Страница 119 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

31.22* [777*] На наклонной плоскости с углом 30° при основании находится брусок массой 1 кг (рис. IV-41). Гиря такой же массы соединена с бруском при помощи невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через легкий блок. Определите ускорение, с которым движутся оба тела, и силу натяжения нити. (Трение не учитывайте.)

Рис. IV-41

Дано:

угол наклона плоскости $\alpha = 30^\circ$
масса бруска $m_1 = 1 \text{ кг}$
масса гири $m_2 = 1 \text{ кг}$
ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

ускорение тел $a - ?$
силу натяжения нити $T - ?$

Решение:

Система состоит из двух тел, соединенных нерастяжимой и невесомой нитью, перекинутой через легкий блок. Это означает, что оба тела движутся с одинаковым по модулю ускорением $a$, и сила натяжения нити $T$ одинакова по всей ее длине. Трением пренебрегаем.

Рассмотрим силы, действующие на каждое тело. На брусок $m_1$, находящийся на наклонной плоскости, действуют: сила тяжести $m_1g$ (направлена вертикально вниз), сила нормальной реакции опоры $N$ (перпендикулярна наклонной плоскости) и сила натяжения нити $T$ (направлена вверх вдоль наклонной плоскости). На гирю $m_2$ действуют: сила тяжести $m_2g$ (направлена вертикально вниз) и сила натяжения нити $T$ (направлена вертикально вверх).

Чтобы определить направление движения, сравним силу, тянущую гирю вниз ($m_2g$), и составляющую силы тяжести, тянущую брусок вниз по наклонной плоскости ($m_1g \sin\alpha$):
$F_{гири} = m_2g = 1 \text{ кг} \cdot g = g$
$F_{бруска} = m_1g \sin\alpha = 1 \text{ кг} \cdot g \cdot \sin(30^\circ) = g \cdot 0.5 = 0.5g$
Так как $F_{гири} > F_{бруска}$, гиря $m_2$ будет опускаться, а брусок $m_1$ — подниматься по наклонной плоскости. Ускорение $a$ будет направлено вверх по наклонной плоскости для $m_1$ и вниз для $m_2$.

Запишем второй закон Ньютона для каждого тела в проекциях на оси движения.

Для бруска $m_1$ (ось направлена вверх вдоль наклонной плоскости):
$T - m_1g \sin\alpha = m_1a$ (1)

Для гири $m_2$ (ось направлена вертикально вниз):
$m_2g - T = m_2a$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $T$. Сложим уравнения (1) и (2), чтобы исключить $T$:
$(T - m_1g \sin\alpha) + (m_2g - T) = m_1a + m_2a$
$m_2g - m_1g \sin\alpha = a(m_1 + m_2)$

Отсюда выразим ускорение $a$:
$a = \frac{g(m_2 - m_1 \sin\alpha)}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения, учитывая, что $m_1 = m_2 = 1 \text{ кг}$:
$a = \frac{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot (1 \text{ кг} - 1 \text{ кг} \cdot \sin(30^\circ))}{1 \text{ кг} + 1 \text{ кг}} = \frac{9.8 \cdot (1 - 0.5)}{2} = \frac{9.8 \cdot 0.5}{2} = \frac{4.9}{2} = 2.45 \text{ м/с}^2$

Теперь найдем силу натяжения нити $T$. Выразим ее из уравнения (2):
$T = m_2g - m_2a = m_2(g - a)$

Подставим числовые значения:
$T = 1 \text{ кг} \cdot (9.8 \text{ м/с}^2 - 2.45 \text{ м/с}^2) = 1 \cdot 7.35 = 7.35 \text{ Н}$

Ответ: ускорение тел равно $2.45 \text{ м/с}^2$, сила натяжения нити равна $7.35 \text{ Н}$.

31.23* [778*] Два тела соединены невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через лёгкий блок (см. рис. IV-40). Масса тела $B$ равна $2$ кг. Коэффициент трения тела $B$ о горизонтальную поверхность равен $0,1$. Какой массой обладает тело $A$, если оба тела движутся равномерно?

Дано:

Масса тела B, $m_B = 2 \text{ кг}$
Коэффициент трения тела B о поверхность, $\mu = 0,1$
Движение тел равномерное, следовательно, их ускорение $a = 0$.

Найти:

Массу тела A, $m_A$.

Решение:

Так как система тел движется равномерно, то согласно первому закону Ньютона, равнодействующая всех сил, приложенных к каждому из тел, равна нулю. Рассмотрим силы, действующие на каждое тело в отдельности.

На тело A (которое висит) действуют две силы:

• Сила тяжести $F_{gA} = m_A g$, направленная вертикально вниз.
• Сила натяжения нити $T$, направленная вертикально вверх.

Запишем уравнение второго закона Ньютона для тела A в проекции на вертикальную ось OY, направленную вверх:

$T - m_A g = 0$

Отсюда получаем, что сила натяжения нити уравновешивает силу тяжести тела A:

$T = m_A g$ (1)

На тело B (которое на горизонтальной поверхности) действуют четыре силы:

• Сила тяжести $F_{gB} = m_B g$, направленная вертикально вниз.
• Сила нормальной реакции опоры $N$, направленная вертикально вверх.
• Сила натяжения нити $T$, направленная горизонтально в сторону движения.
• Сила трения скольжения $F_{тр}$, направленная горизонтально против движения.

Запишем уравнения второго закона Ньютона для тела B в проекциях на вертикальную (OY) и горизонтальную (OX) оси.

В проекции на ось OY:

$N - m_B g = 0$

Отсюда сила нормальной реакции опоры равна силе тяжести тела B:

$N = m_B g$ (2)

В проекции на ось OX:

$T - F_{тр} = 0$

Отсюда сила натяжения нити равна силе трения:

$T = F_{тр}$ (3)

Сила трения скольжения вычисляется по формуле $F_{тр} = \mu N$. Подставим в эту формулу выражение для $N$ из уравнения (2):

$F_{тр} = \mu m_B g$ (4)

Теперь, используя уравнения (1), (3) и (4), мы можем составить одно общее равенство, так как сила натяжения $T$ одинакова для обоих тел (поскольку нить невесома и нерастяжима, а блок идеален):

$m_A g = T = F_{тр} = \mu m_B g$

Из этого следует:

$m_A g = \mu m_B g$

Сокращаем обе части уравнения на ускорение свободного падения $g$:

$m_A = \mu m_B$

Подставим известные числовые значения в полученную формулу:

$m_A = 0,1 \cdot 2 \text{ кг} = 0,2 \text{ кг}$

Ответ: масса тела A должна быть равна $0,2 \text{ кг}$.

31.24* [779*] К пружинным весам (рис. IV-42) подвешен блок. Через блок перекинут нерастяжимый шнур, Рис. IV-42 Рис. IV-43 к концам которого привязаны грузы массами 1 кг и 2 кг. Какой вес будут регистрировать пружинные весы во время движения грузов? (Вес блока и шнура не учитывайте.)

Рис. IV-42

Дано:

Масса первого груза, $m_1 = 1 \text{ кг}$

Масса второго груза, $m_2 = 2 \text{ кг}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Вес блока и шнура не учитывается.

Найти:

Вес (показания пружинных весов), $P - ?$

Решение:

Пружинные весы измеряют силу упругости, возникающую в пружине. Согласно третьему закону Ньютона, эта сила равна по модулю силе, с которой на весы действует подвешенная система. Система состоит из блока, через который перекинут шнур с двумя грузами. Поскольку блок и шнур невесомы, сила, действующая на весы, равна сумме сил натяжения шнура с обеих сторон блока. Обозначим силу натяжения шнура как $T$. Так как шнур идеален (нерастяжим и невесом) и трение в блоке отсутствует, сила натяжения одинакова по всей длине шнура. Таким образом, показания весов будут равны:

$P = 2T$

Чтобы найти силу натяжения $T$, рассмотрим движение грузов. Так как масса $m_2$ больше массы $m_1$, груз $m_2$ будет опускаться с ускорением $a$, а груз $m_1$ будет подниматься с таким же по модулю ускорением $a$.

Запишем второй закон Ньютона для каждого груза в проекции на вертикальную ось. Направим ось OY вверх.

Для груза массой $m_1$:

$\sum F_1 = T - m_1g = m_1a \quad (1)$

Для груза массой $m_2$:

$\sum F_2 = T - m_2g = -m_2a \quad (2)$

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $a$ и $T$. Решим эту систему, чтобы найти $T$. Проще всего сначала найти ускорение $a$. Для этого выразим $T$ из обоих уравнений и приравняем:

Из (1): $T = m_1a + m_1g$

Из (2): $T = m_2g - m_2a$

$m_1a + m_1g = m_2g - m_2a$

$m_1a + m_2a = m_2g - m_1g$

$a(m_1 + m_2) = g(m_2 - m_1)$

Отсюда находим ускорение системы:

$a = g \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}$

Теперь подставим найденное ускорение $a$ в выражение для $T$ из первого уравнения:

$T = m_1(a + g) = m_1 \left( g \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} + g \right)$

$T = m_1g \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} + 1 \right) = m_1g \left( \frac{m_2 - m_1 + m_1 + m_2}{m_1 + m_2} \right)$

$T = m_1g \frac{2m_2}{m_1 + m_2} = \frac{2m_1m_2g}{m_1 + m_2}$

Теперь мы можем вычислить показания весов $P$:

$P = 2T = 2 \cdot \frac{2m_1m_2g}{m_1 + m_2} = \frac{4m_1m_2g}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$P = \frac{4 \cdot 1 \text{ кг} \cdot 2 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{1 \text{ кг} + 2 \text{ кг}} = \frac{8 \cdot 9.8}{3} \text{ Н} = \frac{78.4}{3} \text{ Н} \approx 26.133... \text{ Н}$

Округлим результат до сотых.

Ответ: Вес, который будут регистрировать пружинные весы, равен $P = \frac{78.4}{3} \text{ Н} \approx 26.13 \text{ Н}$.

31.25* [780*] При помощи подвижного блока поднимают груз на высоту $4 \text{ м}$, прилагая силу $100 \text{ Н}$. Вес блока $20 \text{ Н}$, вес груза $165 \text{ Н}$. Какую дополнительную работу надо совершить, чтобы с помощью указанного блока поднять груз на высоту $4 \text{ м}$?

Дано:

Высота подъема груза, $h = 4$ м
Прилагаемая сила, $F = 100$ Н
Вес блока, $P_{бл} = 20$ Н
Вес груза, $P_{гр} = 165$ Н

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Дополнительная работа, $A_{доп}$

Решение:

При подъеме груза с помощью подвижного блока совершается работа по приложению силы $F$ на некотором расстоянии $s$. Подвижный блок дает выигрыш в силе в 2 раза, но проигрыш в расстоянии также в 2 раза. Это означает, что для подъема груза на высоту $h$, необходимо вытянуть веревку на расстояние $s$, равное:

$s = 2h$

$s = 2 \cdot 4 \, \text{м} = 8 \, \text{м}$

Полная (или затраченная) работа $A_{затр}$, совершенная приложенной силой $F$, вычисляется как произведение этой силы на пройденное расстояние $s$:

$A_{затр} = F \cdot s = 100 \, \text{Н} \cdot 8 \, \text{м} = 800 \, \text{Дж}$

Эта работа расходуется на совершение полезной работы по подъему груза ($A_{полезн}$), работы по подъему самого блока ($A_{бл}$) и дополнительной работы ($A_{доп}$), которая идет на преодоление силы трения в оси блока.

Полезная работа по подъему груза:

$A_{полезн} = P_{гр} \cdot h = 165 \, \text{Н} \cdot 4 \, \text{м} = 660 \, \text{Дж}$

Работа по подъему блока:

$A_{бл} = P_{бл} \cdot h = 20 \, \text{Н} \cdot 4 \, \text{м} = 80 \, \text{Дж}$

Согласно закону сохранения энергии, затраченная работа равна сумме полезной работы, работы по подъему блока и дополнительной работы (работы против сил трения):

$A_{затр} = A_{полезн} + A_{бл} + A_{доп}$

Отсюда можем найти дополнительную работу:

$A_{доп} = A_{затр} - A_{полезн} - A_{бл}$

$A_{доп} = 800 \, \text{Дж} - 660 \, \text{Дж} - 80 \, \text{Дж} = 60 \, \text{Дж}$

Ответ: дополнительная работа, которую надо совершить, составляет 60 Дж.

31.26* [781*] На опоре стоит рабочий и с помощью блока равномерно поднимает груз, вес которого равен 480 Н (рис. IV-43). Вычислите давление, производимое рабочим на опору, если вес рабочего равен 720 Н, а площадь ступней составляет 320 $см^2$. (Трение и вес блока не учитывайте.)

Рис. IV-43

Дано:

Вес груза $P_{г} = 480$ Н

Вес рабочего $P_{р} = 720$ Н

Площадь ступней $S = 320 \text{ см}^2$

Найти:

Давление $p$

Решение:

Рабочий поднимает груз с помощью подвижного блока. Подвижный блок дает выигрыш в силе в 2 раза (при условии, что трение и вес блока не учитываются). Следовательно, для равномерного подъема груза рабочий должен прикладывать к веревке силу $F_{тяги}$, равную половине веса груза $P_{г}$.

$F_{тяги} = \frac{P_{г}}{2}$

Рассчитаем эту силу:

$F_{тяги} = \frac{480 \text{ Н}}{2} = 240 \text{ Н}$

Согласно третьему закону Ньютона, сила действия равна силе противодействия. Это означает, что веревка тянет рабочего вверх с силой, равной по модулю и противоположной по направлению силе, с которой рабочий тянет веревку вниз. Эта направленная вверх сила уменьшает вес, с которым рабочий давит на опору.

Сила $F$, с которой рабочий давит на опору, будет равна его собственному весу $P_{р}$ минус сила натяжения веревки $F_{тяги}$:

$F = P_{р} - F_{тяги}$

Подставим числовые значения для нахождения силы давления на опору:

$F = 720 \text{ Н} - 240 \text{ Н} = 480 \text{ Н}$

Давление $p$ определяется по формуле как отношение силы $F$, действующей перпендикулярно поверхности, к площади этой поверхности $S$:

$p = \frac{F}{S}$

Вычислим давление, используя найденную силу и площадь ступней, переведенную в систему СИ (квадратные метры):

$p = \frac{480 \text{ Н}}{0,032 \text{ м}^2} = 15000 \text{ Па}$

Результат можно также выразить в килопаскалях: $15000 \text{ Па} = 15 \text{ кПа}$.

Ответ: давление, производимое рабочим на опору, равно 15000 Па.

31.27* [782*] Поднимая при помощи подвижного блока ведро с песком общим весом 200 Н на высоту 5 м, производят работу 1020 Дж. Какую часть (в процентах) составляет энергия, которая была затрачена непроизводительно?

Дано:

Найти:

Решение:

1. Сначала вычислим полезную работу ($A_{полезн}$), которая заключается в подъеме ведра с песком на определенную высоту. Полезная работа равна произведению веса груза на высоту подъема.

$A_{полезн} = P \cdot h$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$A_{полезн} = 200 \, \text{Н} \cdot 5 \, \text{м} = 1000 \, \text{Дж}$

2. Полная работа ($A_{полн}$), которая была совершена, складывается из полезной работы и непроизводительно затраченной энергии ($A_{потерь}$), которая пошла на преодоление трения в блоке и подъем самого блока.

$A_{полн} = A_{полезн} + A_{потерь}$

3. Из этой формулы мы можем выразить и найти непроизводительно затраченную энергию:

$A_{потерь} = A_{полн} - A_{полезн}$

Подставим известные значения полной и вычисленной полезной работы:

$A_{потерь} = 1020 \, \text{Дж} - 1000 \, \text{Дж} = 20 \, \text{Дж}$

4. Теперь определим, какую часть в процентах составляет непроизводительно затраченная энергия от полной работы. Для этого необходимо разделить величину потерь на полную работу и результат умножить на 100%.

$\text{Доля потерь} (\%) = \frac{A_{потерь}}{A_{полн}} \cdot 100\%$

$\text{Доля потерь} (\%) = \frac{20 \, \text{Дж}}{1020 \, \text{Дж}} \cdot 100\% = \frac{2}{102} \cdot 100\% \approx 1.96\%$

Ответ: непроизводительно затраченная энергия составляет примерно 1.96% от всей произведенной работы.