Страница 113 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

30.23° [743°] На рычаге грузы по 1 Н каждый уравновешиваются растянутой пружиной динамометра (рис. IV-21). Определите цену деления динамометра.

Рис. IV-21

Дано:

Вес одного груза, $P_1 = 1 \text{ Н}$
Количество грузов, $n = 2$
Из рисунка:
Плечо силы тяжести грузов, $d_1 = 4$ деления рычага
Плечо силы упругости динамометра, $d_2 = 2$ деления рычага
Количество делений на шкале растянутого динамометра, $N = 4$ деления

Найти:

Цену деления динамометра, $C$ - ?

Решение:

Согласно условию, рычаг находится в равновесии. Это означает, что сумма моментов сил, вращающих рычаг против часовой стрелки, равна сумме моментов сил, вращающих его по часовой стрелке. Это правило моментов:

$M_1 = M_2$

где $M_1$ — это момент силы, создаваемый грузами слева, а $M_2$ — это момент силы, создаваемый динамометром справа. Момент силы рассчитывается по формуле $M = F \cdot d$, где $F$ — сила, а $d$ — плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).

1. Найдем силу $F_1$, действующую на левое плечо рычага. Она равна суммарному весу двух грузов:

$F_1 = n \cdot P_1 = 2 \cdot 1 \text{ Н} = 2 \text{ Н}$

2. Определим плечи сил по рисунку. За единицу длины примем одно деление на рычаге.

Плечо силы $F_1$ равно $d_1 = 4$ деления.
Плечо силы $F_2$, создаваемой динамометром, равно $d_2 = 2$ деления.

3. Запишем уравнение моментов и найдем силу $F_2$, которую показывает динамометр:

$F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2$

$2 \text{ Н} \cdot 4 \text{ деления} = F_2 \cdot 2 \text{ деления}$

Выразим $F_2$:

$F_2 = \frac{2 \text{ Н} \cdot 4 \text{ деления}}{2 \text{ деления}} = 4 \text{ Н}$

Таким образом, сила, которую измеряет динамометр, составляет 4 Н.

4. Теперь определим цену деления динамометра. Цена деления ($C$) — это значение величины, соответствующее одному наименьшему делению шкалы прибора. Из рисунка видно, что показанию в 4 Н соответствуют 4 деления на шкале динамометра ($N=4$).

$C = \frac{F_2}{N}$

$C = \frac{4 \text{ Н}}{4 \text{ деления}} = 1 \text{ Н/деление}$

Ответ: цена деления динамометра равна 1 Н.

30.24° [744°] Груз какой массы надо взять, чтобы, подвесив его к правому плечу рычага в точке у цифры 6 (рис. IV-22), привести рычаг в равновесие?

Рис. IV-22

30.24 Дано:

Масса грузов на левом плече $m_1 = 3 \cdot 100 \text{ г} = 300 \text{ г}$
Плечо силы на левой стороне $l_1 = 3$ дел.
Плечо силы на правой стороне $l_2 = 6$ дел.

Перевод в систему СИ:

$m_1 = 300 \text{ г} = 0.3 \text{ кг}$

Найти:

$m_2$ — массу груза на правом плече.

Решение:

Для того чтобы рычаг находился в состоянии равновесия, необходимо, чтобы моменты сил, вращающих его по часовой стрелке и против часовой стрелки, были равны. Это правило называется правилом моментов.

Момент силы $M$ определяется как произведение модуля силы $F$ на её плечо $l$: $M = F \cdot l$.

Условие равновесия рычага можно записать так:

$M_1 = M_2$

где $M_1$ — момент силы, действующей на левое плечо, а $M_2$ — момент силы, действующей на правое плечо.

Расписав моменты через силы и плечи, получаем:

$F_1 \cdot l_1 = F_2 \cdot l_2$

Силы, действующие на плечи рычага, — это силы тяжести грузов, которые равны $F = m \cdot g$, где $m$ — масса груза, а $g$ — ускорение свободного падения.

Подставим выражения для сил в уравнение равновесия:

$m_1 \cdot g \cdot l_1 = m_2 \cdot g \cdot l_2$

Поскольку ускорение свободного падения $g$ одинаково для обоих плеч, его можно сократить:

$m_1 \cdot l_1 = m_2 \cdot l_2$

На левом плече на расстоянии 3 деления от точки опоры подвешены три груза по 100 г. Их общая масса $m_1$ составляет:

$m_1 = 3 \cdot 100 \text{ г} = 300 \text{ г}$

Теперь выразим искомую массу $m_2$ из уравнения равновесия:

$m_2 = \frac{m_1 \cdot l_1}{l_2}$

Подставим числовые значения:

$m_2 = \frac{300 \text{ г} \cdot 3}{6} = \frac{900 \text{ г}}{6} = 150 \text{ г}$

Ответ: чтобы привести рычаг в равновесие, надо взять груз массой 150 г.

30.25° [745°] Определите цену деления динамометров (рис. IV-23, а, б), если рычаги с подвешенными к их концам грузами по 10 Н каждый находятся в равновесии. (Весом рычагов пренебрегите.)

Рис. IV-23

Дано:

Вес груза $P = 10$ Н

Найти:

Цену деления динамометров $Ц.Д._а$, $Ц.Д._б$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся правилом равновесия рычага: рычаг находится в равновесии, когда моменты сил, вращающих его по часовой стрелке, равны моментам сил, вращающих его против часовой стрелки. Момент силы $M$ равен произведению силы $F$ на ее плечо $l$: $M = F \cdot l$. Плечо силы — это кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы.

а) Рассмотрим рычаг на рисунке а). Ось вращения (точка опоры) находится в левом конце рычага. На рычаг действуют две силы: сила тяжести груза $P=10$ Н, направленная вниз, и сила упругости динамометра $F_a$, также направленная вниз.
Пусть длина одного деления на рычаге равна $x$.
Плечо силы тяжести груза $l_P$ — это расстояние от оси вращения до точки подвеса груза. Из рисунка видно, что $l_P = 5x$. Эта сила создает момент, вращающий рычаг по часовой стрелке.
Плечо силы динамометра $l_a$ — это расстояние от оси вращения до точки крепления динамометра. Из рисунка видно, что $l_a = 1x = x$. Эта сила должна уравновешивать момент от груза, но в данной схеме обе силы создают моменты в одну сторону. Однако, судя по рисунку, динамометр не создает момент, а измеряет силу реакции опоры, но прикреплен не к опоре. Вероятнее всего, в условии имеется в виду классический рычаг, и динамометр приложен к рычагу, создавая уравновешивающую силу, а опора находится между силами, или же опора на одном конце, а силы на другом. В схеме а) опора находится на левом краю, сила от груза приложена на расстоянии $5x$, а динамометр на расстоянии $1x$. Чтобы система была в равновесии, сила динамометра должна быть направлена вверх. Но динамометр пружинный, и его растяжение говорит о силе, действующей вниз. Это означает, что опора находится не на краю, а в точке крепления динамометра, и сам динамометр измеряет силу реакции опоры.
Давайте пересмотрим условие: рычаг в равновесии, динамометр измеряет силу. Наиболее вероятная интерпретация рисунка а): точка опоры - это шарнир слева. Сила от груза $P$ создает вращающий момент. Уравновешивающая сила приложена рукой, которая тянет динамометр вниз. Таким образом, динамометр измеряет силу, которую прикладывает рука. Запишем уравнение моментов относительно точки опоры:
Момент силы груза: $M_P = P \cdot l_P = 10 \text{ Н} \cdot 5x$.
Момент силы динамометра: $M_a = F_a \cdot l_a = F_a \cdot x$.
Для равновесия моменты должны быть равны: $P \cdot l_P = F_a \cdot l_a$.
$10 \cdot 5x = F_a \cdot x$
Отсюда находим силу, которую показывает динамометр:
$F_a = 50 \text{ Н}$
На шкале динамометра мы видим 5 закрашенных делений. Это означает, что силе в 50 Н соответствуют 5 делений.
Цена деления динамометра $Ц.Д._а$ равна:
$Ц.Д._а = \frac{F_a}{\text{n}_a} = \frac{50 \text{ Н}}{5 \text{ дел.}} = 10 \text{ Н/дел.}$

Ответ: цена деления динамометра на рисунке а) равна 10 Н/дел.

б) Рассмотрим рычаг на рисунке б). Ось вращения (точка опоры) находится в правом конце рычага, где он упирается в подставку. На рычаг действуют две силы: сила тяжести груза $P=10$ Н, направленная вниз, и сила упругости динамометра $F_б$, направленная вверх.
Пусть длина одного деления на рычаге также равна $x$.
Плечо силы тяжести груза $l_P$ — это расстояние от оси вращения до точки подвеса груза. Из рисунка видно, что $l_P = 4x$. Эта сила создает момент, вращающий рычаг против часовой стрелки.
Плечо силы динамометра $l_б$ — это расстояние от оси вращения до точки крепления динамометра. Из рисунка видно, что $l_б = 2x$. Эта сила создает момент, вращающий рычаг по часовой стрелке.
Запишем условие равновесия рычага (равенство моментов):
$P \cdot l_P = F_б \cdot l_б$
$10 \text{ Н} \cdot 4x = F_б \cdot 2x$
Отсюда находим силу, которую показывает динамометр:
$F_б = \frac{10 \text{ Н} \cdot 4x}{2x} = 20 \text{ Н}$
На шкале динамометра мы видим 4 закрашенных деления. Это означает, что силе в 20 Н соответствуют 4 деления.
Цена деления динамометра $Ц.Д._б$ равна:
$Ц.Д._б = \frac{F_б}{\text{n}_б} = \frac{20 \text{ Н}}{4 \text{ дел.}} = 5 \text{ Н/дел.}$

Ответ: цена деления динамометра на рисунке б) равна 5 Н/дел.

$30.26^\circ [746^\circ]$

С какой силой натянута пружина динамометра (см. рис. IV-14, ж), если вес каждого груза равен $1 \text{ H}$?

Дано:

Вес каждого груза $P = 1 \text{ Н}$

Данные предоставлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

Силу натяжения пружины динамометра $F_{нат}$ - ?

Решение:

В данной задаче динамометр находится в состоянии равновесия. К его концам через систему невесомых нитей и идеальных блоков (без трения) приложены два груза.

Рассмотрим силы, действующие на один из грузов (например, правый). На него действуют две силы: сила тяжести (его вес) $P$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $T$, направленная вертикально вверх. Так как груз находится в равновесии (покоится), то согласно первому закону Ньютона, векторная сумма сил, действующих на него, равна нулю. В проекции на вертикальную ось это означает, что силы равны по модулю:

$T = P$

Подставим известное значение веса груза:

$T = 1 \text{ Н}$

Сила натяжения $T$ передается по всей длине нити и действует на крючок динамометра, растягивая его. Аналогично, второй груз создает такую же по модулю силу натяжения $T = 1 \text{ Н}$, которая действует на корпус динамометра в противоположном направлении.

Динамометр измеряет силу упругости, возникающую в его пружине под действием растягивающей силы. Показания динамометра равны модулю силы, приложенной к одному из его концов (к крючку или к корпусу). Сила, приложенная к другому концу, выполняет роль опоры, без которой растяжение пружины было бы невозможно. Ситуация полностью аналогична тому, как если бы динамометр одним концом закрепили на стене, а за другой потянули с силой 1 Н. В этом случае стена бы действовала на динамометр с силой 1 Н, а его показания были бы равны 1 Н.

Таким образом, сила натяжения пружины динамометра $F_{нат}$ равна силе натяжения нити $T$.

$F_{нат} = T = 1 \text{ Н}$

Следует отметить, что показания динамометра в данном случае не равны сумме весов двух грузов (2 Н). Динамометр измеряет силу натяжения, а не суммарную силу, приложенную к системе.

Ответ:

Сила, с которой натянута пружина динамометра, равна 1 Н.

30.27 [747] Длина меньшего плеча рычага равна 5 см, большего — 30 см. На меньшее плечо действует сила 12 Н. Какую силу надо приложить к большему плечу, чтобы уравновесить рычаг? Сделайте рисунок. (Весом рычага пренебрегите.)

Дано:

Найти:

$F_2$ — ?

Решение:

Согласно условию, весом рычага можно пренебречь. Для того чтобы рычаг находился в равновесии, моменты сил, вращающих его, должны уравновешивать друг друга. Это условие известно как правило моментов.

Момент силы ($M$) — это произведение модуля силы ($F$) на её плечо ($l$):

$$M = F \cdot l$$

В данной задаче на меньшее плечо $l_1$ действует сила $F_1$, создавая момент $M_1$. На большее плечо $l_2$ действует искомая сила $F_2$, создавая момент $M_2$. Условие равновесия рычага записывается как равенство моментов этих сил:

$$M_1 = M_2$$

Распишем это равенство через силы и плечи:

$$F_1 \cdot l_1 = F_2 \cdot l_2$$

Из этого уравнения выразим силу $F_2$, которую необходимо приложить к большему плечу, чтобы уравновесить рычаг:

$$F_2 = \frac{F_1 \cdot l_1}{l_2}$$

Теперь подставим в формулу числовые значения. Обратите внимание, что при расчете отношения плеч можно использовать их длины в сантиметрах, так как единицы измерения сократятся.

$$F_2 = \frac{12 \text{ Н} \cdot 5 \text{ см}}{30 \text{ см}} = \frac{60}{30} \text{ Н} = 2 \text{ Н}$$

Проверим расчет, используя значения в системе СИ:

$$F_2 = \frac{12 \text{ Н} \cdot 0.05 \text{ м}}{0.3 \text{ м}} = \frac{0.6}{0.3} \text{ Н} = 2 \text{ Н}$$

Результаты совпадают.

Рисунок, иллюстрирующий условие задачи:

Ответ:чтобы уравновесить рычаг, к большему плечу надо приложить силу 2 Н.

30.28 [748] При помощи кусачек перекусывают гвоздь. Расстояние от оси вращения кусачек до гвоздя равно 2 см, а до точки приложения силы руки — 16 см. Рука сжимает кусачки с силой 200 Н. Определите силу, действующую на гвоздь.

Дано:

$d_1 = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

$d_2 = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

$F_2 = 200 \text{ Н}$

Найти:

$F_1$ - ?

Решение:

Кусачки в данном случае работают как рычаг первого рода, где точкой опоры является ось вращения. Для такого рычага в состоянии равновесия выполняется правило моментов: момент силы, приложенной рукой, равен моменту силы сопротивления, действующей со стороны гвоздя.

Момент силы ($M$) вычисляется как произведение модуля силы ($F$) на ее плечо ($d$):

$M = F \cdot d$

Пусть $F_1$ — сила, действующая на гвоздь, а $d_1$ — её плечо (расстояние от оси вращения до гвоздя). Тогда момент силы сопротивления гвоздя равен $M_1 = F_1 \cdot d_1$.

Пусть $F_2$ — сила, сжимающая ручки кусачек, а $d_2$ — её плечо (расстояние от оси вращения до точки приложения силы руки). Тогда момент силы, создаваемый рукой, равен $M_2 = F_2 \cdot d_2$.

Согласно правилу моментов:

$M_1 = M_2$

$F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2$

Из этого уравнения выразим искомую силу $F_1$, действующую на гвоздь:

$F_1 = \frac{F_2 \cdot d_2}{d_1}$

Теперь подставим известные значения в формулу. Для удобства можно использовать значения расстояний как в сантиметрах, так и в метрах, поскольку их отношение будет одинаковым.

Используя значения в системе СИ:

$F_1 = \frac{200 \text{ Н} \cdot 0.16 \text{ м}}{0.02 \text{ м}} = 1600 \text{ Н}$

Кусачки дают выигрыш в силе в $\frac{d_2}{d_1} = \frac{16}{2} = 8$ раз. Таким образом, приложенная сила в $200 \text{ Н}$ преобразуется в силу $200 \text{ Н} \cdot 8 = 1600 \text{ Н}$ на режущих кромках.

Ответ: сила, действующая на гвоздь, равна $1600 \text{ Н}$.

30.29 [749] С какой силой натянута мышца (бицепс) при подъёме ядра весом 80 Н (см. рис. IV-14, г), если расстояние от центра ядра до локтя равно 32 см, а от локтя до места закрепления мышцы (в нижней её части) 4 см?

Дано:

Найти:

Силу натяжения мышцы, $F$.

Решение:

Руку с ядром можно рассматривать как рычаг, ось вращения которого проходит через локтевой сустав. На этот рычаг действуют две основные силы, создающие вращающие моменты: сила тяжести ядра ($P$), направленная вниз, и сила натяжения бицепса ($F$), направленная вверх.

Для того чтобы рука находилась в равновесии (удерживала ядро), моменты этих сил относительно оси вращения (локтя) должны уравновешивать друг друга. Момент силы ($M$) вычисляется по формуле $M = \text{Сила} \times \text{Плечо}$.

Момент, создаваемый весом ядра, равен $M_1 = P \cdot l_1$. Этот момент стремится повернуть предплечье по часовой стрелке.

Момент, создаваемый силой натяжения мышцы, равен $M_2 = F \cdot l_2$. Этот момент стремится повернуть предплечье против часовой стрелки.

Запишем условие равновесия рычага (равенство моментов):

$M_1 = M_2$

$P \cdot l_1 = F \cdot l_2$

Из этого уравнения выразим искомую силу натяжения мышцы $F$:

$F = \frac{P \cdot l_1}{l_2}$

Теперь подставим числовые значения в формулу:

$F = \frac{80 \text{ Н} \cdot 0.32 \text{ м}}{0.04 \text{ м}} = \frac{25.6 \text{ Н} \cdot \text{м}}{0.04 \text{ м}} = 640 \text{ Н}$

Ответ: сила, с которой натянута мышца, равна $640 \text{ Н}$.

30.30 [750] При равновесии рычага на его меньшее плечо действует сила 300 Н, на большее — 20 Н. Длина меньшего плеча 5 см. Определите длину большего плеча. (Весом рычага пренебрегите.)

Дано:

Сила, действующая на меньшее плечо, $F_1 = 300$ Н
Сила, действующая на большее плечо, $F_2 = 20$ Н
Длина меньшего плеча, $l_1 = 5$ см

$l_1 = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Длину большего плеча, $l_2$

Решение:

Согласно условию, рычаг находится в равновесии. Условие равновесия рычага (правило моментов) гласит, что моменты сил, вращающих рычаг по часовой стрелке, равны моментам сил, вращающих его против часовой стрелки. Момент силы ($M$) определяется как произведение силы ($F$) на плечо ($l$).

Запишем уравнение моментов для данного рычага:

$M_1 = M_2$

где $M_1$ — момент силы, действующей на меньшее плечо, а $M_2$ — момент силы, действующей на большее плечо.

$F_1 \cdot l_1 = F_2 \cdot l_2$

Из этой формулы выразим длину большего плеча $l_2$:

$l_2 = \frac{F_1 \cdot l_1}{F_2}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$l_2 = \frac{300 \text{ Н} \cdot 0.05 \text{ м}}{20 \text{ Н}} = \frac{15}{20} \text{ м} = 0.75 \text{ м}$

Длину большего плеча можно также выразить в сантиметрах: $0.75 \text{ м} = 75 \text{ см}$.

Ответ: длина большего плеча равна 0,75 м (или 75 см).