Страница 106 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

28.42 [696] Гружёная шахтная клеть массой $10 \text{ т}$ поднимается с ускорением $0,5 \text{ м/с}^2$. Определите работу по подъёму клети за первые $10 \text{ с}$ движения и работу силы тяжести. Объясните разницу значений работ.

Дано:

Найти:

Решение:

Работа по подъёму клети
Работа по подъёму клети совершается силой тяги (подъёмной силой). Работа вычисляется по формуле $A = F \cdot s \cdot \cos\alpha$. Поскольку сила тяги направлена вверх, как и перемещение, угол $\alpha = 0$, и $\cos\alpha = 1$. Таким образом, $A_{подъёма} = F_{тяги} \cdot h$.
Сначала найдём высоту подъёма $h$ за время $t$. Так как движение равноускоренное и начальная скорость равна нулю, используем формулу пути:
$h = v_0 t + \frac{at^2}{2} = 0 + \frac{0,5 \text{ м/с}^2 \cdot (10 \text{ с})^2}{2} = \frac{0,5 \cdot 100}{2} = 25 \text{ м}$.
Теперь найдём силу тяги $F_{тяги}$. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на его ускорение: $m\vec{a} = \vec{F}_{тяги} + m\vec{g}$.
В проекции на вертикальную ось, направленную вверх: $ma = F_{тяги} - mg$.
Отсюда выразим силу тяги: $F_{тяги} = ma + mg = m(a+g)$.
$F_{тяги} = 10000 \text{ кг} \cdot (0,5 \text{ м/с}^2 + 9,8 \text{ м/с}^2) = 10000 \cdot 10,3 = 103000 \text{ Н}$.
Теперь можем рассчитать работу по подъёму:
$A_{подъёма} = F_{тяги} \cdot h = 103000 \text{ Н} \cdot 25 \text{ м} = 2575000 \text{ Дж} = 2,575 \text{ МДж}$.

Ответ: работа по подъёму клети составляет $2,575 \text{ МДж}$.

Работа силы тяжести
Работа силы тяжести $A_{тяж}$ вычисляется по той же формуле $A = F \cdot s \cdot \cos\alpha$. Сила тяжести $F_{тяж} = mg$ направлена вертикально вниз, а перемещение $h$ — вертикально вверх. Угол между вектором силы и вектором перемещения составляет $\alpha = 180^\circ$, а $\cos(180^\circ) = -1$.
Следовательно, работа силы тяжести будет отрицательной:
$A_{тяж} = F_{тяж} \cdot h \cdot \cos(180^\circ) = -mgh$.
$A_{тяж} = -10000 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 25 \text{ м} = -2450000 \text{ Дж} = -2,45 \text{ МДж}$.

Ответ: работа силы тяжести составляет $-2,45 \text{ МДж}$.

Объяснение разницы значений работ
Работа по подъёму клети ($A_{подъёма} = 2,575 \text{ МДж}$) по модулю больше, чем работа силы тяжести ($|A_{тяж}| = 2,45 \text{ МДж}$). Разница между этими работами объясняется теоремой о кинетической энергии.
Согласно этой теореме, полная работа всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии: $A_{полная} = \Delta E_k$.
Полная работа равна сумме работы силы тяги и работы силы тяжести: $A_{полная} = A_{подъёма} + A_{тяж}$.
$A_{полная} = 2575000 \text{ Дж} + (-2450000 \text{ Дж}) = 125000 \text{ Дж} = 125 \text{ кДж}$.
Эта работа пошла на увеличение кинетической энергии клети. Проверим это. Начальная кинетическая энергия $E_{k0} = 0$, так как клеть начала движение из состояния покоя. Найдём конечную скорость клети: $v = v_0 + at = 0 + 0,5 \text{ м/с}^2 \cdot 10 \text{ с} = 5 \text{ м/с}$. Конечная кинетическая энергия: $E_k = \frac{mv^2}{2} = \frac{10000 \text{ кг} \cdot (5 \text{ м/с})^2}{2} = \frac{10000 \cdot 25}{2} = 125000 \text{ Дж} = 125 \text{ кДж}$.
Таким образом, $\Delta E_k = E_k - E_{k0} = 125 \text{ кДж}$.
Как видим, $A_{полная} = \Delta E_k$.
Это означает, что работа подъёмной силы ($A_{подъёма}$) расходуется на преодоление силы тяжести (эта часть работы равна $|A_{тяж}|$) и на сообщение клети кинетической энергии (эта часть работы равна $\Delta E_k$). Разница между работой по подъёму и модулем работы силы тяжести как раз и равна изменению кинетической энергии клети.
$A_{подъёма} - |A_{тяж}| = \Delta E_k$.
$2,575 \text{ МДж} - 2,45 \text{ МДж} = 0,125 \text{ МДж} = 125 \text{ кДж}$.

Ответ: разница в значениях работ ($125 \text{ кДж}$) равна изменению кинетической энергии клети, так как подъём происходил с ускорением.

28.43* [697] Чему равна работа силы тяги, действующей на вагон массой 15 т, если, двигаясь равноускоренно, вагон прошёл путь 22 м за 20 с, а сила трения составляла 5 % от веса вагона? Решите задачу аналитически и графически.

Дано:

$m = 15 \text{ т} = 15000 \text{ кг}$
$s = 22 \text{ м}$
$t = 20 \text{ с}$
$v_0 = 0 \text{ м/с}$ (так как вагон начинает движение)
$F_{тр} = 5\% \text{ от } P = 0.05 \cdot P$
Примем ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$.

Найти:

$A_{тяги} - ?$

Решение:

Аналитически

Работа силы тяги определяется формулой: $A_{тяги} = F_{тяги} \cdot s \cdot \cos(\alpha)$ Поскольку сила тяги направлена в сторону движения, угол $\alpha = 0$, и $\cos(0) = 1$. Таким образом, $A_{тяги} = F_{тяги} \cdot s$.

Для нахождения силы тяги $F_{тяги}$ воспользуемся вторым законом Ньютона. На вагон в горизонтальном направлении действуют сила тяги $F_{тяги}$ и сила трения $F_{тр}$, направленная против движения. $ma = F_{тяги} - F_{тр}$ Отсюда выразим силу тяги: $F_{тяги} = ma + F_{тр}$

1. Найдем силу трения. Она составляет 5% от веса вагона $P = mg$. $F_{тр} = 0.05 \cdot P = 0.05 \cdot mg = 0.05 \cdot 15000 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 7350 \text{ Н}$

2. Найдем ускорение вагона. Поскольку движение равноускоренное и начальная скорость равна нулю, используем формулу пути: $s = v_0t + \frac{at^2}{2}$ $s = \frac{at^2}{2}$ Выразим ускорение: $a = \frac{2s}{t^2} = \frac{2 \cdot 22 \text{ м}}{(20 \text{ с})^2} = \frac{44 \text{ м}}{400 \text{ с}^2} = 0.11 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

3. Теперь можем рассчитать силу тяги: $F_{тяги} = ma + F_{тр} = 15000 \text{ кг} \cdot 0.11 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} + 7350 \text{ Н} = 1650 \text{ Н} + 7350 \text{ Н} = 9000 \text{ Н}$

4. Наконец, найдем работу силы тяги: $A_{тяги} = F_{тяги} \cdot s = 9000 \text{ Н} \cdot 22 \text{ м} = 198000 \text{ Дж} = 198 \text{ кДж}$

Ответ: работа силы тяги равна 198 кДж.

Графически

Работа силы может быть найдена как площадь фигуры под графиком зависимости силы от перемещения $F(s)$. Поскольку движение равноускоренное, ускорение $a$ постоянно. Сила трения $F_{тр}$ также постоянна (так как зависит от веса, который не меняется). Следовательно, сила тяги $F_{тяги} = ma + F_{тр}$ тоже является постоянной величиной.

1. Рассчитаем значение силы тяги, как и в аналитическом решении. $a = \frac{2s}{t^2} = 0.11 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$ $F_{тр} = 0.05 \cdot mg = 7350 \text{ Н}$ $F_{тяги} = ma + F_{тр} = 15000 \cdot 0.11 + 7350 = 9000 \text{ Н}$

2. Построим график зависимости силы тяги $F_{тяги}$ от пути $s$. На оси ординат отложим силу в Ньютонах, а на оси абсцисс — путь в метрах. Так как сила тяги постоянна, график будет представлять собой прямую линию, параллельную оси абсцисс, на уровне $F_{тяги} = 9000 \text{ Н}$.

3. Работа, совершенная на пути $s = 22 \text{ м}$, численно равна площади прямоугольника, ограниченного этой линией, осью абсцисс и вертикальными прямыми $s=0$ и $s=22 \text{ м}$. Высота прямоугольника равна $F_{тяги} = 9000 \text{ Н}$, а его ширина равна $s = 22 \text{ м}$.

4. Вычислим площадь этого прямоугольника: $A_{тяги} = \text{Площадь} = F_{тяги} \cdot s = 9000 \text{ Н} \cdot 22 \text{ м} = 198000 \text{ Дж} = 198 \text{ кДж}$

Ответ: работа силы тяги равна 198 кДж.

29.1 [698] Ведро воды из колодца глубиной 3 м мальчик равномерно поднял один раз за 20 с, другой раз за 30 с. Одинаковая ли работа была совершена в обоих случаях? Что можно сказать о мощности при выполнении этих работ?

Дано:

Глубина колодца, $h = 3$ м
Время первого подъема, $t_1 = 20$ с
Время второго подъема, $t_2 = 30$ с

Найти:

Сравнить работу $A_1$ и $A_2$.
Сравнить мощность $P_1$ и $P_2$.

Решение:

Одинаковая ли работа была совершена в обоих случаях?

Механическая работа вычисляется по формуле $A = F \cdot s$, где $F$ – приложенная сила, а $s$ – пройденный путь. В данном случае мальчик поднимает ведро равномерно, это означает, что сила, которую он прикладывает, равна по модулю силе тяжести, действующей на ведро с водой: $F = F_{тяж} = mg$, где $m$ – масса ведра с водой, а $g$ – ускорение свободного падения.

Пройденный путь равен глубине колодца: $s = h$.

Таким образом, работа, совершаемая мальчиком, в обоих случаях определяется как $A = mgh$.

Поскольку масса ведра с водой ($m$), ускорение свободного падения ($g$) и высота подъема ($h$) в обоих случаях одинаковы, то и совершенная работа будет одинаковой.

$A_1 = mgh$
$A_2 = mgh$
Следовательно, $A_1 = A_2$.

Ответ: Да, работа, совершенная в обоих случаях, была одинаковая.

Что можно сказать о мощности при выполнении этих работ?

Мощность – это физическая величина, равная отношению работы ко времени, за которое она была совершена. Формула для расчета мощности: $P = \frac{A}{t}$.

Найдем мощность, развиваемую мальчиком в первом и во втором случае:

Мощность в первом случае: $P_1 = \frac{A_1}{t_1}$.
Мощность во втором случае: $P_2 = \frac{A_2}{t_2}$.

Как мы установили ранее, работа в обоих случаях одинакова: $A_1 = A_2 = A$. Однако время, затраченное на выполнение этой работы, разное: $t_1 = 20$ с, а $t_2 = 30$ с.

Поскольку $t_1 < t_2$, а мощность обратно пропорциональна времени (при одинаковой работе), то мощность, развиваемая в первом случае, будет больше, чем во втором.

$\frac{P_1}{P_2} = \frac{A/t_1}{A/t_2} = \frac{t_2}{t_1} = \frac{30 \text{ с}}{20 \text{ с}} = 1.5$

Это означает, что $P_1 = 1.5 \cdot P_2$, то есть $P_1 > P_2$.

Ответ: Мощность, развиваемая мальчиком, была разной. В первом случае (когда он поднял ведро за 20 с) мощность была в 1,5 раза больше, чем во втором случае (когда он поднял ведро за 30 с).

29.2 [699] Две девочки, имеющие разную массу, наперегонки взбегали по лестнице и поднялись на третий этаж дома одновременно. Одинаковую ли мощность развивали они при этом? Ответ обоснуйте.

Дано:
Масса первой девочки: $m_1$
Масса второй девочки: $m_2$
$m_1 \neq m_2$
Время подъема: $t_1 = t_2 = t$
Высота подъема: $h_1 = h_2 = h$ (обе поднялись на третий этаж)

Найти:
Сравнить мощности $P_1$ и $P_2$, развиваемые девочками.

Решение:
Мощность $P$ — это физическая величина, равная отношению работы $A$, совершаемой за некоторый промежуток времени, к этому промежутку времени $t$. Формула для мощности:
$P = \frac{A}{t}$
В данном случае девочки совершают работу против силы тяжести, поднимая свое тело на высоту $h$. Работа, совершаемая при подъеме тела массой $m$ на высоту $h$, равна изменению его потенциальной энергии:
$A = mgh$
где $g$ — ускорение свободного падения.
Тогда мощность, развиваемая каждой девочкой, может быть вычислена по формуле:
$P = \frac{mgh}{t}$
Запишем выражения для мощности первой и второй девочки:
Мощность первой девочки: $P_1 = \frac{m_1gh}{t}$
Мощность второй девочки: $P_2 = \frac{m_2gh}{t}$
По условию задачи, массы девочек различны ($m_1 \neq m_2$), а высота подъема $h$ и время $t$ одинаковы для обеих.
Сравним выражения для мощностей. Так как множители $g$, $h$ и $t$ в обоих выражениях одинаковы, а массы $m_1$ и $m_2$ различны, то и мощности, развиваемые девочками, будут различны.
$P_1 \neq P_2$
Девочка, имеющая большую массу, совершила большую работу, так как для подъема большего веса на ту же высоту требуется больше работы. Поскольку эта большая работа была совершена за то же самое время, то и мощность, развитая этой девочкой, была больше.

Ответ: нет, девочки развивали разную мощность. Мощность прямо пропорциональна массе тела при одинаковой скорости подъема. Следовательно, девочка с большей массой развивала большую мощность.

29.3 [700] Кто развивает большую мощность: медленно поднимающийся по лестнице человек или спортсмен той же массы, совершающий прыжок с шестом?

29.3 [700]

Решение

Мощность $P$ — это физическая величина, равная отношению работы $A$ к промежутку времени $t$, за который эта работа была совершена. Формула для мощности: $P = \frac{A}{t}$

В обоих случаях рассматривается работа, совершаемая против силы тяжести для подъема тела на высоту $h$. Эта работа определяется по формуле: $A = mgh$ где $m$ — масса тела, а $g$ — ускорение свободного падения.

По условию задачи, масса человека, поднимающегося по лестнице, и масса спортсмена одинаковы.

Рассмотрим оба случая:

1. Человек, медленно поднимающийся по лестнице. Допустим, он поднимается на высоту $h_1$ за время $t_1$. Так как он движется "медленно", время подъема $t_1$ будет относительно большим. Совершенная им работа равна $A_1 = mgh_1$, а развиваемая мощность — $P_1 = \frac{mgh_1}{t_1}$.

2. Спортсмен, совершающий прыжок с шестом. Прыжок с шестом — это очень быстрое, взрывное движение. Спортсмен поднимает свое тело на значительную высоту $h_2$ (мировые рекорды превышают 6 метров) за очень короткий промежуток времени $t_2$ (порядка нескольких секунд). Совершенная им работа равна $A_2 = mgh_2$, а развиваемая мощность — $P_2 = \frac{mgh_2}{t_2}$.

Сравним эти две ситуации.

Высота, на которую поднимается прыгун с шестом ($h_2$), как правило, значительно больше высоты одного-двух лестничных пролетов ($h_1$). Следовательно, работа, совершаемая спортсменом, скорее всего, больше ($A_2 > A_1$).

Самое главное различие заключается во времени совершения работы. Время медленного подъема по лестнице ($t_1$) намного больше, чем время совершения прыжка ($t_2$). То есть, $t_1 \gg t_2$.

Таким образом, при сравнении мощностей $P_1 = \frac{A_1}{t_1}$ и $P_2 = \frac{A_2}{t_2}$ мы видим, что у спортсмена и работа ($A_2$) больше, и время ($t_2$) несоизмеримо меньше. Деление большей работы на значительно меньшее время дает гораздо большую мощность. Следовательно, $P_2 \gg P_1$.

Ответ: большую мощность развивает спортсмен, совершающий прыжок с шестом, так как он совершает большую (или сравнимую) работу за значительно меньший промежуток времени.

29.4 [701] Нагруженный автомобиль при той же мощности двигателя и по той же горизонтальной дороге движется медленнее ненагруженного. Почему?

29.4 [701]

Решение
Мощность двигателя $P$ связана с силой тяги $F_{тяги}$ и скоростью автомобиля $v$ соотношением: $P = F_{тяги} \cdot v$

При движении автомобиля с постоянной скоростью по горизонтальной дороге сила тяги двигателя уравновешивает суммарную силу сопротивления движению $F_{сопр}$: $F_{тяги} = F_{сопр}$

Сила сопротивления состоит в основном из двух компонент: силы трения качения и силы сопротивления воздуха. Сила трения качения $F_{тр}$ прямо пропорциональна силе нормальной реакции опоры $N$, которая на горизонтальной дороге равна силе тяжести $mg$: $F_{тр} = \mu \cdot N = \mu \cdot m \cdot g$ где $\mu$ — коэффициент трения качения, а $m$ — масса автомобиля.

У нагруженного автомобиля масса $m$ больше, чем у ненагруженного. Следовательно, сила трения качения для нагруженного автомобиля также будет больше. Это, в свою очередь, увеличивает общую силу сопротивления $F_{сопр}$.

Чтобы двигаться с постоянной скоростью, двигатель нагруженного автомобиля должен развивать большую силу тяги $F_{тяги}$ для преодоления возросшей силы сопротивления.

Из формулы мощности $P = F_{тяги} \cdot v$ выразим скорость: $v = \frac{P}{F_{тяги}}$

По условию задачи, мощность двигателя $P$ остается той же. Поскольку для нагруженного автомобиля сила тяги $F_{тяги}$ должна быть больше, а мощность $P$ — постоянна, его скорость $v$ будет меньше, так как скорость обратно пропорциональна силе тяги.

Ответ: Нагруженный автомобиль имеет большую массу, что приводит к увеличению силы трения качения. Для преодоления этой возросшей силы сопротивления при той же мощности двигателя автомобилю требуется развить большую силу тяги. Согласно формуле $v = P / F_{тяги}$, при постоянной мощности $P$ увеличение силы тяги $F_{тяги}$ приводит к уменьшению скорости $v$.

29.5 [702] Два одинаковых по размеру и конструкции корабля развивают разную мощность. С одинаковой ли скоростью будут двигаться эти корабли?

Решение

Мощность ($P$), развиваемая двигателем, связана с силой тяги ($F$) и скоростью движения ($v$) соотношением $P = F \cdot v$.

При движении корабля с установившейся (постоянной) скоростью, сила тяги двигателя уравновешивает силу сопротивления воды, $F_{тяги} = F_{сопр}$. Сила сопротивления воды, в свою очередь, зависит от скорости движения: чем больше скорость, тем больше сила сопротивления. Поскольку корабли одинаковы по размеру и конструкции, зависимость силы сопротивления от скорости для них будет одинаковой.

Таким образом, для поддержания постоянной скорости $v$ корабль должен развивать мощность $P = F_{сопр}(v) \cdot v$.

В задаче дано, что мощности двух кораблей различны: $P_1 \neq P_2$.

Предположим, что скорости кораблей одинаковы, то есть $v_1 = v_2 = v$. Так как корабли идентичны, то при одинаковой скорости силы сопротивления, действующие на них, также будут равны: $F_{сопр}(v_1) = F_{сопр}(v_2)$. В этом случае развиваемые мощности тоже должны были бы быть равны: $P_1 = F_{сопр}(v_1) \cdot v_1$ и $P_2 = F_{сопр}(v_2) \cdot v_2$, откуда следовало бы $P_1 = P_2$. Это противоречит условию задачи.

Следовательно, наше предположение неверно, и скорости кораблей не могут быть одинаковыми. Корабль, который развивает большую мощность, сможет достичь и поддерживать большую скорость, так как при большей скорости возрастает и сила сопротивления воды, для преодоления которой требуется большая мощность.

Ответ: Нет, эти корабли будут двигаться с разной скоростью. Корабль с большей мощностью будет иметь большую скорость.

29.6 [703] После выключения электромагнита полый и сплошной чугунные шары одинакового объёма (рис. IV-9, а — полый, б — сплошной) за одно и то же время достигли поверхности земли. Одинаковая ли работа совершена силой тяжести при этом падении? Сравните развиваемую при этом мощность.

Ответы поясните.

Полый Сплошной

а) б)

Рис. IV-9

Дано:

Шар а (полый) и шар б (сплошной)
Материал шаров - чугун, плотность $\rho$
Объемы шаров одинаковы: $V_а = V_б = V$
Время падения шаров одинаково: $t_а = t_б = t$
Шары падают с одной и той же высоты $h$.

Найти:

Сравнить работу силы тяжести, совершенную над шарами: $A_а$ и $A_б$.
Сравнить мощность, развиваемую силой тяжести: $P_а$ и $P_б$.

Решение:

Вначале сравним массы шаров. Масса тела определяется по формуле $m = \rho \cdot V_{мат}$, где $\rho$ - плотность материала, а $V_{мат}$ - объем этого материала. Поскольку оба шара сделаны из чугуна, плотность материала у них одинакова. Объемы шаров $V$ также одинаковы по условию. Для сплошного шара (б) его масса равна $m_б = \rho \cdot V$. Полый шар (а) имеет такой же внешний объем $V$, но часть этого объема пуста. Следовательно, объем чугуна в полом шаре $V_{мат,а}$ меньше, чем в сплошном. Поэтому масса полого шара $m_а$ меньше массы сплошного шара $m_б$: $m_а < m_б$.

Одинаковая ли работа совершена силой тяжести при этом падении?

Работа силы тяжести при падении тела с высоты $h$ вычисляется по формуле $A = mgh$, где $m$ — масса тела, $g$ — ускорение свободного падения, $h$ — высота, с которой падает тело. Поскольку оба шара падают с одной и той же высоты $h$, работа силы тяжести будет зависеть только от их массы. Работа для полого шара: $A_а = m_а g h$. Работа для сплошного шара: $A_б = m_б g h$. Так как масса сплошного шара больше массы полого ($m_б > m_а$), то и работа, совершенная силой тяжести над сплошным шаром, будет больше.

Ответ: Нет, работа, совершенная силой тяжести, не одинаковая. Работа над сплошным шаром больше, чем над полым ($A_б > A_а$).

Сравните развиваемую при этом мощность.

Мощность — это работа, совершаемая в единицу времени. Средняя мощность определяется по формуле $P_{ср} = \frac{A}{t}$. В условии сказано, что шары достигли поверхности земли за одно и то же время $t$. Средняя мощность для полого шара: $P_{ср,а} = \frac{A_а}{t}$. Средняя мощность для сплошного шара: $P_{ср,б} = \frac{A_б}{t}$. Поскольку $A_б > A_а$ и время падения $t$ одинаково, то средняя мощность, развиваемая силой тяжести при падении сплошного шара, больше, чем у полого: $P_{ср,б} > P_{ср,а}$.
Также можно рассмотреть мгновенную мощность $P = F \cdot v = mgv$. Так как шары падают одинаковое время с одной высоты (что справедливо при пренебрежении сопротивлением воздуха), их скорости $v$ в любой момент времени одинаковы. Поскольку $m_б > m_а$, мгновенная мощность у сплошного шара также будет больше в любой момент падения.

Ответ: Мощность, развиваемая силой тяжести, больше у сплошного шара.