Страница 98 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

27.33 [628] Один брусок имеет размеры $2 \times 5 \times 10$ см, а соответствующие размеры другого бруска в 10 раз больше ($0,2 \times 0,5 \times 1$ м). Вычислите архимедовы силы, действующие на эти бруски при полном погружении их в пресную воду; в керосин.

Дано:

Размеры первого бруска: $a_1 = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$, $b_1 = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$, $c_1 = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$
Размеры второго бруска: $a_2 = 0.2 \text{ м}$, $b_2 = 0.5 \text{ м}$, $c_2 = 1 \text{ м}$
Плотность пресной воды: $\rho_{в} = 1000 \text{ кг/м}^3$
Плотность керосина: $\rho_{к} = 800 \text{ кг/м}^3$
Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8 \text{ Н/кг}$

Найти:

$F_{А1в}$ — сила Архимеда на 1-й брусок в воде;
$F_{А2в}$ — сила Архимеда на 2-й брусок в воде;
$F_{А1к}$ — сила Архимеда на 1-й брусок в керосине;
$F_{А2к}$ — сила Архимеда на 2-й брусок в керосине.

Решение:

Архимедова (выталкивающая) сила, действующая на полностью погруженное в жидкость тело, определяется по формуле: $F_A = \rho_ж g V_т$, где $\rho_ж$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения, а $V_т$ — объем погруженной части тела. Так как бруски погружены полностью, $V_т$ равен полному объему бруска.

Сначала вычислим объемы брусков. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений.

Объем первого бруска ($V_1$):
$V_1 = a_1 \cdot b_1 \cdot c_1 = 0.02 \text{ м} \cdot 0.05 \text{ м} \cdot 0.1 \text{ м} = 0.0001 \text{ м}^3 = 10^{-4} \text{ м}^3$.

Объем второго бруска ($V_2$):
$V_2 = a_2 \cdot b_2 \cdot c_2 = 0.2 \text{ м} \cdot 0.5 \text{ м} \cdot 1 \text{ м} = 0.1 \text{ м}^3$.

Теперь рассчитаем архимедовы силы для каждого случая.

в пресную воду;

Плотность пресной воды $\rho_{в} = 1000 \text{ кг/м}^3$.

Архимедова сила для первого бруска в воде:
$F_{А1в} = \rho_в g V_1 = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 9.8 \text{ Н/кг} \cdot 0.0001 \text{ м}^3 = 0.98 \text{ Н}$.

Архимедова сила для второго бруска в воде:
$F_{А2в} = \rho_в g V_2 = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 9.8 \text{ Н/кг} \cdot 0.1 \text{ м}^3 = 980 \text{ Н}$.

Ответ: архимедова сила, действующая на первый брусок в воде, равна 0.98 Н; на второй брусок — 980 Н.

в керосин.

Плотность керосина $\rho_{к} = 800 \text{ кг/м}^3$.

Архимедова сила для первого бруска в керосине:
$F_{А1к} = \rho_к g V_1 = 800 \text{ кг/м}^3 \cdot 9.8 \text{ Н/кг} \cdot 0.0001 \text{ м}^3 = 0.784 \text{ Н}$.

Архимедова сила для второго бруска в керосине:
$F_{А2к} = \rho_к g V_2 = 800 \text{ кг/м}^3 \cdot 9.8 \text{ Н/кг} \cdot 0.1 \text{ м}^3 = 784 \text{ Н}$.

Ответ: архимедова сила, действующая на первый брусок в керосине, равна 0.784 Н; на второй брусок — 784 Н.

27.34 [629] Плавающий на воде деревянный брусок вытесняет воду объёмом $0,72 \text{ м}^3$, а будучи погружённым в воду целиком — $0,9 \text{ м}^3$. Определите выталкивающие силы, действующие на брусок. Объясните, почему различны эти силы.

Дано:

Объём вытесненной воды при плавании, $V_{1} = 0,72 \text{ м³}$
Объём вытесненной воды при полном погружении (полный объём бруска), $V_{2} = 0,9 \text{ м³}$
Плотность воды, $\rho_{в} \approx 1000 \text{ кг/м³}$
Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ Н/кг}$

Найти:

Выталкивающую силу при плавании $F_{А1}$ — ?
Выталкивающую силу при полном погружении $F_{А2}$ — ?
Объяснить, почему силы различны.

Решение:

Выталкивающая сила (сила Архимеда) определяется по формуле: $F_{А} = \rho_{ж} \cdot g \cdot V_{п.ч.т.}$, где $\rho_{ж}$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения, а $V_{п.ч.т.}$ — объём погружённой в жидкость части тела.

Определите выталкивающие силы, действующие на брусок.

1. Когда брусок плавает на воде, объём его погружённой части равен объёму вытесненной им воды, то есть $V_{п.ч.т.1} = V_{1} = 0,72 \text{ м³}$. Выталкивающая сила для этого случая равна:

$F_{А1} = \rho_{в} \cdot g \cdot V_{1} = 1000 \text{ кг/м³} \cdot 10 \text{ Н/кг} \cdot 0,72 \text{ м³} = 7200 \text{ Н} = 7,2 \text{ кН}$.

2. Когда брусок погружён в воду целиком, объём его погружённой части равен его полному объёму, то есть $V_{п.ч.т.2} = V_{2} = 0,9 \text{ м³}$. Выталкивающая сила для этого случая равна:

$F_{А2} = \rho_{в} \cdot g \cdot V_{2} = 1000 \text{ кг/м³} \cdot 10 \text{ Н/кг} \cdot 0,9 \text{ м³} = 9000 \text{ Н} = 9 \text{ кН}$.

Ответ: выталкивающая сила, действующая на плавающий брусок, равна 7200 Н; на полностью погруженный — 9000 Н.

Объясните, почему различны эти силы.

Выталкивающие силы в двух рассмотренных случаях различны, поскольку величина силы Архимеда прямо пропорциональна объёму погружённой в жидкость части тела. В первом случае (свободное плавание) в воду погружена только часть бруска объёмом $0,72 \text{ м³}$. Во втором случае (полное погружение) в воду погружён весь брусок, и объём погружённой части составляет $0,9 \text{ м³}$.

Так как объём погружённой части во втором случае больше, чем в первом ($0,9 \text{ м³} > 0,72 \text{ м³}$), то и выталкивающая сила, действующая на брусок во втором случае, оказывается больше, чем в первом.

Ответ: силы различны, так как они зависят от объёма погружённой в воду части бруска, а в этих двух ситуациях объёмы погружённой части не одинаковы.

27.35⁰ [н] Докажите, что методом измерения объёмов вытесненной воды (см. предыдущую задачу) можно определять плотность тел, плавающих на поверхности. Из какого дерева сделан брусок? Чему равна его масса?

Докажите, что методом измерения объёмов вытесненной воды (см. предыдущую задачу) можно определять плотность тел, плавающих на поверхности.
Когда тело плавает на поверхности жидкости, действующая на него сила тяжести $F_T$ уравновешивается выталкивающей силой (силой Архимеда) $F_A$. Условие плавания: $F_T = F_A$.
Сила тяжести определяется как $F_T = m_{тела} \cdot g$, где $m_{тела}$ — масса тела, а $g$ — ускорение свободного падения. Массу тела можно выразить через его плотность $\rho_{тела}$ и объем $V_{тела}$ по формуле $m_{тела} = \rho_{тела} \cdot V_{тела}$. Следовательно, $F_T = \rho_{тела} \cdot V_{тела} \cdot g$.
Сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости: $F_A = \rho_{жидкости} \cdot g \cdot V_{погр}$, где $\rho_{жидкости}$ — плотность жидкости, а $V_{погр}$ — объем погруженной части тела, который равен объему вытесненной жидкости.
Приравнивая выражения для сил, получаем: $\rho_{тела} \cdot V_{тела} \cdot g = \rho_{жидкости} \cdot g \cdot V_{погр}$
Сократив $g$ в обеих частях уравнения, получим: $\rho_{тела} \cdot V_{тела} = \rho_{жидкости} \cdot V_{погр}$
Из этого соотношения можно выразить плотность тела: $\rho_{тела} = \rho_{жидкости} \cdot \frac{V_{погр}}{V_{тела}}$
Плотность жидкости $\rho_{жидкости}$ является известной величиной (для воды $\rho_{воды} \approx 1000 \, \text{кг/м}^3$). Объем вытесненной жидкости $V_{погр}$ можно измерить, например, с помощью мензурки, определив разность уровней воды до и после помещения тела в воду. Полный объем тела $V_{тела}$ также можно измерить методом вытеснения жидкости, полностью погрузив тело в воду (например, с помощью грузика).
Таким образом, зная плотность жидкости и измерив два объема ($V_{погр}$ и $V_{тела}$), можно определить плотность плавающего тела.
Ответ: Плотность плавающего тела можно определить по формуле $\rho_{тела} = \rho_{жидкости} \cdot \frac{V_{погр}}{V_{тела}}$, где объем вытесненной жидкости при плавании $V_{погр}$ и полный объем тела $V_{тела}$ находятся экспериментально методом измерения объемов.

Для ответа на следующие два вопроса необходимо провести расчеты. Так как в условии задачи есть ссылка на предыдущую, воспользуемся гипотетическими, но реалистичными экспериментальными данными, которые могли быть получены для деревянного бруска.

Дано:

Объем вытесненной плавающим бруском воды (объем погруженной части): $V_{погр} = 120 \, \text{см}^3$.
Полный объем бруска (определенный при полном погружении): $V_{тела} = 150 \, \text{см}^3$.
Плотность пресной воды: $\rho_{воды} = 1000 \, \text{кг/м}^3$.

Найти:

$\rho_{тела}$ — плотность материала бруска.
$m_{тела}$ — масса бруска.

Решение:

Из какого дерева сделан брусок?
Чтобы определить материал бруска, найдем его плотность по формуле, выведенной в первой части задачи: $\rho_{тела} = \rho_{воды} \cdot \frac{V_{погр}}{V_{тела}}$
Подставим числовые значения в системе СИ: $\rho_{тела} = 1000 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot \frac{1.2 \cdot 10^{-4} \, \text{м}^3}{1.5 \cdot 10^{-4} \, \text{м}^3} = 1000 \cdot 0.8 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 800 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.
Сравнивая полученное значение с табличными данными плотностей различных пород дерева, можно заключить, что такая плотность ($800 \, \text{кг/м}^3$) характерна для сухого дуба.
Ответ: Плотность бруска равна $800 \, \text{кг/м}^3$. Брусок, вероятно, сделан из дуба.

Чему равна его масса?
Массу бруска можно вычислить, зная его плотность и полный объем:
$m_{тела} = \rho_{тела} \cdot V_{тела} = 800 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 1.5 \cdot 10^{-4} \, \text{м}^3 = 1200 \cdot 10^{-4} \, \text{кг} = 0.12 \, \text{кг}$.
Также массу можно найти из условия плавания: масса тела равна массе вытесненной им жидкости.
$m_{тела} = m_{воды} = \rho_{воды} \cdot V_{погр} = 1000 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 1.2 \cdot 10^{-4} \, \text{м}^3 = 0.12 \, \text{кг}$.
Оба способа расчета дают одинаковый результат.
Ответ: Масса бруска равна $0.12 \, \text{кг}$ (или $120 \, \text{г}$).

27.36 [630] Определите показания пружинных весов при взвешивании в воде тел объемом $ 100 \text{ см}^3 $ из алюминия, железа, меди, свинца.

Дано:

$V = 100 \text{ см}^3$

$\rho_{в} = 1000 \text{ кг/м}^3$ (плотность воды)

$\rho_{ал} = 2700 \text{ кг/м}^3$ (плотность алюминия)

$\rho_{ж} = 7800 \text{ кг/м}^3$ (плотность железа)

$\rho_{м} = 8900 \text{ кг/м}^3$ (плотность меди)

$\rho_{св} = 11300 \text{ кг/м}^3$ (плотность свинца)

$g \approx 9,8 \text{ Н/кг}$ (ускорение свободного падения)

$V = 100 \text{ см}^3 = 100 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 100 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 10^{-4} \text{ м}^3$

Найти:

$P'_{ал}, P'_{ж}, P'_{м}, P'_{св}$ — показания пружинных весов для каждого тела в воде.

Решение:

Показания пружинных весов при взвешивании тела, погруженного в жидкость, равны его кажущемуся весу $P'$. Этот вес можно определить как разность силы тяжести $P$ (вес тела в воздухе) и выталкивающей силы Архимеда $F_A$, действующей на тело со стороны жидкости.

$P' = P - F_A$

Сила тяжести вычисляется по формуле $P = m \cdot g$. Массу тела $m$ можно найти через его плотность $\rho_т$ и объем $V$: $m = \rho_т \cdot V$. Следовательно, сила тяжести равна $P = \rho_т \cdot V \cdot g$.

Выталкивающая сила для тела, полностью погруженного в жидкость, определяется по формуле $F_A = \rho_в \cdot g \cdot V$, где $\rho_в$ — плотность воды.

Таким образом, итоговая формула для расчета показаний весов будет:

$P' = \rho_т \cdot V \cdot g - \rho_в \cdot V \cdot g = (\rho_т - \rho_в) \cdot V \cdot g$

Сначала рассчитаем выталкивающую силу $F_A$. Она будет одинакова для всех тел, так как они имеют равный объем и погружены в одну и ту же жидкость (воду).

$F_A = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9,8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 10^{-4} \text{ м}^3 = 0,98 \text{ Н}$

Теперь поочередно рассчитаем показания весов для каждого тела.

алюминия

Вес тела из алюминия в воде:

$P'_{ал} = (\rho_{ал} - \rho_в) \cdot V \cdot g = (2700 - 1000) \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10^{-4} \text{ м}^3 \cdot 9,8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} = 1700 \cdot 10^{-4} \cdot 9,8 \text{ Н} \approx 1,67 \text{ Н}$

Ответ: $1,67 \text{ Н}$.

железа

Вес тела из железа в воде:

$P'_{ж} = (\rho_{ж} - \rho_в) \cdot V \cdot g = (7800 - 1000) \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10^{-4} \text{ м}^3 \cdot 9,8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} = 6800 \cdot 10^{-4} \cdot 9,8 \text{ Н} \approx 6,66 \text{ Н}$

Ответ: $6,66 \text{ Н}$.

меди

Вес тела из меди в воде:

$P'_{м} = (\rho_{м} - \rho_в) \cdot V \cdot g = (8900 - 1000) \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10^{-4} \text{ м}^3 \cdot 9,8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} = 7900 \cdot 10^{-4} \cdot 9,8 \text{ Н} \approx 7,74 \text{ Н}$

Ответ: $7,74 \text{ Н}$.

свинца

Вес тела из свинца в воде:

$P'_{св} = (\rho_{св} - \rho_в) \cdot V \cdot g = (11300 - 1000) \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10^{-4} \text{ м}^3 \cdot 9,8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} = 10300 \cdot 10^{-4} \cdot 9,8 \text{ Н} \approx 10,1 \text{ Н}$

Ответ: $10,1 \text{ Н}$.

27.37 [631] Что покажут пружинные весы, если тела объёмом $100 \text{ см}^3$ из алюминия, железа, свинца взвешивать в керосине?

Дано:

$V = 100 \text{ см}^3$ (объем тел)
Материалы тел: алюминий, железо, свинец
Жидкость: керосин
Справочные значения:
Плотность алюминия, $\rho_{Al} = 2700 \text{ кг/м}^3$
Плотность железа, $\rho_{Fe} = 7800 \text{ кг/м}^3$
Плотность свинца, $\rho_{Pb} = 11300 \text{ кг/м}^3$
Плотность керосина, $\rho_{k} = 800 \text{ кг/м}^3$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ Н/кг}$

Найти:

$P'_{Al}$ — показания весов для алюминиевого тела
$P'_{Fe}$ — показания весов для железного тела
$P'_{Pb}$ — показания весов для свинцового тела

Решение:

Пружинные весы, когда тело погружено в жидкость, показывают его вес в этой жидкости (кажущийся вес) $P'$. Он равен разности силы тяжести $F_T$, действующей на тело, и выталкивающей силы (силы Архимеда) $F_A$.

$P' = F_T - F_A$

Сила тяжести вычисляется по формуле $F_T = m \cdot g$. Массу тела $m$ можно найти через его плотность $\rho_{тела}$ и объем $V$: $m = \rho_{тела} \cdot V$.
Следовательно, $F_T = \rho_{тела} \cdot V \cdot g$.

Выталкивающая сила для тела, полностью погруженного в керосин, равна весу керосина в объеме тела: $F_A = \rho_{k} \cdot g \cdot V$.

Подставив выражения для сил в основную формулу, получим общий вид для расчета показаний весов:

$P' = \rho_{тела} \cdot V \cdot g - \rho_{k} \cdot V \cdot g = (\rho_{тела} - \rho_{k}) \cdot V \cdot g$

Теперь рассчитаем показания весов для каждого тела.

алюминий

Для тела из алюминия, подставляя значение плотности $\rho_{Al}$: $P'_{Al} = (\rho_{Al} - \rho_{k}) \cdot V \cdot g = (2700 \text{ кг/м}^3 - 800 \text{ кг/м}^3) \cdot 10^{-4} \text{ м}^3 \cdot 9.8 \text{ Н/кг} = 1900 \cdot 10^{-4} \cdot 9.8 \text{ Н} = 1.862 \text{ Н}$.

Ответ: показания пружинных весов для алюминиевого тела составят $1.862 \text{ Н}$.

железо

Для тела из железа, подставляя значение плотности $\rho_{Fe}$: $P'_{Fe} = (\rho_{Fe} - \rho_{k}) \cdot V \cdot g = (7800 \text{ кг/м}^3 - 800 \text{ кг/м}^3) \cdot 10^{-4} \text{ м}^3 \cdot 9.8 \text{ Н/кг} = 7000 \cdot 10^{-4} \cdot 9.8 \text{ Н} = 6.86 \text{ Н}$.

Ответ: показания пружинных весов для железного тела составят $6.86 \text{ Н}$.

свинец

Для тела из свинца, подставляя значение плотности $\rho_{Pb}$: $P'_{Pb} = (\rho_{Pb} - \rho_{k}) \cdot V \cdot g = (11300 \text{ кг/м}^3 - 800 \text{ кг/м}^3) \cdot 10^{-4} \text{ м}^3 \cdot 9.8 \text{ Н/кг} = 10500 \cdot 10^{-4} \cdot 9.8 \text{ Н} = 10.29 \text{ Н}$.

Ответ: показания пружинных весов для свинцового тела составят $10.29 \text{ Н}$.

27.38 [632] Чему равна архимедова сила, действующая в воде на тела объёмом $125 \mathrm{см}^3$ из стекла? пробки? алюминия? свинца?

Дано:

Объем тел, $V = 125 \text{ см}^3$.

Жидкость — вода, плотность которой примем равной $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$.

Ускорение свободного падения примем равным $g \approx 10 \text{ Н/кг}$.

$V = 125 \text{ см}^3 = 125 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 125 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 0.000125 \text{ м}^3$.

Найти:

Архимедову силу $F_А$ для каждого тела.

Решение:

Архимедова сила (или выталкивающая сила), действующая на тело, погруженное в жидкость или газ, определяется по закону Архимеда:

$F_А = \rho_ж \cdot g \cdot V_{п.т.}$

где $\rho_ж$ — это плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения, а $V_{п.т.}$ — объем погруженной в жидкость части тела.

Из этой формулы видно, что архимедова сила не зависит от материала, из которого сделано тело, а определяется только плотностью жидкости и объемом его погруженной части. В условии задачи все тела имеют одинаковый объем и находятся в воде.

Будем считать, что все тела полностью погружены в воду (для тел, которые тонут, это происходит естественно; для плавающих тел, таких как пробка, это означает принудительное погружение). В этом случае объем погруженной части каждого тела равен его полному объему: $V_{п.т.} = V = 0.000125 \text{ м}^3$.

Тогда архимедова сила будет одинаковой для всех тел и составит:

$F_А = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 0.000125 \text{ м}^3 = 1.25 \text{ Н}$.

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

из стекла?

Плотность стекла (около $2500 \text{ кг/м}^3$) больше плотности воды ($1000 \text{ кг/м}^3$). Поэтому тело из стекла утонет в воде и будет полностью погружено. Следовательно, архимедова сила, действующая на него, равна рассчитанному значению.

Ответ: $1.25 \text{ Н}$.

пробки?

Плотность пробки (около $240 \text{ кг/м}^3$) меньше плотности воды. Если тело из пробки просто опустить в воду, оно будет плавать, погрузившись лишь частично, и архимедова сила будет равна силе тяжести тела. Однако, если принудительно погрузить пробку в воду полностью, то действующая на нее архимедова сила будет рассчитана по полному объему.

Ответ: $1.25 \text{ Н}$ (при условии полного погружения).

алюминия?

Плотность алюминия (около $2700 \text{ кг/м}^3$) больше плотности воды. Поэтому тело из алюминия утонет, будет полностью погружено, и на него будет действовать та же архимедова сила.

Ответ: $1.25 \text{ Н}$.

свинца?

Плотность свинца (около $11340 \text{ кг/м}^3$) также больше плотности воды, поэтому тело из свинца утонет, будет полностью погружено, и на него будет действовать та же архимедова сила.

Ответ: $1.25 \text{ Н}$.

27.39° [633°] Пробирку поместили в мензурку с водой. Уровень воды при этом повысился от деления $100 \text{ см}^3$ до деления $120 \text{ см}^3$. Сколько весит пробирка, плавающая в воде?

Дано:

Начальный уровень воды, $V_1 = 100 \text{ см}^3 = 100 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 1 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3$

Конечный уровень воды, $V_2 = 120 \text{ см}^3 = 120 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 1.2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3$

Плотность воды, $\rho_в \approx 1000 \text{ кг/м}^3$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ Н/кг}$

Найти:

Вес пробирки, $P$ - ?

Решение:

Когда пробирку поместили в мензурку, она начала плавать, частично погрузившись в воду. Объем вытесненной воды равен объему погруженной части пробирки. Этот объем можно найти как разность конечного и начального уровней воды в мензурке:

$V_{погр} = V_2 - V_1 = 120 \text{ см}^3 - 100 \text{ см}^3 = 20 \text{ см}^3$

Переведем этот объем в систему СИ:

$V_{погр} = 20 \text{ см}^3 = 20 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 2 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3$

Согласно условию плавания тел, на плавающую пробирку действует сила тяжести, направленная вниз, и выталкивающая сила (сила Архимеда), направленная вверх. Так как пробирка находится в равновесии (плавает), эти силы равны по модулю:

$P = F_A$

где $P$ – вес пробирки, а $F_A$ – сила Архимеда.

Сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости и рассчитывается по формуле:

$F_A = \rho_в \cdot g \cdot V_{погр}$

Следовательно, вес пробирки равен:

$P = \rho_в \cdot g \cdot V_{погр}$

Подставим числовые значения и вычислим вес пробирки:

$P = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9.8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 2 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3 = 0.196 \text{ Н}$

Ответ: вес плавающей пробирки составляет $0.196$ Н.

27.40 [634] На сколько гранитный булыжник объёмом $0,004 \text{ м}^3$ будет легче в воде, чем в воздухе?

Дано

Объем гранитного булыжника: $V = 0,004 \text{ м}^3$
Плотность воды (справочное значение): $\rho_{воды} = 1000 \text{ кг/м}^3$
Ускорение свободного падения: $g \approx 10 \text{ Н/кг}$

Найти:

Разницу в весе булыжника в воздухе и в воде: $\Delta P$

Решение:

Разница в весе тела в воздухе и в жидкости (в данном случае, в воде) равна выталкивающей силе, или силе Архимеда, которая действует на тело в этой жидкости. Вес в воздухе будем считать равным силе тяжести, пренебрегая выталкивающей силой воздуха.

Сила Архимеда ($F_A$) рассчитывается по формуле: $F_A = \rho_{жидкости} \cdot g \cdot V_{погр}$

Где:

• $\rho_{жидкости}$ — плотность жидкости, в которую погружено тело (в нашем случае это вода, $\rho_{воды}$).
• $g$ — ускорение свободного падения.
• $V_{погр}$ — объем погруженной части тела.

Поскольку булыжник полностью погружен в воду, объем его погруженной части равен полному объему булыжника: $V_{погр} = V$.

Таким образом, разница в весе $\Delta P$ будет равна силе Архимеда: $\Delta P = F_A = \rho_{воды} \cdot g \cdot V$

Подставим числовые значения в формулу: $\Delta P = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 10 \text{ Н/кг} \cdot 0,004 \text{ м}^3$

$\Delta P = 10000 \cdot 0,004 \text{ Н} = 40 \text{ Н}$

Следовательно, гранитный булыжник в воде будет на 40 Н легче, чем в воздухе.

Ответ: булыжник в воде будет легче на 40 Н.

27.41 [635] Какую силу надо приложить, чтобы поднять под водой камень массой 30 кг и объёмом $0,012 \text{ м}^3$?

Дано:

масса камня, $m = 30$ кг
объем камня, $V = 0,012$ м$^3$
плотность воды, $\rho_в = 1000$ кг/м$^3$
ускорение свободного падения, $g \approx 10$ Н/кг

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

силу, которую надо приложить для подъема камня, $F$ — ?

Решение:

На камень, погруженный в воду, действуют три силы:

1. Сила тяжести ($F_{тяж}$), направленная вертикально вниз.
2. Выталкивающая сила, или сила Архимеда ($F_A$), направленная вертикально вверх.
3. Сила, которую нужно приложить для подъема камня ($F$), также направленная вертикально вверх.

Для того чтобы поднять камень, необходимо приложить силу $F$, которая в сумме с выталкивающей силой $F_A$ будет равна силе тяжести $F_{тяж}$. Условие равновесия (или равномерного подъема) можно записать так:

$F + F_A = F_{тяж}$

Отсюда, искомая сила $F$ равна разности силы тяжести и выталкивающей силы:

$F = F_{тяж} - F_A$

Рассчитаем силу тяжести, действующую на камень:

$F_{тяж} = m \cdot g$

$F_{тяж} = 30 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} = 300 \text{ Н}$

Теперь рассчитаем выталкивающую силу (силу Архимеда), которая равна весу воды в объеме, вытесненном камнем:

$F_A = \rho_в \cdot g \cdot V$

$F_A = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 0,012 \text{ м}^3 = 120 \text{ Н}$

Наконец, найдем искомую силу $F$:

$F = 300 \text{ Н} - 120 \text{ Н} = 180 \text{ Н}$

Ответ: чтобы поднять камень под водой, надо приложить силу 180 Н.

27.42 [636] Брусок размерами $20 \times 10 \times 5$ см может занимать в воде положения, показанные на рисунке III-94. Докажите, что во всех положениях на него действует одна и та же выталкивающая сила.

Рис. III-94

Дано:

Размеры бруска: $a = 20$ см, $b = 10$ см, $c = 5$ см.
Брусок полностью погружен в воду.
Плотность воды: $\rho_в = 1000$ кг/м³.

Перевод в систему СИ:
$a = 20$ см $= 0.2$ м
$b = 10$ см $= 0.1$ м
$c = 5$ см $= 0.05$ м

Найти:

Доказать, что выталкивающая сила $F_A$, действующая на брусок, одинакова во всех положениях, показанных на рисунке.

Решение:

Согласно закону Архимеда, выталкивающая сила, действующая на тело, погруженное в жидкость или газ, равна весу жидкости в объеме, вытесненном телом. Формула для выталкивающей силы выглядит следующим образом: $F_A = \rho_ж \cdot g \cdot V_{погр}$ где $\rho_ж$ – плотность жидкости, $g$ – ускорение свободного падения, а $V_{погр}$ – объем погруженной части тела.

В данной задаче жидкостью является вода, поэтому $\rho_ж = \rho_в = 1000$ кг/м³. Ускорение свободного падения $g$ является постоянной величиной (примем $g \approx 9.8$ Н/кг).

Из условия и рисунка следует, что брусок во всех трех положениях полностью погружен в воду. Это означает, что объем погруженной части тела $V_{погр}$ в каждом случае равен полному объему бруска $V_т$.

Объем бруска, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, постоянен и не зависит от его ориентации в пространстве. Вычислим этот объем: $V_т = a \cdot b \cdot c = 0.2 \text{ м} \cdot 0.1 \text{ м} \cdot 0.05 \text{ м} = 0.001$ м³

Поскольку все три величины в формуле для силы Архимеда ($\rho_в$, $g$ и $V_т$) являются постоянными для всех трех положений бруска, то и сама выталкивающая сила будет одинаковой.

Рассчитаем ее значение, чтобы убедиться: $F_A = \rho_в \cdot g \cdot V_т = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9.8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 0.001 \text{ м}^3 = 9.8$ Н.

Таким образом, мы доказали, что выталкивающая сила не зависит от ориентации полностью погруженного тела, а определяется только его объемом и плотностью жидкости.

Ответ:

Выталкивающая сила определяется по формуле $F_A = \rho_{жидкости} \cdot g \cdot V_{погруженной\_части}$. Так как во всех положениях брусок погружен в воду полностью, объем его погруженной части равен полному объему бруска, который является постоянной величиной ($V_т = 0.001$ м³). Плотность воды и ускорение свободного падения также постоянны. Следовательно, выталкивающая сила, действующая на брусок, во всех положениях одна и та же.

27.43 [637] До какого уровня поднимется вода в мензурке (рис. III-95), если в ней будет плавать брусок? шар?

$\text{см}^3$

200

100

$0,6 \text{ Н}$

$0,5 \text{ Н}$

Рис. III-95

Задача состоит из двух частей: найти уровень воды, когда в ней плавает брусок, и когда плавает шар.

Если в мензурке будет плавать брусок

Дано:

Начальный объем воды в мензурке: $V_0 = 100 \text{ см}^3$

Вес бруска: $P_{брусок} = 0.6 \text{ Н}$

Плотность воды: $\rho_{воды} \approx 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Ускорение свободного падения: $g \approx 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}$

Найти:

Конечный уровень воды с бруском: $V_{брусок}$

Решение:

По условию задачи, брусок плавает в воде. Условие плавания тела заключается в том, что действующая на него выталкивающая сила (сила Архимеда), $F_A$, равна силе тяжести (весу) тела $P$.

$F_A = P_{брусок} = 0.6 \text{ Н}$

Сила Архимеда также равна весу вытесненной телом жидкости:

$F_A = \rho_{воды} \cdot g \cdot \Delta V_{брусок}$

где $\Delta V_{брусок}$ — объем вытесненной воды, который равен объему погруженной части бруска.

Приравняв выражения для силы Архимеда, можем найти объем вытесненной воды:

$\Delta V_{брусок} = \frac{P_{брусок}}{\rho_{воды} \cdot g} = \frac{0.6 \text{ Н}}{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}} = 0.00006 \text{ м}^3$

Шкала мензурки дана в см³, поэтому переведем полученный объем в эту единицу измерения ($1 \text{ м}^3 = 10^6 \text{ см}^3$):

$\Delta V_{брусок} = 0.00006 \text{ м}^3 \cdot 10^6 \frac{\text{см}^3}{\text{м}^3} = 60 \text{ см}^3$

Новый уровень воды в мензурке будет равен сумме начального объема воды и объема вытесненной воды:

$V_{брусок} = V_0 + \Delta V_{брусок} = 100 \text{ см}^3 + 60 \text{ см}^3 = 160 \text{ см}^3$

Ответ: если в мензурке будет плавать брусок, вода поднимется до уровня 160 см³.

Если в мензурке будет плавать шар

Дано:

Начальный объем воды в мензурке: $V_0 = 100 \text{ см}^3$

Вес шара: $P_{шар} = 0.5 \text{ Н}$

Плотность воды: $\rho_{воды} \approx 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Ускорение свободного падения: $g \approx 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}$

Найти:

Конечный уровень воды с шаром: $V_{шар}$

Решение:

Решение аналогично первому случаю. Если шар плавает, его вес уравновешивается силой Архимеда:

$F_A = P_{шар} = 0.5 \text{ Н}$

Найдем объем вытесненной шаром воды $\Delta V_{шар}$:

$\Delta V_{шар} = \frac{P_{шар}}{\rho_{воды} \cdot g} = \frac{0.5 \text{ Н}}{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}} = 0.00005 \text{ м}^3$

Переведем этот объем в см³:

$\Delta V_{шар} = 0.00005 \text{ м}^3 \cdot 10^6 \frac{\text{см}^3}{\text{м}^3} = 50 \text{ см}^3$

Найдем новый уровень воды в мензурке:

$V_{шар} = V_0 + \Delta V_{шар} = 100 \text{ см}^3 + 50 \text{ см}^3 = 150 \text{ см}^3$

Ответ: если в мензурке будет плавать шар, вода поднимется до уровня 150 см³.

27.44 [638] Масса пробкового спасательного круга равна 4,8 кг. Определите подъёмную силу этого круга в пресной воде.

Дано:

Масса пробкового круга: $m = 4,8 \text{ кг}$
Плотность пресной воды (справочное значение): $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$
Плотность пробки (справочное значение): $\rho_п = 240 \text{ кг/м}^3$
Ускорение свободного падения: $g \approx 9,8 \text{ Н/кг}$

Найти:

$F_{под}$ — подъёмную силу круга.

Решение:

Подъёмная сила спасательного круга — это разность между выталкивающей силой (силой Архимеда), действующей на полностью погружённый в воду круг, и силой тяжести, действующей на сам круг. Эта величина показывает, какую максимальную дополнительную силу (например, вес человека) может скомпенсировать круг, чтобы оставаться на плаву.

Формула для подъёмной силы:

$F_{под} = F_A - P$

где $F_A$ – сила Архимеда, а $P$ – сила тяжести (вес) круга.

1. Вычислим силу тяжести, действующую на спасательный круг:

$P = m \cdot g$

$P = 4,8 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} = 47,04 \text{ Н}$

2. Для расчёта силы Архимеда необходимо найти объём круга. Объём ($V$) можно найти, зная массу ($m$) и плотность материала, из которого он сделан (пробки, $\rho_п$):

$V = \frac{m}{\rho_п}$

$V = \frac{4,8 \text{ кг}}{240 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} = 0,02 \text{ м}^3$

3. Теперь рассчитаем выталкивающую силу (силу Архимеда), которая действует на круг при его полном погружении в пресную воду. Объём вытесненной воды в этом случае равен объёму круга.

$F_A = \rho_в \cdot g \cdot V$

$F_A = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9,8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 0,02 \text{ м}^3 = 196 \text{ Н}$

4. Наконец, определим подъёмную силу круга как разность между выталкивающей силой и силой тяжести:

$F_{под} = F_A - P = 196 \text{ Н} - 47,04 \text{ Н} = 148,96 \text{ Н}$

Ответ: подъёмная сила этого круга в пресной воде равна $148,96 \text{ Н}$.