средний, самый широкий сосуд, уровень жидкости в нем кратковременно поднимется выше, чем в двух других. Это создаст избыточное давление в нижней части системы под средним сосудом. В результате этого избыточного давления вода начнет перетекать из среднего сосуда в левый и правый до тех пор, пока система не придет в новое состояние равновесия. Равновесие наступит, когда свободные поверхности воды во всех трех сосудах окажутся на одном и том же горизонтальном уровне. Несмотря на разную форму и объем сосудов, конечный уровень воды будет одинаковым во всех трех.

Ответ: Долитая в средний сосуд вода перераспределится между всеми тремя сосудами, и в итоге уровень воды во всех сосудах станет одинаковым и более высоким, чем первоначальный.

24.36* [539*] Справедлив ли закон сообщающихся сосудов в условиях невесомости? Ответ поясните.

Решение

Закон сообщающихся сосудов гласит, что в открытых сообщающихся сосудах поверхности однородной жидкости, находящейся в состоянии покоя, устанавливаются на одном уровне. Этот закон является прямым следствием действия силы тяжести.

Гидростатическое давление столба жидкости определяется формулой $p = \rho g h$, где $\rho$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения, а $h$ — высота столба жидкости. Именно разность гидростатических давлений заставляет жидкость перетекать из одного сосуда в другой до тех пор, пока высоты не выровняются и давления на одном горизонтальном уровне не станут одинаковыми.

В условиях невесомости ускорение свободного падения равно нулю ($g = 0$). Следовательно, гидростатическое давление в любой точке жидкости также будет равно нулю, независимо от высоты (или формы) столба жидкости: $p = \rho \cdot 0 \cdot h = 0$.

Поскольку отсутствует сила тяжести, которая является движущей силой для установления равновесия в сообщающихся сосудах, жидкость не будет стремиться занять положение с минимальной потенциальной энергией, то есть выровнять свои уровни. Вместо этого ее поведение будут определять силы поверхностного натяжения и силы адгезии (сцепления со стенками сосуда). Жидкость может собраться в один или несколько шаров, хаотично распределиться по стенкам сосудов, но она не будет подчиняться закону сообщающихся сосудов. Понятие "уровень жидкости" в данном контексте теряет смысл.

Ответ: Нет, закон сообщающихся сосудов в условиях невесомости не справедлив. Этот закон является следствием действия силы тяжести, которая создает гидростатическое давление. В невесомости ($g=0$) гидростатическое давление отсутствует, и жидкость в сообщающихся сосудах не выравнивается на одном уровне.

24.37 [540] Как при помощи сообщающихся сосудов проверить, горизонтально ли проведена линия на стене?

Для проверки горизонтальности линии на стене можно воспользоваться законом сообщающихся сосудов. Этот закон гласит, что в открытых сообщающихся сосудах любой формы, заполненных однородной жидкостью, свободная поверхность этой жидкости устанавливается на одном и том же горизонтальном уровне. В качестве сообщающихся сосудов для этой задачи удобно использовать гидроуровень — длинную гибкую прозрачную трубку (шланг), частично заполненную водой (для лучшей видимости воду можно подкрасить).

Проверка выполняется следующим образом:

1. Трубку заполняют водой так, чтобы в ней не осталось крупных пузырьков воздуха, а на концах трубки оставалось свободное пространство (воздух).
2. Два человека берут трубку за концы и подносят к стене с начерченной линией.
3. Первый человек прикладывает свой конец трубки к одной точке на линии (например, к ее началу) и добивается, чтобы уровень воды в трубке совпал с этой точкой на линии.
4. Второй человек подносит свой конец трубки к другой удаленной точке на той же линии (например, к ее концу).
5. Необходимо дождаться, пока жидкость в трубке перестанет колебаться. Согласно закону сообщающихся сосудов, уровни воды в обоих концах трубки будут находиться строго на одной горизонтали.
6. Теперь нужно сравнить положение уровня воды во втором конце трубки с линией на стене.

Если уровень воды во втором конце трубки совпадает с линией, это означает, что обе точки линии находятся на одной горизонтали, и, следовательно, вся линия проведена горизонтально. Если уровень воды оказывается выше или ниже линии, значит, линия проведена с наклоном.

Ответ: Следует взять гибкую прозрачную трубку, наполненную водой (гидроуровень), и поднести ее концы к разным точкам проверяемой линии. Если линия на стене совпадает с установившимся уровнем воды в обоих концах трубки, значит, она горизонтальна. Это основано на том, что свободная поверхность жидкости в сообщающихся сосудах всегда располагается на одном горизонтальном уровне.

24.38 [541] Объясните действие фонтана (рис. III-47).

Рис. III-47

Устройство, показанное на рисунке, представляет собой модель простого фонтана, работа которого основана на физическом законе о сообщающихся сосудах и явлении гидростатического давления.

Решение

Система состоит из двух соединенных сосудов: воронки, закрепленной на штативе, и гибкой U-образной трубки. Когда в систему наливают воду, воронка и трубка образуют сообщающиеся сосуды. Согласно закону сообщающихся сосудов, однородная жидкость в них устанавливается на одном уровне, если давление над поверхностями жидкости одинаково (в данном случае, атмосферное).

В эксперименте воронка поднята на определенную высоту, а выходное отверстие трубки находится ниже уровня воды в воронке. Обозначим высоту уровня воды в воронке как $h_1$, а высоту выходного отверстия трубки как $h_2$. Поскольку $h_1 > h_2$, возникает разница высот столбов жидкости.

Эта разница высот $\Delta h = h_1 - h_2$ создает избыточное гидростатическое давление. Давление столба жидкости определяется формулой $p = \rho g h$, где $\rho$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения, $h$ — высота столба жидкости. Давление, создаваемое столбом воды в воронке на уровне выходного отверстия, больше, чем давление на выходе из трубки (которое равно атмосферному).

Под действием этого избыточного давления вода выталкивается из трубки вверх, образуя струю фонтана. Вода в струе стремится достичь первоначального уровня, то есть уровня воды в воронке. В идеальных условиях (без трения воды о стенки трубки и без сопротивления воздуха) высота фонтана была бы равна разности уровней $\Delta h$. В реальности высота струи будет несколько меньше из-за потерь энергии.

Ответ: Действие фонтана основано на законе сообщающихся сосудов. Вода из трубки выталкивается под действием избыточного гидростатического давления, которое создается за счет того, что уровень воды в воронке находится выше выходного отверстия трубки.

24.39 [542] В левом колене сообщающихся сосудов налита вода, в правом — керосин (рис. III-48). Высота столба керосина 20 см. На сколько уровень воды в левом колене ниже верхнего уровня керосина?

Рис. III-48

Дано:

Высота столба керосина, $h_к = 20 \text{ см}$
Плотность воды, $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$ (табличное значение)
Плотность керосина, $\rho_к = 800 \text{ кг/м}^3$ (табличное значение)

Найти:

Разность уровней воды и керосина, $\Delta h$

Решение:

В сообщающихся сосудах давление на любом горизонтальном уровне в покоящейся жидкости одинаково. Рассмотрим горизонтальный уровень, проходящий через границу раздела двух жидкостей (воды и керосина). Давление, создаваемое столбом воды в левом колене, уравновешивается давлением, создаваемым столбом керосина в правом колене.

Давление столба жидкости определяется формулой $p = \rho g h$, где $\rho$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения, $h$ — высота столба жидкости.

Пусть $h_в$ — высота столба воды над уровнем раздела, а $h_к$ — высота столба керосина над тем же уровнем. Условие равновесия давлений записывается как:

$p_в = p_к$

$\rho_в g h_в = \rho_к g h_к$

Сократив обе части уравнения на $g$, получаем:

$\rho_в h_в = \rho_к h_к$

Отсюда можем найти высоту столба воды $h_в$:

$h_в = \frac{\rho_к h_к}{\rho_в}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$h_в = \frac{800 \text{ кг/м}^3 \cdot 0.2 \text{ м}}{1000 \text{ кг/м}^3} = \frac{160}{1000} \text{ м} = 0.16 \text{ м}$

Вопрос задачи — найти, на сколько уровень воды в левом колене ниже верхнего уровня керосина. Эта разность уровней $\Delta h$ равна:

$\Delta h = h_к - h_в$

$\Delta h = 0.2 \text{ м} - 0.16 \text{ м} = 0.04 \text{ м}$

Переведем полученное значение в сантиметры: $0.04 \text{ м} = 4 \text{ см}$.

Ответ: уровень воды в левом колене ниже верхнего уровня керосина на 4 см.

24.40* [543*] В сообщающихся сосудах находятся ртуть и вода (рис. III-49). Высота столба воды 68 см. Какой высоты столб керосина следует налить в левое колено, чтобы ртуть установилась на одинаковом уровне?

Рис. III-49

Дано:

$h_в = 68 \text{ см}$ (высота столба воды)

$\rho_в \approx 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ (плотность воды, табличное значение)

$\rho_к \approx 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ (плотность керосина, табличное значение)

Перевод в СИ:

$h_в = 0.68 \text{ м}$

Найти:

$h_к$ (высота столба керосина)

Решение:

Задача решается с использованием закона о сообщающихся сосудах. Согласно этому закону, в состоянии равновесия давления на любом горизонтальном уровне внутри однородной жидкости одинаковы. По условию, ртуть в обоих коленах U-образной трубки устанавливается на одном уровне. Это означает, что давление столба жидкости в левом колене должно быть равно давлению столба жидкости в правом колене на этом уровне.

Давление, которое столб жидкости оказывает на дно сосуда (гидростатическое давление), вычисляется по формуле:

$P = \rho \cdot g \cdot h$

где $\rho$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения, а $h$ — высота столба жидкости.

В левое колено налит керосин, создающий давление $P_к$. В правом колене находится вода, создающая давление $P_в$. Атмосферное давление действует на обе поверхности одинаково, поэтому его можно не учитывать при сравнении давлений столбов жидкостей.

Приравняем давления на уровне поверхности ртути:

$P_к = P_в$

Подставим выражения для давлений:

$\rho_к \cdot g \cdot h_к = \rho_в \cdot g \cdot h_в$

Сократим обе части уравнения на величину ускорения свободного падения $g$:

$\rho_к \cdot h_к = \rho_в \cdot h_в$

Из этого соотношения выразим искомую высоту столба керосина $h_к$:

$h_к = \frac{\rho_в \cdot h_в}{\rho_к}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$h_к = \frac{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0.68 \text{ м}}{800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} = \frac{10}{8} \cdot 0.68 \text{ м} = 1.25 \cdot 0.68 \text{ м} = 0.85 \text{ м}$

Переведем полученное значение в сантиметры: $0.85 \text{ м} = 85 \text{ см}$.

Ответ: чтобы ртуть установилась на одинаковом уровне, в левое колено следует налить столб керосина высотой 85 см.

24.41* [544*] В сообщающихся сосудах находилась ртуть. Когда в правую трубку налили слой керосина высотой 34 см, то уровень ртути в левой трубке поднялся на 2 см. Какой высоты следует налить слой воды в левую трубку, чтобы ртуть в трубках установилась на одинаковом уровне (см. рис. III-49)?

Рис. III-49

Дано:

$h_к = 34 \text{ см}$
$\Delta h_л = 2 \text{ см}$
Плотность воды, $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$
Плотность ртути, $\rho_{рт} = 13600 \text{ кг/м}^3$

$h_к = 0.34 \text{ м}$
$\Delta h_л = 0.02 \text{ м}$

Найти:

$h_в$ - ?

Решение:

Задача состоит из двух частей. Сначала рассмотрим состояние системы после того, как в правую трубку налили керосин.

1. Когда в правую трубку наливают керосин, он своим давлением вытесняет ртуть. Уровень ртути в правой трубке опускается на некоторую величину $\Delta h_п$, а в левой трубке поднимается на $\Delta h_л = 2 \text{ см}$. Поскольку сосуды сообщающиеся и, как можно предположить из рисунка, имеют одинаковую площадь поперечного сечения, объем вытесненной ртути в правой трубке равен объему прибывшей ртути в левой. Это означает, что уровень ртути в правой трубке опустился также на 2 см: $\Delta h_п = \Delta h_л = 2 \text{ см}$.

Таким образом, разность уровней ртути в левой и правой трубках составляет:
$\Delta h_{рт} = \Delta h_л + \Delta h_п = 2 \text{ см} + 2 \text{ см} = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$.

Эта разность уровней ртути уравновешивается давлением столба керосина. Давление столба керосина $P_к$ равно давлению столба ртути высотой $\Delta h_{рт}$. Запишем условие равновесия давлений на уровне границы раздела керосина и ртути в правой трубке:
$P_к = P_{рт}$
$\rho_к g h_к = \rho_{рт} g \Delta h_{рт}$ (1)
где $\rho_к$ - плотность керосина, а $h_к$ - высота столба керосина.

2. Теперь рассмотрим вторую часть задачи. Чтобы уровни ртути в обеих трубках стали одинаковыми, в левую трубку нужно налить слой воды высотой $h_в$. В этом новом состоянии равновесия давления столбов жидкостей над уровнем ртути в обеих трубках должны быть равны.

Давление столба воды в левой трубке: $P_в = \rho_в g h_в$.
Давление столба керосина в правой трубке: $P_к = \rho_к g h_к$.

Для равенства уровней ртути необходимо, чтобы $P_в = P_к$:
$\rho_в g h_в = \rho_к g h_к$ (2)

Теперь объединим уравнения (1) и (2). Из них следует, что давление, которое должен создать столб воды, равно давлению, которое ранее создавала разность уровней ртути:
$\rho_в g h_в = \rho_{рт} g \Delta h_{рт}$

Сократив на $g$, получим:
$\rho_в h_в = \rho_{рт} \Delta h_{рт}$

Отсюда выразим искомую высоту столба воды $h_в$:
$h_в = \Delta h_{рт} \frac{\rho_{рт}}{\rho_в}$

Подставим числовые значения. Удобнее использовать плотности в г/см³ и высоту в см, чтобы сразу получить ответ в см.
$\rho_{рт} = 13.6 \text{ г/см}^3$
$\rho_в = 1.0 \text{ г/см}^3$
$\Delta h_{рт} = 4 \text{ см}$

$h_в = 4 \text{ см} \cdot \frac{13.6 \text{ г/см}^3}{1.0 \text{ г/см}^3} = 4 \cdot 13.6 \text{ см} = 54.4 \text{ см}$

Ответ: чтобы ртуть в трубках установилась на одинаковом уровне, следует налить слой воды высотой 54.4 см.