Страница 102 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

28.6 [664] На одном горизонтальном уровне стоят две стопки из трёх одинаковых кирпичей (рис. IV-2, внизу). Кирпичи равномерно поднимают и кладут на доску так, как показано на рисунке IV-2 (вверху). Одинаковую ли при этом совершают работу?

Рис. IV-2

Дано:

Начальное состояние: две стопки по 3 одинаковых кирпича.
Конечное состояние: основание из 3 кирпичей и стопка из 3 кирпичей на нем.
Масса одного кирпича: $m$.
Высота одного кирпича: $h$.
Ускорение свободного падения: $g$.

Найти:

Определить и сравнить работу, совершаемую при указанной перестановке кирпичей.

Решение:

Работа, совершаемая внешней силой при равномерном перемещении тел в поле тяжести, равна изменению их потенциальной энергии. Формула для работы:

$A = \Delta E_p = E_{p2} - E_{p1}$

где $E_{p1}$ — начальная потенциальная энергия системы, а $E_{p2}$ — конечная. Потенциальная энергия кирпича массой $m$ определяется высотой его центра масс $y_c$ над нулевым уровнем ($E_p = mgy_c$). Примем за нулевой уровень ($y=0$) поверхность, на которой изначально стоят кирпичи. Центр масс каждого кирпича находится посередине его высоты $h$.

1. Расчет начальной потенциальной энергии $E_{p1}$.

Начальная конфигурация состоит из двух одинаковых стопок по три кирпича. В каждой стопке высоты центров масс кирпичей над землей равны:

• Нижний кирпич: $y_{c1} = \frac{h}{2}$
• Средний кирпич: $y_{c2} = h + \frac{h}{2} = \frac{3h}{2}$
• Верхний кирпич: $y_{c3} = 2h + \frac{h}{2} = \frac{5h}{2}$

Энергия одной стопки является суммой энергий трех кирпичей:

$E_{p, \text{стопка}} = mg\frac{h}{2} + mg\frac{3h}{2} + mg\frac{5h}{2} = mg(\frac{h+3h+5h}{2}) = \frac{9}{2}mgh$

Поскольку стопок две, общая начальная потенциальная энергия системы равна:

$E_{p1} = 2 \cdot E_{p, \text{стопка}} = 2 \cdot \frac{9}{2}mgh = 9mgh$

2. Расчет конечной потенциальной энергии $E_{p2}$.

Конечная конфигурация состоит из основания (три кирпича, лежащие рядом) и стопки из трех кирпичей на нем.

• Основание: три кирпича лежат на нулевом уровне. Центр масс каждого из них находится на высоте $\frac{h}{2}$. Их общая энергия: $E_{p, \text{основание}} = 3 \cdot mg\frac{h}{2} = \frac{3}{2}mgh$
• Стопка сверху: три кирпича стоят на основании высотой $h$. Высоты их центров масс над нулевым уровнем равны:
  • Нижний кирпич стопки: $y'_{c1} = h + \frac{h}{2} = \frac{3h}{2}$
  • Средний кирпич стопки: $y'_{c2} = h + h + \frac{h}{2} = \frac{5h}{2}$
  • Верхний кирпич стопки: $y'_{c3} = h + 2h + \frac{h}{2} = \frac{7h}{2}$
  Энергия этой стопки: $E_{p, \text{стопка}}' = mg\frac{3h}{2} + mg\frac{5h}{2} + mg\frac{7h}{2} = mg(\frac{3h+5h+7h}{2}) = \frac{15}{2}mgh$

Общая конечная потенциальная энергия системы равна сумме энергий основания и стопки на нем:

$E_{p2} = E_{p, \text{основание}} + E_{p, \text{стопка}}' = \frac{3}{2}mgh + \frac{15}{2}mgh = \frac{18}{2}mgh = 9mgh$

3. Определение совершенной работы.

Работа при перестановке кирпичей равна разности конечной и начальной потенциальных энергий:

$A = E_{p2} - E_{p1} = 9mgh - 9mgh = 0$

Как показывают расчеты, начальная и конечная потенциальные энергии системы одинаковы. Следовательно, полная работа, совершённая при переходе из начального состояния в конечное, равна нулю.

Ответ:

При перестановке кирпичей совершается работа, равная нулю. Это связано с тем, что начальная и конечная потенциальные энергии системы кирпичей одинаковы. Поэтому можно сказать, что работа в данном процессе одинакова в том смысле, что она не совершается (равна нулю).

28.7 [665] Одинаковые кирпичи лежат на одном горизонтальном уровне (рис. IV-3, внизу). Кирпичи равномерно поднимают и кладут так, как показано на рисунке IV-3 (вверху). Одинаковую ли работу при этом совершают?

Рис. IV-3

Работа, совершаемая при подъеме тела, идет на увеличение его потенциальной энергии и равна $A = \Delta E_p = E_{p2} - E_{p1}$, где $E_{p1}$ и $E_{p2}$ — начальная и конечная потенциальная энергия тела. В данном случае работа совершается против силы тяжести, и она зависит только от начального и конечного положения тел (кирпичей), а не от того, какие именно кирпичи были перемещены.

Пусть масса каждого кирпича равна $m$, а его высота (толщина) равна $h$. Ускорение свободного падения — $g$. Будем считать потенциальную энергию равной нулю на уровне горизонтальной поверхности, на которой изначально лежат кирпичи. Тогда центр масс каждого кирпича в начальном положении находится на высоте $h/2$.

В начальном состоянии (внизу рисунка) все 7 кирпичей лежат на поверхности.

В конечном состоянии (вверху рисунка) 3 кирпича остались лежать на поверхности, а 4 кирпича сложены в стопку. Это означает, что один из кирпичей остался на месте в качестве основания, а три других кирпича были подняты и уложены на него.

Рассчитаем работу, совершенную для укладки трех кирпичей на один базовый.

1. Первый кирпич (второй в стопке) поднимают и кладут на базовый кирпич. Его центр масс поднимается с высоты $h/2$ до высоты $h + h/2 = 3h/2$. Изменение высоты центра масс составляет $\Delta h_1 = (3h/2) - (h/2) = h$. Работа, совершенная для подъема этого кирпича: $A_1 = mg\Delta h_1 = mgh$.

2. Второй кирпич (третий в стопке) кладут на уже уложенный. Его центр масс поднимается с высоты $h/2$ до высоты $2h + h/2 = 5h/2$. Изменение высоты центра масс составляет $\Delta h_2 = (5h/2) - (h/2) = 2h$. Работа, совершенная для подъема этого кирпича: $A_2 = mg\Delta h_2 = mg(2h) = 2mgh$.

3. Третий кирпич (четвертый в стопке) кладут наверх. Его центр масс поднимается с высоты $h/2$ до высоты $3h + h/2 = 7h/2$. Изменение высоты центра масс составляет $\Delta h_3 = (7h/2) - (h/2) = 3h$. Работа, совершенная для подъема этого кирпича: $A_3 = mg\Delta h_3 = mg(3h) = 3mgh$.

Полная работа равна сумме работ по подъему этих трех кирпичей: $A = A_1 + A_2 + A_3 = mgh + 2mgh + 3mgh = 6mgh$.

Так как все кирпичи одинаковые (имеют одинаковую массу $m$ и высоту $h$) и в начальном состоянии находятся на одном и том же уровне, то работа по их перемещению в заданное конечное положение не зависит от того, какие именно кирпичи из лежащих в ряду были выбраны для постройки стопки. В любом случае для создания стопки из четырех кирпичей потребуется поднять один кирпич на высоту $h$, другой — на $2h$ и третий — на $3h$. Следовательно, суммарная работа всегда будет одинаковой.

Ответ: Да, при этом совершают одинаковую работу.

28.8 [668] Используя сведения задачи 28.5, определите значение общей работы, произведённой при подъёме ящика и перемещении его по полу кузова автомашины на пути 5 м, если сила трения при этом была равна 75 Н.

Дано:

Из условия задачи 28.5:

масса ящика $m = 50$ кг

высота подъема $h = 1,2$ м

Из условия задачи 28.8:

путь перемещения по полу $s = 5$ м

сила трения $F_{тр} = 75$ Н

ускорение свободного падения $g \approx 10$ Н/кг

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Общую работу $A_{общ}$.

Решение:

Общая работа, произведенная при подъеме и перемещении ящика, складывается из работы по подъему ящика на высоту $h$ ($A_1$) и работы по его перемещению по полу кузова на расстояние $s$ ($A_2$).

$A_{общ} = A_1 + A_2$

1. Работа при подъеме ящика совершается против силы тяжести. Минимальная сила, которую нужно приложить для равномерного подъема, равна силе тяжести $F_т = mg$.

Работа по подъему вычисляется по формуле:

$A_1 = F_т \cdot h = mgh$

Подставим числовые значения:

$A_1 = 50 \, \text{кг} \cdot 10 \, \text{Н/кг} \cdot 1,2 \, \text{м} = 600 \, \text{Дж}$

2. Работа при перемещении ящика по горизонтальной поверхности совершается против силы трения. Минимальная сила, которую нужно приложить для равномерного перемещения, равна силе трения $F_{тр}$.

Работа по перемещению вычисляется по формуле:

$A_2 = F_{тр} \cdot s$

Подставим числовые значения:

$A_2 = 75 \, \text{Н} \cdot 5 \, \text{м} = 375 \, \text{Дж}$

3. Теперь найдем общую работу как сумму работ на двух этапах:

$A_{общ} = A_1 + A_2 = 600 \, \text{Дж} + 375 \, \text{Дж} = 975 \, \text{Дж}$

Ответ: общая работа, произведённая при подъёме и перемещении ящика, равна $975$ Дж.

Рис. IV-4

28.9 [669] При движении на велосипеде спортсмен давит на каждую педаль со средней силой, равной 750 Н и направленной вниз. Чему равна работа этой силы за один оборот педалей, если каждая педаль описывает окружность диаметром 36 см?

Дано:

Средняя сила, прикладываемая к каждой педали, $F = 750 \text{ Н}$
Диаметр окружности, описываемой педалью, $d = 36 \text{ см}$

---

В системе СИ:
$d = 0.36 \text{ м}$

Найти:

$A$ — работа силы за один оборот педалей.

Решение:

Механическая работа $A$ вычисляется как произведение силы $F$ на перемещение $s$ в направлении действия силы. В данной задаче сила, с которой спортсмен давит на педаль, направлена вертикально вниз. Это означает, что работа совершается только за счет вертикального компонента перемещения педали.

За один полный оборот каждая педаль движется по окружности. Работа совершается только тогда, когда педаль движется вниз, так как именно в этот момент спортсмен прилагает силу. При движении педали вверх работа этой силы равна нулю.

Вертикальное перемещение педали во время её движения вниз (от самой верхней точки до самой нижней) равно диаметру окружности, которую она описывает. Таким образом, работа, совершаемая на одной педали за один её рабочий ход (движение вниз), равна:

$A_1 = F \cdot d$

Под "одним оборотом педалей" понимается полный оборот системы шатунов на 360°. За это время каждая из двух педалей совершает один полный оборот. Это означает, что за один полный оборот системы педалей происходит два рабочих хода: один для правой педали и один для левой. Педали движутся в противофазе: когда одна идет вниз, другая идет вверх.

Общая работа за один полный оборот педалей будет равна сумме работ, совершенных на каждой из педалей во время их движения вниз:

$A = A_{правая} + A_{левая} = (F \cdot d) + (F \cdot d) = 2Fd$

Теперь подставим данные из условия задачи в полученную формулу:

$A = 2 \cdot 750 \text{ Н} \cdot 0.36 \text{ м} = 1500 \text{ Н} \cdot 0.36 \text{ м} = 540 \text{ Дж}$

Ответ: работа этой силы за один оборот педалей равна 540 Дж.

28.10 [670] Работа силы тяги автомобиля, проехавшего с неизменной скоростью путь 2 км, равна 50 кДж. Определите силу трения.

Дано:

Найти:

Решение:

Поскольку автомобиль движется с неизменной скоростью ($v = const$), его ускорение равно нулю. Согласно первому закону Ньютона, при равномерном прямолинейном движении равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю.

В горизонтальном направлении на автомобиль действуют две силы: сила тяги $F_{тяги}$ и сила трения $F_{трения}$. Эти силы направлены в противоположные стороны. Для того чтобы их равнодействующая была равна нулю, эти силы должны быть равны по модулю:

$F_{тяги} = F_{трения}$

Работа, совершаемая силой тяги, вычисляется по формуле:

$A = F_{тяги} \cdot s$

Отсюда мы можем найти силу тяги. Так как сила тяги равна силе трения, получаем:

$F_{трения} = F_{тяги} = \frac{A}{s}$

Подставим числовые значения, переведенные в систему СИ:

$F_{трения} = \frac{50000 \text{ Дж}}{2000 \text{ м}} = 25 \text{ Н}$

Ответ: 25 Н.

28.11* [671*] Три кирпича лежат плашмя, как показано на ри-сунке IV-3 (вверху, справа). Масса каждого кирпича равна 1,7 кг. Вычислите работу, произведённую мальчиком по укладке кирпичей друг на друга (рис. IV-3, слева), приняв, что толщина каждого кирпича равна 6 см.

Дано

Масса каждого кирпича, $m = 1,7 \text{ кг}$
Толщина каждого кирпича, $h = 6 \text{ см}$
Количество кирпичей, $n = 3$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Работу, $A$

Решение

Работа, произведенная мальчиком, идет на увеличение потенциальной энергии кирпичей. Общую работу можно найти как сумму работ по подъему каждого кирпича на свое место в стопке. Изначально все три кирпича лежат на земле. Допустим, один из кирпичей остается на земле в качестве основания.

1. Первый (нижний) кирпич остается на земле. Работа по его перемещению не совершается (или он выбран за основу и не двигается), поэтому $A_1 = 0$.

2. Второй (средний) кирпич укладывается на первый. Для этого его нужно поднять так, чтобы его центр масс переместился вверх на высоту, равную толщине одного кирпича $h$. Работа, совершаемая при этом, равна изменению его потенциальной энергии: $A_2 = mgh$

3. Третий (верхний) кирпич укладывается на второй. Его центр масс нужно поднять на высоту, равную толщине двух кирпичей, то есть на $2h$. Работа, совершаемая для подъема третьего кирпича, равна: $A_3 = mg(2h) = 2mgh$

Полная работа, произведенная мальчиком, равна сумме работ по укладке второго и третьего кирпичей: $A = A_1 + A_2 + A_3 = 0 + mgh + 2mgh = 3mgh$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу: $A = 3 \cdot 1,7 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0,06 \text{ м}$

$A = 5,1 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0,06 \text{ м} = 49,98 \frac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0,06 \text{ м} = 2,9988 \text{ Дж}$

Округлим результат до двух значащих цифр: $A \approx 3,0 \text{ Дж}$

Ответ: работа, произведённая мальчиком, равна приблизительно $3,0$ Дж.

28.12 [672] Используя данные рисунка IV-4, определите механическую работу по перемещению бруска.

$2\text{ H}$

$0.5\text{ м}$

Рис. IV-4

Дано:

Сила, с которой тянут брусок, $F = 2$ Н

Перемещение бруска, $s = 0,5$ м

Найти:

Механическую работу $A$.

Решение:

Механическая работа совершается, когда на тело действует сила, и тело под действием этой силы перемещается. Работа вычисляется по формуле:

$A = F \cdot s \cdot \cos(\alpha)$

где $F$ — модуль приложенной силы, $s$ — модуль перемещения тела, а $\alpha$ — угол между вектором силы и вектором перемещения.

Из рисунка видно, что брусок тянут с помощью динамометра горизонтально, и он перемещается в том же направлении. Это означает, что угол $\alpha$ между силой и перемещением равен нулю ($\alpha = 0^\circ$). Косинус угла $0^\circ$ равен 1 ($\cos(0^\circ) = 1$).

Таким образом, формула для расчета работы в данном случае принимает вид:

$A = F \cdot s$

Подставим в формулу значения, взятые из рисунка:

$A = 2 \text{ Н} \cdot 0,5 \text{ м} = 1 \text{ Дж}$

Ответ: механическая работа по перемещению бруска равна 1 Дж.

28.13 [673] Ястреб, масса которого 0,4 кг, воздушным потоком поднят на высоту 70 м. Определите работу силы, поднявшей птицу.

Дано:

Масса ястреба, $m = 0,4$ кг
Высота подъема, $h = 70$ м

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Работу силы, $A$

Решение:

Работа $A$, совершаемая постоянной силой $F$ при перемещении тела на расстояние $h$, вычисляется по формуле:

$A = F \cdot h \cdot \cos(\alpha)$

где $\alpha$ - угол между вектором силы и вектором перемещения. В данном случае сила, создаваемая воздушным потоком, направлена вертикально вверх, как и перемещение ястреба. Следовательно, угол $\alpha = 0^\circ$, а $\cos(0^\circ) = 1$.

Формула для работы принимает вид:

$A = F \cdot h$

Чтобы поднять птицу, воздушный поток должен приложить силу $F$, равную по модулю силе тяжести $F_т$, действующей на ястреба (при условии равномерного подъема). Сила тяжести рассчитывается как:

$F_т = m \cdot g$

где $m$ — масса тела, а $g$ — ускорение свободного падения. Примем стандартное для школьных задач значение $g \approx 10$ Н/кг.

Таким образом, поднимающая сила $F$ равна $m \cdot g$. Подставим это выражение в формулу для работы:

$A = m \cdot g \cdot h$

Теперь подставим числовые значения и выполним расчет:

$A = 0,4 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 70 \text{ м} = 280 \text{ Дж}$

Ответ: 280 Дж.