Страница 87 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

25.13 [553^o] Вода из верхней пробирки (рис. III-56) выливается. Почему при этом внутренняя пробирка поднимается кверху?

Рис. III-56

Решение

В начальном положении, показанном на рисунке, внутренняя пробирка находится в состоянии равновесия. На неё действуют сила тяжести и сила давления столба воды из внешней пробирки, которые направлены вниз. Вверх на неё действуют выталкивающая сила (сила Архимеда) и сила давления газа (воздуха и паров воды), который заперт внутри неё.

Когда вода из верхней (внешней) пробирки выливается, уровень воды в ней понижается. Это ключевой момент для понимания явления.

Понижение уровня воды во внешней пробирке приводит к двум важным последствиям:

1. Уменьшается высота столба жидкости над внутренней пробиркой. Гидростатическое давление, которое создаёт столб жидкости, прямо пропорционально его высоте ($P = \rho g h$). Следовательно, сила давления, действующая на дно (в данном случае — верхнюю часть) внутренней пробирки и направленная вниз, значительно уменьшается.

2. Сила давления газа, запертого во внутренней пробирке, направлена вверх. При уменьшении внешнего давления (из-за понижения столба воды) нарушается первоначальное равновесие сил. Силы, действующие на пробирку вверх, начинают преобладать над силами, действующими вниз.

В результате возникает результирующая сила, направленная вертикально вверх, которая и заставляет внутреннюю пробирку подниматься.

Изображенные на рисунке пузырьки указывают на дополнительный эффект: падение давления над поверхностью воды во внутренней пробирке приводит к тому, что вода в ней начинает кипеть при более низкой температуре (возможно, даже при комнатной). Образующийся водяной пар вытесняет воду из внутренней пробирки. Замещение относительно тяжелой воды легким паром приводит к уменьшению общего веса системы «пробирка + содержимое», что ещё больше способствует её всплытию.

Ответ: Когда вода выливается из верхней (внешней) пробирки, уменьшается высота столба воды, который давит на внутреннюю пробирку сверху. Из-за этого уменьшается направленная вниз сила гидростатического давления. Сила давления газа, запертого внутри малой пробирки и направленная вверх, становится больше, чем сумма силы тяжести пробирки и силы внешнего давления воды. В результате этого нарушения равновесия внутренняя пробирка начинает подниматься вверх.

25.14⁰ [554⁰] Сосуд «наказанное любопытство» устроен так: в дне сосуда проделаны узкие отверстия. Если сосуд наполнить водой и закрыть пробкой, вода из сосуда через отверстия не выливается. Если открыть пробку, то вода потечёт из всех отверстий в дне сосуда. Объясните почему.

Данное явление объясняется взаимодействием атмосферного давления, гидростатического давления и сил поверхностного натяжения воды.

Решение

Рассмотрим две ситуации:

1. Сосуд закрыт пробкой

   Когда сосуд плотно закрыт пробкой, на поверхность воды в узких отверстиях на дне действует атмосферное давление $p_{атм}$, направленное вверх. Кроме того, из-за того что отверстия узкие, значительную роль играют силы поверхностного натяжения. Молекулы воды на границе с воздухом в отверстии образуют своего рода упругую плёнку (мениск), которая препятствует вытеканию воды. Эта сила также удерживает воду в сосуде.

   Давление со стороны воды на дне сосуда складывается из двух величин: гидростатического давления столба воды $p_{гидр} = \rho g h$ (где $\rho$ — плотность воды, $g$ — ускорение свободного падения, $h$ — высота столба воды) и давления воздуха $p_{воздуха}$, который находится в замкнутом пространстве между пробкой и поверхностью воды.

   Если бы небольшое количество воды вытекло из сосуда, объём, занимаемый запертым воздухом, увеличился бы. Согласно закону Бойля-Мариотта, при увеличении объёма газа его давление падает. Таким образом, давление $p_{воздуха}$ стало бы меньше атмосферного. В результате устанавливается равновесие: сумма давления запертого воздуха и гидростатического давления уравновешивается внешним атмосферным давлением и силами поверхностного натяжения. Условие невытекания воды: $p_{воздуха} + \rho g h \le p_{атм} + p_{пов}$, где $p_{пов}$ — добавочное давление, создаваемое силами поверхностного натяжения. Так как $p_{воздуха}$ становится меньше $p_{атм}$, это условие легко выполняется.

2. Сосуд открыт

   Когда мы убираем пробку, пространство над водой в сосуде сообщается с атмосферой. Теперь давление на поверхность воды как снаружи, так и внутри сосуда одинаково и равно атмосферному ($p_{атм}$).

   Давление у дна сосуда изнутри теперь равно сумме атмосферного давления и гидростатического давления столба воды: $p_{внутри} = p_{атм} + \rho g h$.

   Давление у дна снаружи по-прежнему равно атмосферному: $p_{снаружи} = p_{атм}$.

   Таким образом, возникает разность давлений $\Delta p = p_{внутри} - p_{снаружи} = (p_{атм} + \rho g h) - p_{атм} = \rho g h$. Это избыточное давление направлено из сосуда наружу. Оно оказывается достаточным, чтобы преодолеть удерживающую силу поверхностного натяжения, и вода начинает вытекать из отверстий.

Ответ: Когда сосуд закрыт, суммарное давление изнутри (пониженное давление воздуха + гидростатическое) уравновешивается внешним атмосферным давлением и силами поверхностного натяжения, поэтому вода не вытекает. Когда сосуд открыт, давление на поверхность воды внутри становится равным атмосферному, и общее давление изнутри ($p_{атм} + \rho g h$) превышает внешнее атмосферное давление, что заставляет воду вытекать под действием избыточного гидростатического давления.

25.15 [555] Удастся ли опыт Торричелли, если барометрическую трубку с ртутью поставить открытым концом не в чашку с ртутью, а в чашку с водой?

Нет, в такой постановке опыт Торричелли не удастся. Суть опыта Торричелли заключается в уравновешивании столба жидкости (в оригинале — ртути) атмосферным давлением. Для того чтобы это равновесие было достигнуто и его можно было измерить, необходимо, чтобы жидкость в барометрической трубке и в сосуде, куда она опускается, была одной и той же.

В предложенном варианте эксперимента мы имеем дело с двумя разными, практически несмешивающимися жидкостями: ртутью в трубке и водой в чашке. Ключевым фактором, определяющим исход, является их плотность. Плотность ртути ($ \rho_{рт} \approx 13600 $ кг/м³) значительно, почти в 14 раз, больше плотности воды ($ \rho_{в} \approx 1000 $ кг/м³).

Когда открытый конец трубки, заполненной ртутью, погружают в чашку с водой, произойдет следующее:

• Под действием силы тяжести столб ртути в трубке будет создавать на нижнем уровне большое гидростатическое давление.
• Ртуть, как более плотная жидкость, начнет вытекать из трубки и опускаться на дно чашки, вытесняя воду.
• Атмосферное давление, которое действует на поверхность воды в чашке, не сможет удержать столб ртути. Давление, создаваемое столбом ртути стандартной длины (около 1 м), намного превышает атмосферное давление. Нормальное атмосферное давление способно уравновесить столб ртути высотой около 760 мм, а столб воды — высотой около 10,3 м.
• В результате этого процесса вся ртуть вытечет из трубки и соберется на дне чашки, а ее место в трубке займет вода.

Таким образом, мы не увидим формирования "торричеллиевой пустоты" и стабильного столба ртути, высота которого позволила бы измерить атмосферное давление. Вместо этого мы будем наблюдать простое гидростатическое явление: более плотная жидкость опускается вниз под действием гравитации, а менее плотная поднимается вверх.

Ответ: Нет, опыт не удастся. Ртуть, будучи значительно плотнее воды, просто вытечет из трубки в чашку и опустится на дно, а ее место в трубке займет вода.

25.16 [556] Почему в жидкостных барометрах используют ртуть, а не воду?

В жидкостных барометрах используют ртуть, а не воду, по нескольким ключевым причинам, связанным с физическими свойствами этих жидкостей. Основная причина — это высокая плотность ртути.

Для наглядности сравним, какой высоты был бы столб воды и столб ртути, способный уравновесить нормальное атмосферное давление. Принцип работы жидкостного барометра заключается в том, что давление, создаваемое столбом жидкости, уравновешивает атмосферное давление. Давление столба жидкости рассчитывается по формуле $P = \rho \cdot g \cdot h$, где $\rho$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения, а $h$ — высота столба жидкости.

Дано:

Найти:

Решение:

Чтобы найти высоту столба жидкости, которая уравновешивает атмосферное давление, воспользуемся формулой гидростатического давления, приравняв его к атмосферному: $P_a = \rho \cdot g \cdot h$.

Отсюда высота столба жидкости $h$ равна: $h = \frac{P_a}{\rho \cdot g}$

1. Рассчитаем высоту для ртутного барометра:

$h_{рт} = \frac{101325 \text{ Па}}{13600 \text{ кг/м}^3 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2} \approx 0.76 \text{ м}$

Высота столба ртути составляет примерно 760 мм. Барометр такой высоты (менее 1 метра) вполне удобен для использования в лабораториях и помещениях.

2. Рассчитаем высоту для водяного барометра:

$h_{в} = \frac{101325 \text{ Па}}{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2} \approx 10.34 \text{ м}$

Высота столба воды составила бы более 10 метров. Такой прибор был бы чрезвычайно громоздким и непрактичным для использования. Его пришлось бы размещать на высоте нескольких этажей здания.

Помимо высокой плотности, у ртути есть и другие преимущества перед водой:

1. Низкое давление насыщенного пара. Пространство над столбом жидкости в трубке барометра (торричеллиева пустота) не является идеальным вакуумом, оно заполнено парами этой жидкости. Эти пары создают собственное давление, которое действует против атмосферного, внося погрешность в измерения. У воды давление насыщенного пара при комнатной температуре (около $2.3 \text{ кПа}$ при $20^\circ \text{C}$) значительно выше, чем у ртути (около $0.16 \text{ Па}$ при $20^\circ \text{C}$). Это означает, что водяной барометр давал бы существенную ошибку в измерениях, в то время как давление паров ртути настолько мало, что им можно пренебречь.

2. Смачивание. Вода хорошо смачивает стекло, из-за чего её поверхность в трубке (мениск) имеет вогнутую форму. Это затрудняет точное считывание уровня жидкости. Ртуть, наоборот, не смачивает стекло, её мениск выпуклый, что позволяет более точно определять высоту столба.

3. Температура замерзания. Вода замерзает при $0^\circ \text{C}$, что делает водяной барометр бесполезным при отрицательных температурах. Ртуть замерзает при гораздо более низкой температуре ($-38.83^\circ \text{C}$), что позволяет использовать её в большинстве климатических условий.

Ответ: Ртуть используют в барометрах, а не воду, в первую очередь из-за её очень высокой плотности (в 13.6 раз выше, чем у воды), что позволяет создавать компактные приборы высотой около 76 см, в то время как водяной барометр имел бы высоту более 10 метров. Дополнительными важными преимуществами ртути являются её крайне низкое давление насыщенных паров (что повышает точность измерений), тот факт, что она не смачивает стекло (что упрощает считывание показаний), и низкая температура замерзания (что расширяет диапазон рабочих температур).

25.17° [557°] Под колоколом воздушного насоса (рис. III-57) находятся закрытый и открытый сосуды, соединённые стеклянной трубкой. В закрытом сосуде находится немного воды. Что произойдёт, если воздух откачать из-под колокола воздушного насоса? если вновь впустить воздух под колокол насоса?

Рис. III-57

Что произойдёт, если воздух откачать из-под колокола воздушного насоса?

В начальном состоянии давление воздуха под колоколом, давление на поверхность воды в открытом сосуде и давление газовой смеси (воздуха и насыщенных паров воды) в закрытом сосуде примерно одинаковы и равны атмосферному давлению. Система находится в равновесии.

Когда с помощью насоса начинают откачивать воздух, давление под колоколом ($P_{колокол}$) начинает уменьшаться. Давление в герметично закрытом сосуде ($P_{сосуд}$), создаваемое находящимся там газом, остаётся прежним. В результате возникает разность давлений $\Delta P = P_{сосуд} - P_{колокол}$, где $P_{сосуд} > P_{колокол}$.

Эта разность давлений создаёт силу, действующую на поверхность воды в закрытом сосуде. Избыточное давление выталкивает воду из закрытого сосуда по соединительной стеклянной трубке в открытый сосуд.

Кроме того, по мере уменьшения давления под колоколом снижается и температура кипения воды. Если откачать воздух до давления, которое станет ниже давления насыщенных паров воды при комнатной температуре (например, при 20°C это давление составляет примерно 2,3 кПа), то вода в открытом сосуде начнёт бурно кипеть.

Ответ: При откачивании воздуха из-под колокола вода будет перетекать из закрытого сосуда в открытый. При достаточно сильном разрежении вода закипит при комнатной температуре.

Что произойдёт, если вновь впустить воздух под колокол насоса?

К моменту начала впускания воздуха обратно, часть воды перетекла в открытый сосуд. Это привело к увеличению объёма, занимаемого газом в закрытом сосуде, и, согласно закону Бойля-Мариотта, к уменьшению его давления $P_{сосуд}$. В то же время давление под колоколом $P_{колокол}$ было сильно понижено в результате откачки.

Когда воздух впускают под колокол, давление $P_{колокол}$ начинает расти и стремится к атмосферному. Довольно быстро оно превысит пониженное давление $P_{сосуд}$ в закрытом сосуде.

Теперь уже давление под колоколом, действующее на поверхность воды в открытом сосуде, будет больше, чем давление газа в закрытом сосуде. Эта новая разность давлений заставит воду двигаться в обратном направлении: из открытого сосуда через трубку обратно в закрытый сосуд.

Если вода до этого кипела, то с ростом давления кипение немедленно прекратится. В конечном итоге система вернётся в состояние, близкое к первоначальному.

Ответ: При впускании воздуха под колокол вода из открытого сосуда будет перетекать обратно в закрытый.

25.18 [558*] Высоту какого столба жидкости следует брать для расчёта давления жидкости на дно сосуда (рис. III-58)? Объясните почему.

Рис. III-58

Решение

Для расчёта давления жидкости на дно сосуда следует брать высоту столба жидкости, которая измеряется от дна сосуда до свободной поверхности жидкости в широкой части сосуда.

Объяснение основывается на определении гидростатического давления. Гидростатическое давление на некоторой глубине создается весом столба жидкости, находящегося над этой глубиной. Формула для расчёта гидростатического давления имеет вид:

$p = \rho g h$

где $p$ – давление, $\rho$ – плотность жидкости, $g$ – ускорение свободного падения, а $h$ – высота столба жидкости.

В данной задаче (рис. III-58) на дно сосуда давит столб жидкости, высота которого равна уровню жидкости в широкой части сосуда. Жидкость, находящаяся в узкой перевернутой трубке на большей высоте, не оказывает дополнительного давления на дно сосуда, так как её вес компенсируется силой натяжения подвеса, удерживающего трубку. То есть, вес этого "поднятого" столба жидкости не передаётся на дно. Давление на любой горизонтальной плоскости внутри жидкости, в том числе и на дне, определяется высотой жидкости над этой плоскостью до её свободной поверхности.

Ответ: для расчёта давления на дно сосуда следует брать высоту столба жидкости в широкой части сосуда, то есть расстояние от дна до уровня свободной поверхности жидкости.

25.19* [559*] Какой высоты столб жидкости следует учитывать при расчёте давления жидкости на дно сосуда (рис. III-59)?

Рис. III-59

Решение

Давление, которое жидкость оказывает на дно сосуда, является гидростатическим давлением. Оно определяется по формуле:

$p = \rho \cdot g \cdot h$

где $\rho$ – плотность жидкости, $g$ – ускорение свободного падения, а $h$ – высота столба жидкости.

Ключевым моментом для определения правильной высоты $h$ является применение закона Паскаля. Этот закон гласит, что давление, производимое на жидкость или газ, передаётся в любую точку без изменений во всех направлениях. Отсюда следует, что давление на любой глубине в однородной жидкости, находящейся в покое, одинаково.

Дно сосуда находится на одном и том же горизонтальном уровне. Следовательно, давление во всех точках дна должно быть одинаковым. Это давление определяется высотой столба жидкости над этим уровнем.

Свободная поверхность жидкости, на которую действует атмосферное давление, находится в широкой части сосуда. Именно от этой поверхности следует отсчитывать высоту $h$ до дна.

Наличие перевёрнутой пробирки с более высоким уровнем жидкости внутри не влияет на давление на дно основного сосуда. Сила тяжести более высокого столба жидкости в пробирке уравновешивается силой давления запертого воздуха (которое, очевидно, меньше атмосферного) и силой реакции со стороны крепления, удерживающего пробирку. Эти силы не действуют на дно широкого сосуда. Давление на дно под пробиркой точно такое же, как и в любой другой точке дна, и определяется высотой жидкости в широкой части.

Следовательно, для расчёта давления на дно сосуда необходимо использовать высоту столба жидкости, находящейся в широкой части сосуда.

Ответ: При расчёте давления жидкости на дно сосуда следует учитывать высоту столба жидкости, равную расстоянию от свободной поверхности жидкости в широкой части сосуда до дна.

25.20* [560*] Какой высоты столб жидкости следует учитывать при расчёте давления жидкости на дно сосуда (рис. III-60)? Почему?

Рис. III-60

При расчёте давления жидкости на дно сосуда следует учитывать полную вертикальную высоту столба жидкости, то есть расстояние от свободной поверхности жидкости до дна сосуда. На рисунке изображены сообщающиеся сосуды, и уровень жидкости в них устанавливается на одной и той же высоте.

Гидростатическое давление жидкости на дно сосуда вычисляется по формуле:

$p = \rho \cdot g \cdot h$

где $p$ – давление жидкости, $\rho$ – её плотность, $g$ – ускорение свободного падения, а $h$ – высота столба жидкости.

Почему?

Это следует из закона Паскаля, который гласит, что давление, производимое на жидкость в состоянии покоя, передаётся во все точки жидкости одинаково по всем направлениям. Давление на любой глубине в жидкости зависит только от высоты столба жидкости над этой точкой и не зависит от формы сосуда, в котором находится жидкость. Это явление известно как "гидростатический парадокс".

Несмотря на то, что в левой части сосуда жидкости по объёму и весу больше, чем в правой (если рассматривать столбы над одинаковой площадью дна), давление на дно в любой точке одинаково. Сила давления на дно ($F = p \cdot S$) компенсируется силами реакции со стороны стенок сосуда. Давление же как физическая величина ($p = F/S$) определяется исключительно высотой $h$.

Ответ: При расчёте давления жидкости на дно сосуда следует учитывать полную вертикальную высоту столба жидкости от её свободной поверхности до дна. Это связано с тем, что согласно закону Паскаля, гидростатическое давление на определённой глубине зависит только от высоты столба жидкости и её плотности, но не зависит от формы сосуда.