Страница 94 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

26.20 [601] Чему равно давление на ртуть на уровнях $a$ и $б$ (рис. III-82), если атмосферное давление нормальное?

Рис. III-82

Дано:

Найти:

$p_a$ — давление на уровне a

$p_б$ — давление на уровне б

Решение:

Давление на уровне а

Давление на уровне a ($p_a$) равно давлению в сосуде, к которому подключен манометр. Согласно закону Паскаля, давление на одном горизонтальном уровне в сообщающихся сосудах с однородной жидкостью одинаково. Рассмотрим горизонтальный уровень, соответствующий точке a.

Давление в правом колене на этом уровне равно $p_a$. Давление в левом колене на том же уровне складывается из атмосферного давления ($p_{атм}$) и гидростатического давления столба ртути ($p_{столба}$), высота которого равна разности уровней ртути в левом и правом коленах.

Вычислим эту разность уровней ($h_{разн}$):

$h_{разн} = y_1 - y_a = 0.3 \text{ м} - (-0.3 \text{ м}) = 0.6 \text{ м}$

Теперь найдем давление, создаваемое этим столбом ртути:

$p_{столба} = \rho_{рт} \cdot g \cdot h_{разн} = 13600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0.6 \text{ м} = 79968 \text{ Па}$

Так как уровень в открытом колене выше, давление в сосуде больше атмосферного. Давление на уровне а равно:

$p_a = p_{атм} + p_{столба} = 101325 \text{ Па} + 79968 \text{ Па} = 181293 \text{ Па}$

Выразим результат в килопаскалях для удобства: $p_a \approx 181.3 \text{ кПа}$.

Ответ: давление на уровне а равно $181293 \text{ Па}$ (приблизительно $181.3 \text{ кПа}$).

Давление на уровне б

Точка б находится глубже точки а в той же жидкости (ртути). Поэтому давление на уровне б ($p_б$) больше давления на уровне а ($p_a$) на величину гидростатического давления столба ртути между этими двумя уровнями.

Найдем высоту этого столба ртути ($h_{аб}$):

$h_{аб} = y_a - y_б = -0.3 \text{ м} - (-0.5 \text{ м}) = 0.2 \text{ м}$

Давление, создаваемое этим столбом ртути ($p_{аб}$), равно:

$p_{аб} = \rho_{рт} \cdot g \cdot h_{аб} = 13600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0.2 \text{ м} = 26656 \text{ Па}$

Теперь найдем полное давление на уровне б:

$p_б = p_a + p_{аб} = 181293 \text{ Па} + 26656 \text{ Па} = 207949 \text{ Па}$

Выразим результат в килопаскалях: $p_б \approx 207.9 \text{ кПа}$.

Ответ: давление на уровне б равно $207949 \text{ Па}$ (приблизительно $207.9 \text{ кПа}$).

26.21* [602*] Чему равно давление на ртуть на уровнях a, б, в (рис. III-83), если атмосферное давление нормальное?

Рис. III-83

Дано:

Перевод в систему СИ:

Найти:

Решение:

a

Уровень 'a' является свободной поверхностью ртути в левом колене U-образной трубки, которое открыто в атмосферу. Следовательно, давление на этом уровне равно нормальному атмосферному давлению.

$p_a = p_{атм}$

В миллиметрах ртутного столба:

$p_a = 760 \text{ мм рт. ст.}$

В Паскалях (система СИ):

$p_a \approx 101325 \text{ Па} \approx 1.01 \times 10^5 \text{ Па}$.

Ответ: Давление на уровне 'a' равно $760 \text{ мм рт. ст.}$ или $\approx 1.01 \times 10^5 \text{ Па}$.

б

Уровень 'б' — это поверхность ртути в правом, запаянном колене. Давление на этом уровне $p_б$ создается газом, находящимся в колбе. Чтобы найти это давление, воспользуемся законом сообщающихся сосудов: давление на одном и том же горизонтальном уровне в покоящейся однородной жидкости одинаково. Рассмотрим горизонтальный уровень 'a' ($y=0$).

В левом колене на этом уровне давление равно атмосферному: $p_{левое} = p_{атм}$.

В правом колене на этом же уровне давление складывается из давления газа $p_б$ и гидростатического давления столба ртути высотой $\Delta h_{аб} = 100 \text{ мм}$, находящегося над этим уровнем.

$p_{правое} = p_б + \Delta p_{аб}$

Гидростатическое давление столба ртути высотой 100 мм равно $100 \text{ мм рт. ст.}$, то есть $\Delta p_{аб} = 100 \text{ мм рт. ст.}$

Приравнивая давления: $p_{атм} = p_б + \Delta p_{аб}$

Отсюда находим $p_б$:

$p_б = p_{атм} - \Delta p_{аб} = 760 \text{ мм рт. ст.} - 100 \text{ мм рт. ст.} = 660 \text{ мм рт. ст.}$

Переведем в Паскали. Давление столба ртути высотой $h = 0.66 \text{ м}$:

$p_б = \rho_{рт} \cdot g \cdot h = 13600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0.66 \text{ м} \approx 87965 \text{ Па} \approx 8.8 \times 10^4 \text{ Па}$.

Ответ: Давление на уровне 'б' равно $660 \text{ мм рт. ст.}$ или $\approx 8.8 \times 10^4 \text{ Па}$.

в

Уровень 'в' находится в левом, открытом колене на глубине $\Delta h_{ав} = 300 \text{ мм}$ относительно свободной поверхности 'a'. Давление на этом уровне $p_в$ складывается из атмосферного давления на поверхности 'a' и гидростатического давления столба ртути высотой $\Delta h_{ав}$.

$p_в = p_a + \Delta p_{ав}$

Гидростатическое давление столба ртути высотой 300 мм равно $300 \text{ мм рт. ст.}$, то есть $\Delta p_{ав} = 300 \text{ мм рт. ст.}$

$p_в = 760 \text{ мм рт. ст.} + 300 \text{ мм рт. ст.} = 1060 \text{ мм рт. ст.}$

Переведем в Паскали. Давление столба ртути высотой $h = 1.06 \text{ м}$:

$p_в = \rho_{рт} \cdot g \cdot h = 13600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 1.06 \text{ м} \approx 141277 \text{ Па} \approx 1.41 \times 10^5 \text{ Па}$.

Ответ: Давление на уровне 'в' равно $1060 \text{ мм рт. ст.}$ или $\approx 1.41 \times 10^5 \text{ Па}$.

26.22 [603] Чему равна цена деления шкалы манометра на рисунке III-84? Какое давление показывает манометр?

Поскольку изображение самого манометра (рисунок III-84) к вопросу не приложено, решение основано на наиболее вероятном изображении для данной задачи (задача №603 из сборника В.И. Лукашика, Е.В. Ивановой). На этом изображении представлен манометр со шкалой в технических атмосферах (ат).

Дано:

Манометр с показаниями согласно рисунку.

Единица измерения давления на шкале: техническая атмосфера (ат).

Найти:

Цену деления шкалы (ЦД); давление, которое показывает манометр ($p$).

Решение:

Решение задачи состоит из двух частей: сначала определим цену деления шкалы, а затем — показания прибора.

1. Для определения цены деления (ЦД) шкалы выберем два соседних оцифрованных штриха, например, «2» и «4». Разность значений между ними составляет $4 - 2 = 2$ ат.

Подсчитаем количество малых промежутков (делений) между этими штрихами — их 10. Цена деления равна отношению разности значений к количеству делений:

$ЦД = \frac{4 \text{ ат} - 2 \text{ ат}}{10} = \frac{2 \text{ ат}}{10} = 0.2 \text{ ат}$

2. Теперь определим показание манометра ($p$). Стрелка прибора указывает на 4-е деление после оцифрованного штриха «4».

Показание манометра можно рассчитать, прибавив к значению ближайшего предыдущего оцифрованного штриха («4») произведение числа делений после него (4) на цену деления (0.2 ат):

$p = 4 \text{ ат} + 4 \cdot ЦД = 4 \text{ ат} + 4 \cdot 0.2 \text{ ат} = 4 \text{ ат} + 0.8 \text{ ат} = 4.8 \text{ ат}$

Переведем полученное значение давления в единицы СИ (Паскали):

$p = 4.8 \text{ ат} \cdot 98066.5 \frac{\text{Па}}{\text{ат}} = 470719.2 \text{ Па} \approx 4.7 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Чему равна цена деления шкалы манометра на рисунке III-84?

Ответ: цена деления шкалы манометра равна 0.2 ат.

Какое давление показывает манометр?

Ответ: манометр показывает давление 4.8 ат, что составляет приблизительно $4.7 \cdot 10^5$ Па.

26.23* [604*] Каким будет показание манометра, изображённого на рисунке III-84, если его соединить с баллоном, давление газа в котором равно атмосферному?

$10^5\text{ Па}$

Рис. III-84

Дано:

Давление газа в баллоне $p_{газа}$ равно атмосферному давлению $p_{атм}$.

Найти:

Показание манометра $p_{м}$.

Решение:

Манометр, изображенный на рисунке, является техническим манометром, который измеряет избыточное (или манометрическое) давление. Избыточное давление – это разность между абсолютным давлением измеряемой среды ($p_{абс}$) и атмосферным давлением ($p_{атм}$), которое действует на прибор снаружи.

Формула для избыточного давления выглядит следующим образом: $p_{м} = p_{абс} - p_{атм}$

В данном случае манометр подключается к баллону с газом, следовательно, абсолютное давление равно давлению газа в баллоне: $p_{абс} = p_{газа}$.

По условию задачи, давление газа в баллоне равно атмосферному: $p_{газа} = p_{атм}$

Подставим это значение в формулу для манометрического давления: $p_{м} = p_{газа} - p_{атм} = p_{атм} - p_{атм} = 0$

Таким образом, когда давление в баллоне равно атмосферному, манометр не будет фиксировать избыточного давления, и его стрелка будет указывать на нулевую отметку шкалы.

Ответ: показание манометра будет равно 0.

27.1 [605] В какой воде и почему легче плавать: в морской или речной?

Решение

Плавать легче в морской воде. Это явление объясняется законом Архимеда и разницей в плотности морской и речной воды.

На любое тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила (сила Архимеда), направленная вертикально вверх. Величина этой силы, $F_A$, равна весу жидкости, вытесненной телом, и рассчитывается по формуле:

$F_A = \rho_ж \cdot g \cdot V_п$

где $\rho_ж$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения, а $V_п$ — объем погруженной части тела.

Морская вода является солевым раствором, поэтому её плотность выше, чем у пресной речной воды. Средняя плотность морской воды ($\rho_м$) составляет примерно $1025 \, \text{кг/м}^3$, в то время как плотность речной воды ($\rho_р$) близка к $1000 \, \text{кг/м}^3$.

Чтобы человек мог плавать, то есть держаться на поверхности, выталкивающая сила должна как минимум уравновешивать силу тяжести, действующую на человека ($mg$).

$F_A = mg$

Подставив формулу для силы Архимеда, получим:

$\rho_ж \cdot g \cdot V_п = mg$

Отсюда можно выразить объем тела, который должен быть погружен в воду, чтобы человек держался на плаву:

$V_п = \frac{m}{\rho_ж}$

Так как плотность морской воды больше плотности речной ($\rho_м > \rho_р$), для удержания на плаву одного и того же тела (с массой $m$) в морской воде потребуется погрузить меньший объем ($V_{п,м} < V_{п,р}$). Это означает, что в морской воде человек будет "сидеть" выше, большая часть его тела будет находиться над водой. Следовательно, для того чтобы держаться на плаву и плыть, потребуется прилагать меньше усилий.

Ответ: Легче плавать в морской воде. Это связано с тем, что плотность соленой морской воды выше плотности пресной речной. Согласно закону Архимеда, на тело в более плотной жидкости действует большая выталкивающая сила, что позволяет прилагать меньше усилий для удержания на поверхности воды.

27.2° [606°] К чашам весов подвешены два одинаковых железных шарика (рис. III-85).

Нарушится ли равновесие, если шарики опустить в жидкость? Ответ поясните.

Рис. III-85

Дано:

Два одинаковых железных шарика, следовательно, их массы и объемы равны: $m_1 = m_2 = m$, $V_1 = V_2 = V$.

Шарики опускают в две разные жидкости:

Жидкость 1: вода. Плотность воды в системе СИ: $\rho_1 = \rho_{воды} = 1000 \frac{кг}{м^3}$.

Жидкость 2: керосин. Плотность керосина в системе СИ: $\rho_2 = \rho_{керосина} \approx 800 \frac{кг}{м^3}$.

Найти:

Нарушится ли равновесие весов.

Решение:

Изначально весы находятся в равновесии, так как к их чашам подвешены два одинаковых железных шарика. Это означает, что силы тяжести, действующие на шарики, равны:

$P_1 = m g$ и $P_2 = m g$, следовательно, $P_1 = P_2$.

Когда шарики погружают в жидкости, на каждый из них начинает действовать выталкивающая сила (сила Архимеда), направленная вертикально вверх. Величина этой силы определяется по формуле:

$F_A = \rho_{ж} g V_{п.ч.т.}$

где $\rho_{ж}$ — плотность жидкости, а $V_{п.ч.т.}$ — объем погруженной части тела. Поскольку шарики погружены полностью, $V_{п.ч.т.} = V$, где $V$ — объем шарика.

Сила, с которой каждый шарик действует на свою чашу весов (его кажущийся вес), становится равной разности силы тяжести и выталкивающей силы.

Для шарика, погруженного в воду (левая чаша), эта сила равна:

$P'_1 = P_1 - F_{A1} = m g - \rho_{воды} g V$

Для шарика, погруженного в керосин (правая чаша), эта сила равна:

$P'_2 = P_2 - F_{A2} = m g - \rho_{керосина} g V$

Равновесие весов сохранится, если силы, действующие на чаши, останутся равными, то есть $P'_1 = P'_2$. Проверим это условие:

$m g - \rho_{воды} g V = m g - \rho_{керосина} g V$

Упростив выражение, получим:

$\rho_{воды} g V = \rho_{керосина} g V$

$\rho_{воды} = \rho_{керосина}$

Это равенство было бы верным, если бы плотности жидкостей были одинаковы. Однако, согласно справочным данным, плотность воды ($\rho_{воды} = 1000 \frac{кг}{м^3}$) больше плотности керосина ($\rho_{керосина} \approx 800 \frac{кг}{м^3}$).

$\rho_{воды} > \rho_{керосина}$

Из этого следует, что выталкивающая сила, действующая на шарик в воде, больше выталкивающей силы, действующей на шарик в керосине:

$F_{A1} > F_{A2}$

Поскольку из одинаковой силы тяжести $mg$ в первом случае вычитается большая величина ($F_{A1}$), чем во втором ($F_{A2}$), кажущийся вес шарика в воде будет меньше кажущегося веса шарика в керосине:

$P'_1 < P'_2$

В результате чаша весов с шариком в керосине (правая) будет испытывать большую силу и опустится вниз, а чаша с шариком в воде (левая) поднимется вверх.

Ответ: да, равновесие весов нарушится. Чаша с шариком, опущенным в керосин, перевесит чашу с шариком, опущенным в воду, так как выталкивающая сила в воде больше, чем в керосине.

27.3 [н] Девочке подарили два одинаковых резиновых шарика, надутых до одного и того же объёма. Один из шариков поднимался к потолку, а другой опускался на пол. Как вы объясните это различие?

27.3 [н]

Решение

На каждый шарик, находящийся в воздухе, действуют две основные силы, направленные по вертикали: сила тяжести $F_g$, направленная вниз, и выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_A$, направленная вверх.

Выталкивающая сила определяется по формуле $F_A = \rho_{возд} g V$, где $\rho_{возд}$ — плотность воздуха, $g$ — ускорение свободного падения, а $V$ — объём шарика. По условию, шарики имеют одинаковый объём, следовательно, действующие на них выталкивающие силы равны.

Сила тяжести $F_g$ складывается из веса резиновой оболочки $m_{об}$ и веса газа внутри шарика $m_{газа}$: $F_g = (m_{об} + m_{газа})g$. Масса газа выражается через его плотность $\rho_{газа}$ и объём $V$ как $m_{газа} = \rho_{газа} V$. Шарики одинаковые, значит, массы их оболочек $m_{об}$ также равны. Таким образом, сила тяжести, действующая на шарик, зависит от плотности газа, которым он наполнен: $F_g = (m_{об} + \rho_{газа} V)g$.

Поведение шарика зависит от соотношения этих двух сил.

В случае шарика, который поднимался к потолку, выталкивающая сила была больше силы тяжести: $F_A > F_g$.
Подставив выражения для сил, получаем: $\rho_{возд} g V > (m_{об} + \rho_{газа1} V)g$.
Это неравенство выполняется, если средняя плотность шарика (оболочка плюс газ) меньше плотности окружающего воздуха. Такое возможно, если шарик наполнен лёгким газом, плотность которого $\rho_{газа1}$ значительно меньше плотности воздуха $\rho_{возд}$. Примером такого газа является гелий.

В случае шарика, который опускался на пол, сила тяжести была больше выталкивающей силы: $F_g > F_A$.
Соответствующее неравенство: $(m_{об} + \rho_{газа2} V)g > \rho_{возд} g V$.
Это происходит, если шарик надут газом, плотность которого $\rho_{газа2}$ сопоставима с плотностью воздуха или больше неё (например, выдыхаемым человеком воздухом, который содержит углекислый газ и водяные пары, делающие его несколько плотнее). Если считать, что $\rho_{газа2} \approx \rho_{возд}$, то неравенство упрощается до $m_{об}g > 0$, что всегда верно. В этом случае дополнительный вес резиновой оболочки заставляет шарик падать.

Следовательно, причина различного поведения шариков кроется в том, что они были надуты разными газами.

Ответ: Различие в поведении шариков объясняется тем, что они наполнены разными газами. Шарик, который поднимается, наполнен газом, чья плотность меньше плотности воздуха (например, гелием), благодаря чему выталкивающая сила превосходит силу тяжести. Шарик, который падает, наполнен газом, чья плотность близка к плотности воздуха (например, обычным воздухом), и из-за веса резиновой оболочки его общая сила тяжести оказывается больше выталкивающей силы.