Страница 125 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

34.6 [808] Почему в походе опытный турист предпочитает перешагнуть через упавшее дерево, вместо того чтобы сначала наступить на него, а затем спрыгнуть?

Решение

Опытный турист предпочитает перешагнуть через упавшее дерево, а не наступать на него с последующим спрыгиванием, по двум основным физическим причинам: для экономии сил (энергии) и для обеспечения безопасности.

1. Экономия энергии. С точки зрения механики, чтобы залезть на дерево высотой $h$, туристу массой $m$ (включая массу рюкзака) необходимо совершить работу против силы тяжести, которая идет на увеличение его потенциальной энергии: $A_1 = mgh$, где $g$ – ускорение свободного падения. Это требует значительных затрат энергии. При перешагивании же турист поднимает свой общий центр масс на гораздо меньшую высоту, чем $h$. Основную работу совершают мышцы ног, поднимая их поочередно, а тело лишь незначительно приподнимается. Таким образом, работа, совершаемая при перешагивании, $A_2$, оказывается существенно меньше, чем работа при подъеме на дерево ($A_2 \ll mgh$). Это позволяет сохранить силы, что критически важно в походе.

2. Безопасность. Этот фактор является еще более важным. Во-первых, упавший ствол дерева может быть неустойчивым, трухлявым или скользким (из-за дождя, мха), и попытка наступить на него может закончиться падением и травмой. Во-вторых, при спрыгивании с высоты $h$ вся накопленная потенциальная энергия ($E_p = mgh$) переходит в кинетическую. В момент приземления эту энергию необходимо погасить за очень короткий промежуток времени. Это создает большую ударную нагрузку на суставы (особенно голеностопные и коленные) и позвоночник. Сила удара может многократно превышать вес туриста, что чревато растяжениями, вывихами или даже переломами. Наличие тяжелого рюкзака усугубляет ситуацию, так как увеличивает массу $m$ и, следовательно, энергию удара. Перешагивание — это плавное, контролируемое движение, при котором ударные нагрузки минимальны, а опора всегда остается надежной.

Ответ: Опытный турист перешагивает через упавшее дерево, чтобы сэкономить силы (совершить меньшую работу) и избежать травм. Подъем на дерево и последующее спрыгивание — это более энергозатратный процесс, который к тому же создает опасную ударную нагрузку на суставы и позвоночник, особенно с тяжелым рюкзаком. Кроме того, ствол дерева может быть ненадежной опорой.

34.7 [809] На сколько увеличилась потенциальная энергия мальчика массой 48 кг, который поднялся по лестнице своего дома на высоту 10 м?

Дано:

Масса мальчика, $m = 48$ кг
Высота подъема, $h = 10$ м

Найти:

Увеличение потенциальной энергии, $\Delta E_p$

Решение:

Потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью Земли, определяется по формуле: $ E_p = m \cdot g \cdot h $ где $m$ — масса тела, $g$ — ускорение свободного падения, $h$ — высота над нулевым уровнем.

Увеличение потенциальной энергии ($\Delta E_p$) равно разности между конечной ($E_{p2}$) и начальной ($E_{p1}$) потенциальной энергией. Если принять начальную высоту равной нулю ($h_1=0$), то начальная потенциальная энергия также равна нулю ($E_{p1}=0$). Конечная высота $h_2 = 10$ м.

Тогда увеличение потенциальной энергии будет равно потенциальной энергии на конечной высоте: $ \Delta E_p = E_{p2} - E_{p1} = mgh_2 - 0 = mgh $

В качестве значения ускорения свободного падения $g$ примем стандартную величину, приблизительно равную $9.8$ Н/кг (или м/с²).

Теперь подставим числовые значения в формулу: $ \Delta E_p = 48 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 10 \text{ м} $

Произведем расчет: $ \Delta E_p = 470.4 \cdot 10 = 4704 \text{ Дж} $

Это значение можно также выразить в килоджоулях (кДж): $ 4704 \text{ Дж} = 4.704 \text{ кДж} $

Ответ: потенциальная энергия мальчика увеличилась на $4704$ Дж.

34.8 [810] Семиклассница ростом $162 \text{ см}$ подняла свой учебник физики массой $315 \text{ г}$ на высоту $1,94 \text{ м}$ над полом. Чему равна потенциальная энергия книги относительно пола? относительно макушки девочки?

Дано:

Найти:

Решение:

Потенциальная энергия тела, поднятого над некоторым нулевым уровнем, вычисляется по формуле:
$E_p = mgh$
где $m$ – масса тела, $g$ – ускорение свободного падения, $h$ – высота тела над нулевым уровнем.

относительно пола?

В этом случае за нулевой уровень принимается пол. Высота книги над полом дана в условии и составляет $h_1 = 1,94$ м.
Рассчитаем потенциальную энергию:
$E_{p1} = m \cdot g \cdot h_1 = 0,315 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 1,94 \text{ м} \approx 5,99 \text{ Дж}$

Ответ: потенциальная энергия книги относительно пола равна примерно 5,99 Дж.

относительно макушки девочки?

В этом случае за нулевой уровень принимается макушка девочки, которая находится на высоте $h_д = 1,62$ м от пола.
Чтобы найти потенциальную энергию книги относительно макушки, нужно найти высоту книги над макушкой девочки. Эта высота $h_2$ будет разностью высоты книги над полом и роста девочки:
$h_2 = h_1 - h_д = 1,94 \text{ м} - 1,62 \text{ м} = 0,32 \text{ м}$
Теперь рассчитаем потенциальную энергию относительно макушки девочки:
$E_{p2} = m \cdot g \cdot h_2 = 0,315 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0,32 \text{ м} \approx 0,99 \text{ Дж}$

Ответ: потенциальная энергия книги относительно макушки девочки равна примерно 0,99 Дж.

34.9 [811] Дверь с пружиной закрывается автоматически. За счёт какой энергии производится работа при открывании дверей?

34.9 [811]

Решение

Когда человек или какой-либо другой внешний объект открывает дверь, к ней прикладывается сила, которая перемещает дверь на определенное расстояние. Совершение работы $A$ силой $F$ на перемещении $s$ означает, что была затрачена энергия. В данном случае работа совершается против силы упругости, создаваемой пружиной.

Согласно закону сохранения энергии, работа, совершённая внешней силой над системой (дверь + пружина), переходит в изменение энергии этой системы. При открывании двери пружина растягивается или сжимается, то есть деформируется. В результате этого в пружине накапливается потенциальная энергия упругой деформации. Эта энергия может быть рассчитана по формуле:

$E_п = \frac{kx^2}{2}$

где $k$ – это коэффициент жесткости пружины, а $x$ – величина её деформации (растяжения или сжатия).

Источником энергии для совершения этой работы является тот, кто открывает дверь, например, человек. Мышцы человека, сокращаясь, преобразуют внутреннюю энергию тела (которая, в свою очередь, является химической энергией, полученной из пищи) в механическую работу.

Таким образом, работа при открывании двери производится за счёт внутренней энергии человека (или другого внешнего источника). Эта работа не исчезает, а запасается в виде потенциальной энергии пружины. Именно эта запасённая энергия затем совершает работу по автоматическому закрыванию двери, переходя в кинетическую энергию движущейся двери.

Ответ: работа при открывании дверей производится за счёт внутренней энергии человека (или другого внешнего тела), который открывает дверь. Эта энергия преобразуется в потенциальную энергию упруго деформированной пружины.

34.10 [812] Как меняется потенциальная энергия воздуха в футбольном мяче при ударе по мячу ногой?

34.10 [812]

При ударе ногой по футбольному мячу его оболочка деформируется, что приводит к кратковременному сжатию воздуха внутри. Рассмотрим, как это сжатие влияет на потенциальную энергию воздуха.

Внутренняя энергия любого реального газа, в том числе и воздуха, состоит из двух основных частей: кинетической энергии хаотического движения его молекул и потенциальной энергии их взаимодействия. Потенциальная энергия обусловлена силами притяжения и отталкивания между молекулами. Внутреннюю энергию $U$ можно представить как сумму кинетической $E_k$ и потенциальной $E_p$ энергий: $U = E_k + E_p$.

В газообразном состоянии молекулы находятся на относительно больших расстояниях друг от друга, и между ними преобладают силы межмолекулярного притяжения (силы Ван-дер-Ваальса). При сжатии воздуха в мяче среднее расстояние между молекулами уменьшается. Когда частицы сближаются под действием сил притяжения, их потенциальная энергия взаимодействия уменьшается (по аналогии с гравитационной потенциальной энергией, которая уменьшается при сближении тел).

Работа, совершаемая при ударе, идет на увеличение внутренней энергии воздуха. Это означает, что его температура и, следовательно, кинетическая энергия молекул $E_k$ возрастают. Так как потенциальная энергия $E_p$ при сжатии уменьшается, то увеличение кинетической энергии молекул оказывается даже больше, чем совершенная над газом работа.

Таким образом, в момент удара, когда воздух в мяче сжат, его потенциальная энергия (энергия взаимодействия молекул) уменьшается.

Ответ: Потенциальная энергия воздуха в футбольном мяче при ударе уменьшается. Это происходит потому, что из-за сжатия сокращается среднее расстояние между молекулами воздуха. При преобладании сил межмолекулярного притяжения это приводит к уменьшению потенциальной энергии их взаимодействия.

34.11 [813] Груз массой 2 кг, положенный на лёгкую чашу пружинных бытовых весов, сжимает пружину на 10 мм. Чему равна потенциальная энергия сжатой пружины?

Дано:

Масса груза, $m = 2$ кг
Сжатие пружины, $\Delta x = 10$ мм

Перевод в систему СИ:

$\Delta x = 10 \text{ мм} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Потенциальную энергию сжатой пружины, $E_п$

Решение:

Когда груз массой $m$ кладут на чашу весов, он сжимает пружину. В положении равновесия сила тяжести, действующая на груз, уравновешивается силой упругости, возникающей в пружине.

Сила тяжести вычисляется по формуле: $F_т = m \cdot g$ где $g$ — ускорение свободного падения, которое примем равным $9.8 \text{ м/с}^2$.

Сила упругости, согласно закону Гука, равна: $F_{упр} = k \cdot \Delta x$ где $k$ — жёсткость пружины, а $\Delta x$ — её сжатие.

Из условия равновесия следует, что $F_т = F_{упр}$: $m \cdot g = k \cdot \Delta x$

Потенциальная энергия пружины, сжатой на величину $\Delta x$, определяется формулой: $E_п = \frac{1}{2} k (\Delta x)^2$

Для нахождения энергии можно пойти двумя путями.

Способ 1: Найти жёсткость пружины $k$ из условия равновесия и подставить её в формулу для энергии. $k = \frac{m \cdot g}{\Delta x} = \frac{2 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{0.01 \text{ м}} = 1960 \text{ Н/м}$ $E_п = \frac{1}{2} \cdot 1960 \text{ Н/м} \cdot (0.01 \text{ м})^2 = 980 \cdot 0.0001 \text{ Дж} = 0.098 \text{ Дж}$

Способ 2: Подставить выражение $k \cdot \Delta x = m \cdot g$ напрямую в формулу энергии. $E_п = \frac{1}{2} k (\Delta x)^2 = \frac{1}{2} (k \cdot \Delta x) \cdot \Delta x$ Заменяем $(k \cdot \Delta x)$ на $(m \cdot g)$: $E_п = \frac{1}{2} m \cdot g \cdot \Delta x$

Теперь подставим числовые значения в эту формулу: $E_п = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0.01 \text{ м} = 1 \cdot 9.8 \cdot 0.01 \text{ Дж} = 0.098 \text{ Дж}$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: потенциальная энергия сжатой пружины равна $0.098$ Дж.

34.12 [814] Какая работа производится при сжатии рессор железнодорожного вагона на 3 см, если для сжатия рессор на 1 см требуется сила 98 кН?

Дано:

Сжатие рессоры $x_1 = 1$ см
Сила, необходимая для сжатия на $x_1$, $F_1 = 98$ кН
Общее сжатие рессоры $x = 3$ см

Найти:

Работу $A$.

Решение:

Для решения задачи сначала необходимо найти коэффициент жесткости рессоры $k$, используя закон Гука. Закон Гука устанавливает связь между силой упругости $F_{упр}$, возникающей в теле при деформации, и величиной этой деформации $x$:

$F_{упр} = kx$

По условию, для сжатия рессоры на $x_1 = 1$ см требуется сила $F_1 = 98$ кН. Эта приложенная сила по модулю равна силе упругости, поэтому мы можем записать $F_1 = kx_1$. Выразим отсюда коэффициент жесткости $k$:

$k = \frac{F_1}{x_1} = \frac{98000 \text{ Н}}{0.01 \text{ м}} = 9800000 \frac{\text{Н}}{\text{м}} = 9.8 \times 10^6 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

Работа $A$, совершаемая при сжатии пружины на величину $x$, равна потенциальной энергии упруго деформированной пружины и вычисляется по формуле:

$A = \frac{kx^2}{2}$

Теперь подставим найденное значение коэффициента жесткости $k$ и величину сжатия $x=0.03$ м в формулу для работы:

$A = \frac{(9.8 \times 10^6 \frac{\text{Н}}{\text{м}}) \cdot (0.03 \text{ м})^2}{2} = \frac{9.8 \times 10^6 \cdot 0.0009}{2} \text{ Дж} = \frac{8820}{2} \text{ Дж} = 4410 \text{ Дж}$

Полученное значение можно перевести в килоджоули: $4410 \text{ Дж} = 4.41 \text{ кДж}$.

Ответ: работа, произведенная при сжатии рессоры, равна $4410 \text{ Дж}$ (или $4.41 \text{ кДж}$).

34.13 [815] Груз растягивает пружину динамометра на 1 см. Во сколько раз увеличится потенциальная энергия пружины, если массу груза утроить?

Дано:

$x_1 = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$m_2 = 3m_1$

Найти:

$\frac{E_{p2}}{E_{p1}}$

Решение:

Когда груз подвешен к пружине и находится в состоянии покоя, сила упругости пружины $F_{упр}$ уравновешивает силу тяжести $F_{тяж}$, действующую на груз. Согласно закону Гука, сила упругости пропорциональна растяжению пружины: $F_{упр} = kx$, где $k$ — жесткость пружины, а $x$ — ее растяжение. Сила тяжести равна $F_{тяж} = mg$, где $m$ — масса груза, а $g$ — ускорение свободного падения.

В первом случае, для груза массой $m_1$:
$F_{упр1} = F_{тяж1}$
$kx_1 = m_1g$ (1)

Во втором случае масса груза утраивается, $m_2 = 3m_1$. Обозначим новое растяжение пружины как $x_2$.
$F_{упр2} = F_{тяж2}$
$kx_2 = m_2g = (3m_1)g$ (2)

Чтобы найти, как изменилось растяжение, разделим уравнение (2) на уравнение (1):
$\frac{kx_2}{kx_1} = \frac{3m_1g}{m_1g}$
$\frac{x_2}{x_1} = 3$
$x_2 = 3x_1$
Это означает, что при увеличении массы груза в 3 раза, растяжение пружины также увеличится в 3 раза.

Потенциальная энергия упруго деформированной пружины вычисляется по формуле:
$E_p = \frac{kx^2}{2}$

Начальная потенциальная энергия пружины:
$E_{p1} = \frac{kx_1^2}{2}$

Конечная потенциальная энергия пружины:
$E_{p2} = \frac{kx_2^2}{2}$

Найдем отношение конечной энергии к начальной, подставив $x_2 = 3x_1$:
$\frac{E_{p2}}{E_{p1}} = \frac{\frac{kx_2^2}{2}}{\frac{kx_1^2}{2}} = \frac{x_2^2}{x_1^2} = \frac{(3x_1)^2}{x_1^2} = \frac{9x_1^2}{x_1^2} = 9$

Таким образом, потенциальная энергия пружины увеличится в 9 раз.

Ответ: потенциальная энергия пружины увеличится в 9 раз.

34.14 [816] Начертите график зависимости удлинения пружины от действующей на неё силы, если жёсткость пружины равна $1.5 \text{ Н/см}$. По графику определите модуль силы и работу, необходимую для растяжения пружины на $8.5 \text{ см}$.

Дано:

Жёсткость пружины, $k = 1,5 \text{ Н/см}$
Удлинение пружины, $x_1 = 8,5 \text{ см}$

Переведём данные в систему СИ:
$k = 1,5 \frac{\text{Н}}{\text{см}} = 1,5 \frac{\text{Н}}{0,01 \text{ м}} = 150 \text{ Н/м}$
$x_1 = 8,5 \text{ см} = 0,085 \text{ м}$

Найти:

Модуль силы $F_1$, работу $A_1$.

Решение:

Начертите график зависимости удлинения пружины от действующей на неё силы

Зависимость модуля силы упругости $F$ от удлинения пружины $x$ описывается законом Гука: $F = kx$. Для построения графика зависимости удлинения от силы ($x$ от $F$) выразим $x$: $x = \frac{1}{k} F$

Подставив значение жёсткости $k = 1,5 \text{ Н/см}$, получим уравнение для графика: $x(F) = \frac{F}{1,5}$ где $x$ выражено в сантиметрах (см), а $F$ в ньютонах (Н).

Это линейная зависимость, поэтому её график — прямая линия, проходящая через начало координат. Построим график по двум точкам.

• Если $F = 0 \text{ Н}$, то $x = 0 \text{ см}$. Точка (0; 0).
• Если $F = 12 \text{ Н}$, то $x = \frac{12}{1,5} = 8 \text{ см}$. Точка (12; 8).

Соединив эти точки, получим график зависимости удлинения от силы.

По графику определите модуль силы и работу, необходимую для растяжения пружины на 8,5 см

На построенном графике находим на оси ординат (оси удлинения) значение $x_1 = 8,5 \text{ см}$. Проводим от этой точки горизонтальную линию до пересечения с графиком, а затем из точки пересечения — вертикальную линию до оси абсцисс (оси силы).

По оси силы (оси абсцисс) получаем значение силы $F_1$. Аналитически это значение можно рассчитать: $F_1 = k \cdot x_1 = 1,5 \text{ Н/см} \cdot 8,5 \text{ см} = 12,75 \text{ Н}$.

Работа $A$, совершаемая при растяжении пружины, численно равна площади фигуры под графиком зависимости силы от удлинения $F(x)$. В нашем случае построен график $x(F)$. Работа также численно равна площади треугольника, ограниченного графиком, осью абсцисс (силы) и вертикальной линией, проведенной из точки $F_1 = 12,75 \text{ Н}$. Эта площадь (на графике закрашена голубым) вычисляется как площадь прямоугольного треугольника.

Катеты этого треугольника равны $F_1 = 12,75 \text{ Н}$ и $x_1 = 8,5 \text{ см}$.

$A_1 = \frac{1}{2} F_1 x_1$

Для вычисления работы в джоулях (Дж) необходимо перевести удлинение в метры: $x_1 = 8,5 \text{ см} = 0,085 \text{ м}$.

$A_1 = \frac{1}{2} \cdot 12,75 \text{ Н} \cdot 0,085 \text{ м} = 0,541875 \text{ Дж}$

Округляя результаты с учётом точности исходных данных (два значащих разряда), получаем: $F_1 \approx 13 \text{ Н}$
$A_1 \approx 0,54 \text{ Дж}$

Ответ: Модуль силы, необходимый для растяжения пружины на 8,5 см, составляет приблизительно $13 \text{ Н}$; работа, совершённая при этом, равна приблизительно $0,54 \text{ Дж}$.

34.15 [817] На сколько процентов изменится потенциальная энергия пружины динамометра, если массу груза, подвешенного к пружине, уменьшить в 2 раза?

Дано:

$m_2 = \frac{m_1}{2}$, где $m_1$ - начальная масса груза, $m_2$ - конечная масса груза.

Найти:

$\frac{\Delta E_p}{E_{p1}} \times 100\%$ - процентное изменение потенциальной энергии пружины.

Решение:

Потенциальная энергия упруго деформированной пружины определяется формулой:

$E_p = \frac{kx^2}{2}$

где $k$ - жесткость пружины, а $x$ - ее удлинение.

Когда груз подвешен к пружине и находится в равновесии, сила упругости пружины $F_{упр}$ уравновешивает силу тяжести $F_{тяж}$:

$F_{упр} = F_{тяж}$

Согласно закону Гука, $F_{упр} = kx$, а сила тяжести $F_{тяж} = mg$. Таким образом:

$kx = mg$

Отсюда можно выразить удлинение пружины $x$:

$x = \frac{mg}{k}$

Теперь подставим это выражение для удлинения в формулу потенциальной энергии:

$E_p = \frac{k}{2} \left(\frac{mg}{k}\right)^2 = \frac{k}{2} \frac{m^2g^2}{k^2} = \frac{m^2g^2}{2k}$

Эта формула показывает, что потенциальная энергия пружины прямо пропорциональна квадрату массы подвешенного груза ($E_p \propto m^2$).

Запишем выражения для потенциальной энергии в начальном и конечном состояниях:

Начальная энергия (с массой $m_1$): $E_{p1} = \frac{m_1^2g^2}{2k}$

Конечная энергия (с массой $m_2 = \frac{m_1}{2}$): $E_{p2} = \frac{m_2^2g^2}{2k} = \frac{(\frac{m_1}{2})^2g^2}{2k} = \frac{\frac{m_1^2}{4}g^2}{2k} = \frac{1}{4} \frac{m_1^2g^2}{2k} = \frac{1}{4}E_{p1}$

Мы видим, что конечная энергия стала в 4 раза меньше начальной.

Найдем процентное изменение энергии. Процентное изменение рассчитывается по формуле:

$\frac{\Delta E_p}{E_{p1}} \times 100\% = \frac{E_{p2} - E_{p1}}{E_{p1}} \times 100\%$

Подставим наши значения:

$\frac{\frac{1}{4}E_{p1} - E_{p1}}{E_{p1}} \times 100\% = \frac{-\frac{3}{4}E_{p1}}{E_{p1}} \times 100\% = -\frac{3}{4} \times 100\% = -75\%$

Знак "минус" означает, что энергия уменьшилась.

Ответ: потенциальная энергия пружины уменьшится на 75%.

34.16 [818] Могут ли два тела, имеющие неодинаковые массы, обладать одинаковой кинетической энергией? Если да, то при каком условии?

Да, два тела с неодинаковыми массами могут обладать одинаковой кинетической энергией.

Решение

Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно, вычисляется по формуле:

$E_k = \frac{mv^2}{2}$

где $m$ — масса тела, а $v$ — его скорость.

Пусть у нас есть два тела. Масса первого тела — $m_1$, а его скорость — $v_1$. Масса второго тела — $m_2$, а его скорость — $v_2$. По условию задачи, массы тел не равны, то есть $m_1 \neq m_2$.

Мы хотим выяснить, при каком условии их кинетические энергии $E_{k1}$ и $E_{k2}$ могут быть равны:

$E_{k1} = E_{k2}$

Подставим в это равенство выражение для кинетической энергии:

$\frac{m_1 v_1^2}{2} = \frac{m_2 v_2^2}{2}$

Домножив обе части уравнения на 2, получим:

$m_1 v_1^2 = m_2 v_2^2$

Это уравнение показывает, что для равенства кинетических энергий при разных массах ($m_1 \neq m_2$) необходимо, чтобы и скорости тел были разными ($v_1 \neq v_2$).

Из последнего равенства можно выразить соотношение масс и скоростей:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{v_2^2}{v_1^2}$

или, что то же самое, для отношения скоростей:

$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$

Это и есть искомое условие. Оно гласит, что во сколько раз масса одного тела больше массы другого, во столько же раз квадрат скорости второго тела должен быть больше квадрата скорости первого. Проще говоря, чтобы тело с меньшей массой имело такую же кинетическую энергию, как и тело с большей массой, оно должно двигаться со значительно большей скоростью.

Ответ: Да, могут. Это возможно при условии, что произведение массы тела на квадрат его скорости для обоих тел одинаково ($m_1 v_1^2 = m_2 v_2^2$). Это означает, что тело с большей массой должно иметь меньшую скорость, а тело с меньшей массой — большую, причем отношение их скоростей должно быть обратно пропорционально квадратному корню из отношения их масс: $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$.

34.17 [819] Одинакова ли кинетическая энергия грузов в ситуации, изображённой на рисунке IV-1?

34.17 [819]

Для ответа на этот вопрос необходимо проанализировать, от чего зависит кинетическая энергия. Кинетическая энергия тела определяется его массой и скоростью, и вычисляется по формуле:

$E_k = \frac{mv^2}{2}$

где $m$ — масса тела, а $v$ — его скорость.

В задаче речь идет о "грузах" во множественном числе, что подразумевает систему из как минимум двух тел. В типичных установках, которые рассматриваются в таких задачах (например, машина Атвуда или груз на столе, соединенный с подвешенным грузом), грузы связаны нерастяжимой нитью. Из-за нерастяжимости нити оба груза движутся с одинаковыми по модулю скоростями в любой момент времени. Обозначим эту скорость как $v$.

Пусть массы грузов равны $m_1$ и $m_2$. Тогда их кинетические энергии будут:

$E_{k1} = \frac{m_1v^2}{2}$

$E_{k2} = \frac{m_2v^2}{2}$

Сравним эти две величины. Равенство $E_{k1} = E_{k2}$ будет выполняться только в том случае, если:

$\frac{m_1v^2}{2} = \frac{m_2v^2}{2}$

Так как система движется, скорость $v$ не равна нулю ($v \neq 0$). Следовательно, мы можем сократить обе части равенства на $\frac{v^2}{2}$, получив:

$m_1 = m_2$

Таким образом, кинетические энергии грузов одинаковы только при условии, что их массы равны. Если массы грузов различны ($m_1 \neq m_2$), то, несмотря на равенство их скоростей, их кинетические энергии будут разными. Груз с большей массой будет обладать большей кинетической энергией.

Ответ: Нет, в общем случае кинетические энергии грузов не одинаковы. Они будут одинаковы только в том случае, если массы грузов равны.