Страница 91 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

25.40 [578] Чему равно давление на уровне высоты Останкинской телевизионной башни (540 м), если на уровне земли оно составляет 100 641 Па?¹

Дано:

Высота Останкинской башни $h = 540$ м

Давление на уровне земли $P_0 = 100641$ Па

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Давление $P$ на высоте башни.

Решение:

Атмосферное давление уменьшается с увеличением высоты. Для нахождения давления $P$ на высоте $h$ можно воспользоваться упрощенной моделью, в которой плотность воздуха считается постоянной. Это допущение справедливо для относительно небольших перепадов высот.

Давление на высоте $h$ можно найти, вычтя из давления у поверхности земли $P_0$ гидростатическое давление столба воздуха высотой $h$:

$P = P_0 - \Delta P$

Изменение давления $\Delta P$ рассчитывается по формуле:

$\Delta P = \rho \cdot g \cdot h$

Для расчетов необходимо принять справочные значения для плотности воздуха у поверхности Земли ($\rho$) и ускорения свободного падения ($g$), так как они не указаны в условии задачи:

$\rho \approx 1.29$ кг/м³ (стандартная плотность воздуха при нормальных условиях)

$g \approx 9.8$ м/с² (стандартное ускорение свободного падения)

Сначала вычислим величину, на которую уменьшится давление:

$\Delta P = 1.29 \text{ кг/м³} \cdot 9.8 \text{ м/с²} \cdot 540 \text{ м} = 6826.68 \text{ Па}$

Теперь найдем искомое давление на вершине башни:

$P = 100641 \text{ Па} - 6826.68 \text{ Па} = 93814.32 \text{ Па}$

Поскольку в расчете использовались приблизительные значения $\rho$ и $g$, а также было сделано допущение о постоянстве плотности воздуха, результат целесообразно округлить. Округлим до целого числа.

$P \approx 93814 \text{ Па}$

Ответ: давление на уровне высоты Останкинской телевизионной башни равно приблизительно $93814$ Па.

25.41* [581*] Согласно показаниям барометра, давление у подножия горы равно 98 642 Па, а на её вершине – 90 317 Па. Используя эти данные, определите высоту горы.¹

Дано:

Давление у подножия горы $p_1 = 98642$ Па

Давление на вершине горы $p_2 = 90317$ Па

Все данные представлены в системе СИ.

Для решения задачи необходимо использовать справочные данные и сделать допущения:

• Ускорение свободного падения $g \approx 9.81$ м/с²
• Универсальная газовая постоянная $R \approx 8.314$ Дж/(моль·К)
• Средняя молярная масса воздуха $M \approx 0.029$ кг/моль
• Предполагается, что температура воздуха $T$ постоянна по всей высоте горы (модель изотермической атмосферы). Примем стандартное значение температуры на уровне моря $t = 15$ °C, что соответствует абсолютной температуре $T = 15 + 273.15 = 288.15$ К.

Найти:

Высоту горы $h$.

Решение:

Зависимость атмосферного давления от высоты в модели изотермической атмосферы описывается барометрической формулой:

$p(h) = p_0 e^{-\frac{Mgh}{RT}}$

где $p(h)$ — давление на высоте $h$, $p_0$ — давление на начальной высоте ($h=0$), $M$ — молярная масса воздуха, $g$ — ускорение свободного падения, $R$ — универсальная газовая постоянная, а $T$ — абсолютная температура воздуха.

В нашем случае за начальную высоту ($h=0$) примем подножие горы, тогда $p_0 = p_1$. Давление на вершине горы на высоте $h$ будет равно $p_2$. Таким образом, формула примет вид:

$p_2 = p_1 e^{-\frac{Mgh}{RT}}$

Чтобы найти высоту горы $h$, необходимо выразить ее из этого уравнения. Для этого разделим обе части на $p_1$:

$\frac{p_2}{p_1} = e^{-\frac{Mgh}{RT}}$

Далее, возьмем натуральный логарифм от обеих частей уравнения:

$\ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right) = \ln\left(e^{-\frac{Mgh}{RT}}\right)$

$\ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right) = -\frac{Mgh}{RT}$

Используя свойство логарифма $\ln(a/b) = -\ln(b/a)$, можем переписать уравнение:

$-\ln\left(\frac{p_1}{p_2}\right) = -\frac{Mgh}{RT}$

$\ln\left(\frac{p_1}{p_2}\right) = \frac{Mgh}{RT}$

Теперь выразим высоту $h$:

$h = \frac{RT}{Mg} \ln\left(\frac{p_1}{p_2}\right)$

Подставим известные значения в формулу:

$h = \frac{8.314 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 288.15 \text{ К}}{0.029 \frac{\text{кг}}{\text{моль}} \cdot 9.81 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} \ln\left(\frac{98642 \text{ Па}}{90317 \text{ Па}}\right)$

Выполним вычисления:

$h \approx \frac{2394.3}{0.28449} \ln(1.09217)$

$h \approx 8416 \cdot 0.08818$

$h \approx 742.1$ м

Округлив результат до целого числа, получаем искомую высоту горы.

Ответ: высота горы приблизительно равна 742 м.

25.42* [582] Первый в мире выход из космического корабля в космическое пространство совершил А. Леонов. Давление в скафандре космонавта составляло 0,4 нормального атмосферного давления. Определите числовое значение этого давления.

Дано

Давление в скафандре: $p = 0,4 \cdot p_н$

Нормальное атмосферное давление: $p_н = 101325 \text{ Па}$

Найти:

$p$

Решение

Для определения численного значения давления в скафандре ($p$) необходимо использовать его соотношение с нормальным атмосферным давлением ($p_н$).

Нормальное атмосферное давление — это стандартная физическая величина, равная $101325$ Паскалей (Па).

Согласно условию задачи, давление в скафандре составляет 0,4 от нормального атмосферного давления. Запишем это в виде формулы:

$p = 0,4 \cdot p_н$

Теперь подставим числовое значение нормального атмосферного давления в эту формулу и выполним расчет:

$p = 0,4 \cdot 101325 \text{ Па} = 40530 \text{ Па}$

Таким образом, численное значение давления в скафандре космонавта составляло $40530$ Па. Это значение также можно представить как $40,53$ кПа.

Ответ: $40530 \text{ Па}$.

26.1 [583] Будут ли действовать в безвоздушном пространстве поршневые жидкостные насосы?

26.1 [583] Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть принцип действия поршневого жидкостного насоса. Его работа в земных условиях основана на использовании атмосферного давления. Когда поршень движется вверх, объем камеры насоса увеличивается, а давление в ней падает. Внешнее атмосферное давление, которое действует на поверхность жидкости в источнике (например, в резервуаре или колодце), становится значительно больше, чем давление внутри насоса. Эта разница давлений заставляет жидкость подниматься по всасывающей трубе и заполнять камеру насоса.

В безвоздушном пространстве (вакууме) атмосферное давление отсутствует. Это означает, что нет внешней силы, которая могла бы "затолкнуть" жидкость в насос, даже если поршень создаст внутри полное разрежение. Давление на поверхность жидкости в источнике будет равно нулю (или пренебрежимо мало), и разницы давлений, необходимой для всасывания, не возникнет. Следовательно, насос не сможет закачать в себя жидкость.

Ответ: Нет, в безвоздушном пространстве поршневые жидкостные насосы, принцип действия которых основан на всасывании за счет атмосферного давления, работать не будут. Для их функционирования необходим перепад давлений между внешней средой и внутренней полостью насоса, который на Земле создается благодаря атмосферному давлению.

26.2 [584] Почему у жидкостных и газовых насосов поршень должен плотно прилегать к стенкам трубки насоса?

26.2 [584]

Работа жидкостных и газовых насосов основана на создании разности давлений с помощью движущегося поршня. Чтобы насос функционировал эффективно, поршень должен плотно прилегать к стенкам трубки (цилиндра). Это связано с двумя основными этапами работы насоса: всасыванием и нагнетанием.

1. Этап всасывания. Когда поршень движется, увеличивая объем рабочей камеры насоса, давление в этой камере падает и становится ниже внешнего (атмосферного) давления. Благодаря этой разнице давлений жидкость или газ засасывается в насос через впускной клапан. Если между поршнем и стенками трубки будет зазор, то вещество из области высокого давления (например, воздух из атмосферы или газ с другой стороны поршня) будет просачиваться через этот зазор в область низкого давления. Это не позволит создать необходимое разрежение, и процесс всасывания будет неэффективным или невозможным.

2. Этап нагнетания. Когда поршень движется в обратном направлении, он уменьшает объем рабочей камеры, сжимая находящуюся в ней жидкость или газ. Давление в камере резко возрастает. Это высокое давление закрывает впускной клапан и открывает выпускной, через который вещество выталкивается из насоса. При наличии зазора между поршнем и стенками сжимаемое вещество будет просто перетекать обратно в область за поршнем, вместо того чтобы выталкиваться наружу. В результате насос не сможет создать необходимое давление для нагнетания.

Таким образом, плотное прилегание поршня является ключевым условием для создания и поддержания необходимой разности давлений $ΔP$ между двумя сторонами поршня, что обеспечивает как всасывание, так и нагнетание перекачиваемой среды.

Ответ: Поршень в жидкостных и газовых насосах должен плотно прилегать к стенкам трубки для того, чтобы герметично разделять области низкого и высокого давления, которые создаются при его движении. Это предотвращает утечки перекачиваемой среды (жидкости или газа) между полостями насоса и позволяет эффективно создавать сначала разрежение для всасывания, а затем высокое давление для нагнетания.

26.3 [585] Почему при нормальном атмосферном давлении вода за поршнем всасывающего насоса может быть поднята не более чем на 10,3 м?

Работа всасывающего насоса основана на действии атмосферного давления. Когда поршень насоса поднимается, под ним создается разреженное пространство (в идеальном случае — вакуум). Атмосферное давление, действующее на поверхность воды в источнике (например, в колодце), выталкивает воду вверх по трубе в область пониженного давления.

Вода будет подниматься до тех пор, пока давление, создаваемое столбом поднявшейся воды (гидростатическое давление), не уравновесит внешнее атмосферное давление. Максимальная высота подъема воды достигается в теоретическом случае, когда давление под поршнем равно нулю. В этой ситуации гидростатическое давление столба воды полностью уравновешивает атмосферное давление.

Рассчитаем эту максимальную высоту.

Дано:

Найти:

Решение:

Гидростатическое давление столба жидкости определяется по формуле: $p_{гидр} = \rho \cdot g \cdot h$

В предельном случае, когда вода поднята на максимальную высоту $h_{max}$, ее гидростатическое давление равно атмосферному давлению: $p_{атм} = p_{гидр}$

Следовательно, мы можем записать: $p_{атм} = \rho \cdot g \cdot h_{max}$

Из этого уравнения выразим максимальную высоту подъема воды $h_{max}$: $h_{max} = \frac{p_{атм}}{\rho \cdot g}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ: $h_{max} = \frac{101325 \text{ Па}}{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2} = \frac{101325}{9800} \text{ м} \approx 10,34 \text{ м}$

Полученное теоретическое значение составляет примерно 10,3 м. На практике создать идеальный вакуум под поршнем невозможно, кроме того, над водой в трубе будет присутствовать насыщенный пар воды, который также создает давление. Поэтому реальная высота подъема всегда будет несколько меньше этого теоретического предела. Таким образом, атмосферное давление не в состоянии поднять столб воды на высоту, превышающую ~10,3 м.

Ответ: Подъем воды во всасывающем насосе происходит за счет силы атмосферного давления, действующего на открытую поверхность воды. Эта сила может уравновесить давление столба воды высотой не более чем ~10,3 м. При большей высоте гидростатическое давление столба воды превысит атмосферное, и подъем воды прекратится. Поэтому при нормальном атмосферном давлении вода за поршнем всасывающего насоса не может быть поднята более чем на 10,3 м.

26.4 [586] При нормальном атмосферном давлении вода за поршнем всасывающего насоса поднимается не более чем на 10,3 м. На какую высоту при всех равных условиях поднимается за поршнем нефть?

Дано:

Высота подъема воды, $h_{воды} = 10,3 \text{ м}$
Плотность воды, $\rho_{воды} \approx 1000 \text{ кг/м}^3$ (табличное значение)
Плотность нефти, $\rho_{нефти} \approx 800 \text{ кг/м}^3$ (среднее табличное значение)

Найти:

$h_{нефти}$ — ?

Решение:

Работа всасывающего насоса основана на том, что атмосферное давление выталкивает жидкость вверх по трубе, в которой поршень создает разрежение. Максимальная высота подъема жидкости достигается в тот момент, когда давление столба этой жидкости становится равным внешнему атмосферному давлению.

Давление столба жидкости определяется по формуле гидростатического давления:
$p = \rho \cdot g \cdot h$
где $\rho$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения, $h$ — высота столба жидкости.

При нормальном атмосферном давлении $p_{атм}$ для воды справедливо равенство:
$p_{атм} = \rho_{воды} \cdot g \cdot h_{воды}$

Для нефти при тех же условиях (т.е. при том же атмосферном давлении) справедливо аналогичное равенство:
$p_{атм} = \rho_{нефти} \cdot g \cdot h_{нефти}$

Так как левые части обоих уравнений равны, мы можем приравнять их правые части:
$\rho_{воды} \cdot g \cdot h_{воды} = \rho_{нефти} \cdot g \cdot h_{нефти}$

Ускорение свободного падения $g$ присутствует в обеих частях уравнения и может быть сокращено. В результате получаем, что максимальные высоты подъема жидкостей обратно пропорциональны их плотностям:
$\rho_{воды} \cdot h_{воды} = \rho_{нефти} \cdot h_{нефти}$

Из этого соотношения выразим искомую высоту подъема нефти $h_{нефти}$:
$h_{нефти} = h_{воды} \cdot \frac{\rho_{воды}}{\rho_{нефти}}$

Теперь подставим числовые значения. Плотность воды $\rho_{воды}$ примем равной $1000 \text{ кг/м}^3$, а среднюю плотность нефти $\rho_{нефти}$ — $800 \text{ кг/м}^3$.
$h_{нефти} = 10,3 \text{ м} \cdot \frac{1000 \text{ кг/м}^3}{800 \text{ кг/м}^3} = 10,3 \text{ м} \cdot 1,25 = 12,875 \text{ м}$

Поскольку нефть менее плотная, чем вода, она поднимается на большую высоту. Округлим полученное значение до десятых, чтобы соответствовать точности данных в условии задачи.

Ответ: при всех равных условиях нефть поднимется за поршнем на высоту $12,9$ м.

26.5 [587] Куда движется поршень насоса в ситуации, изображённой на рисунке III-71?

Рис. III-71

Решение

На рисунке изображена схема поршневого насоса. Система состоит из цилиндра, поршня и двух клапанов: впускного (справа) и выпускного (слева). Клапаны работают автоматически в зависимости от разности давлений.

В ситуации, показанной на рисунке, мы видим, что правый клапан открыт, а левый клапан закрыт. Открытое состояние правого (впускного) клапана позволяет жидкости или газу поступать в рабочую камеру под поршнем. Закрытое состояние левого (выпускного) клапана предотвращает выход вещества из камеры.

Такая работа клапанов соответствует такту всасывания. Чтобы вещество засасывалось в камеру, объем этой камеры должен увеличиваться. Увеличение объема под поршнем происходит, когда поршень движется вверх. При движении поршня вверх давление под ним падает и становится ниже давления в подводящей трубе, что заставляет впускной клапан открыться. Одновременно давление под поршнем оказывается ниже, чем в отводящей трубе, поэтому выпускной клапан остается плотно закрытым.

Следовательно, на основании положения клапанов можно заключить, что поршень движется вверх.

Ответ: поршень движется вверх.

26.6 [588] На рисунке III-72 изображена схема насоса, откачивающего воздух. Куда легче двигать поршень: вверх или вниз? Почему? (Вес поршня со штоком и трение не учитывайте.)

Рис. III-72

Для ответа на этот вопрос проанализируем силы, действующие на поршень при его движении вверх и вниз. По условию, весом поршня со штоком и трением можно пренебречь. Силы, которые мы будем рассматривать, создаются давлением воздуха.

Движение поршня вверх (ход всасывания)

Когда поршень движется вверх, объем под ним увеличивается, а давление воздуха в этом объеме падает. Как только давление под поршнем становится меньше, чем давление воздуха в откачиваемом сосуде (под колпаком), правый клапан (со стороны сосуда) открывается, и воздух из сосуда начинает перетекать в цилиндр насоса. Левый (выпускной) клапан при этом закрыт, так как давление снаружи (атмосферное) значительно больше, чем под поршнем.

На поршень действуют две основные силы давления:
1. Сверху – сила атмосферного давления, направленная вниз: $F_{сверху} = p_{атм} \cdot S$, где $p_{атм}$ – атмосферное давление, а $S$ – площадь поршня.
2. Снизу – сила давления разреженного воздуха, поступающего из сосуда, направленная вверх: $F_{снизу} = p_{сосуд} \cdot S$, где $p_{сосуд}$ – давление в откачиваемом сосуде.

Поскольку насос откачивает воздух, давление в сосуде $p_{сосуд}$ всегда меньше атмосферного $p_{атм}$. Следовательно, сила, действующая сверху, больше силы, действующей снизу. Результирующая сила давления направлена вниз. Чтобы двигать поршень вверх, необходимо приложить внешнюю силу, направленную вверх и равную по модулю разности этих сил:
$F_{вверх} = F_{сверху} - F_{снизу} = (p_{атм} - p_{сосуд}) \cdot S$.
Эту силу необходимо прикладывать на протяжении всего хода поршня вверх.

Движение поршня вниз (ход выталкивания)

Когда поршень движется вниз, объем под ним уменьшается. Давление воздуха, запертого под поршнем, начинает расти. Это приводит к закрытию правого клапана. Движение вниз можно разделить на две фазы.

Фаза 1: Сжатие. Пока поршень движется вниз, давление под ним $p_{цилиндр}$ растет, но остается меньше атмосферного давления $p_{атм}$. В этой фазе на поршень по-прежнему действует сила атмосферного давления сверху ($F_{сверху} = p_{атм} \cdot S$) и сила давления сжимаемого воздуха снизу ($F_{снизу} = p_{цилиндр} \cdot S$). Так как $p_{атм} > p_{цилиндр}$, результирующая сила давления $(F_{сверху} - F_{снизу})$ направлена вниз и фактически помогает движению поршня. Внешнее усилие для движения вниз на этом этапе не требуется.

Фаза 2: Выталкивание. Когда давление под поршнем $p_{цилиндр}$ достигает и превышает атмосферное давление $p_{атм}$, открывается левый (выпускной) клапан. Воздух из цилиндра начинает выходить в атмосферу. Чтобы продолжать движение поршня вниз и выталкивать воздух, теперь необходимо приложить внешнюю силу, направленную вниз. Эта сила должна преодолеть избыточное давление воздуха под поршнем:
$F_{вниз} = (p_{цилиндр} - p_{атм}) \cdot S$.
Эта сила требуется только на заключительной части хода поршня вниз.

Сравнивая два процесса, мы видим, что при движении вверх необходимо постоянно прикладывать силу, чтобы преодолеть разность между атмосферным давлением и пониженным давлением в сосуде. При движении вниз, наоборот, атмосферное давление помогает движению на начальном этапе, и только в конце хода требуется приложить усилие для выталкивания сжатого воздуха. Поэтому двигать поршень вниз значительно легче, чем вверх.

Ответ: Двигать поршень легче вниз. При движении вверх необходимо преодолевать силу атмосферного давления в течение всего хода. При движении вниз атмосферное давление, наоборот, помогает движению на начальном этапе сжатия воздуха, и только в конце хода требуется приложить усилие, чтобы вытолкнуть воздух из цилиндра.