Страница 118 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

31.15 [770°] Вес подвижного блока равен $1.2 \text{ Н}$. Груз весит $6 \text{ Н}$ (рис. IV-37). Чему будет равно показание динамометра при равномерном подъёме груза? (Трение не учитывайте.)

Рис. IV-37

Дано:

Вес подвижного блока $P_{блок} = 1,2$ Н

Вес груза $P_{груз} = 6$ Н

Найти:

Показание динамометра $F$ — ?

Решение:

На рисунке изображен подвижный блок, который используется для подъема груза. Подвижный блок позволяет получить выигрыш в силе. Сила, которую необходимо приложить для подъема груза, распределяется на две ветви веревки, на которых висит блок.

Поскольку подъем груза происходит равномерно, это означает, что система находится в состоянии равновесия. Сумма сил, действующих на систему "груз + подвижный блок" вверх, равна сумме сил, действующих вниз.

Вниз действует суммарный вес груза и подвижного блока:

$P_{общ} = P_{груз} + P_{блок}$

Вверх действуют две силы натяжения веревки. Так как динамометр тянет за один конец веревки, его показание $F$ равно силе натяжения. По условию равновесия, суммарная сила, действующая вверх, должна уравновесить общий вес, действующий вниз. Таким образом:

$2 \cdot F = P_{общ}$

Отсюда можно выразить силу $F$, которую покажет динамометр:

$F = \frac{P_{общ}}{2} = \frac{P_{груз} + P_{блок}}{2}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$P_{общ} = 6 \text{ Н} + 1,2 \text{ Н} = 7,2 \text{ Н}$

$F = \frac{7,2 \text{ Н}}{2} = 3,6 \text{ Н}$

Ответ: показание динамометра при равномерном подъёме груза будет равно 3,6 Н.

31.16 [771] Груз какой массы можно поднять с помощью подвижного блока, вес которого 20 Н, прилагая к свободному концу верёвки усилие 210 Н, если не учитывать трение?

Дано:

Вес подвижного блока $P_{блока} = 20$ Н

Прилагаемое усилие $F = 210$ Н

Ускорение свободного падения $g \approx 10$ Н/кг

Найти:

Массу груза $m_{груза}$

Решение:

Подвижный блок дает выигрыш в силе в 2 раза. Это означает, что для подъема груза с помощью подвижного блока, сила, которую нужно приложить к веревке, вдвое меньше суммарного веса, который поднимается. В данном случае поднимается не только груз, но и сам блок. Общий вес, действующий вниз, равен сумме веса груза $P_{груза}$ и веса блока $P_{блока}$.

Сила $F$, приложенная к свободному концу веревки, создает натяжение в веревке. Так как блок подвижный, его вместе с грузом поддерживают два участка веревки. В каждом из них действует сила натяжения, равная приложенной силе $F$ (так как трение не учитывается). Таким образом, общая сила, направленная вверх и поднимающая груз и блок, равна $2F$.

Для равновесия (или равномерного подъема) системы необходимо, чтобы суммарная сила, действующая вверх, была равна суммарной силе (весу), действующей вниз:

$2F = P_{груза} + P_{блока}$

Из этого уравнения мы можем выразить вес груза $P_{груза}$:

$P_{груза} = 2F - P_{блока}$

Подставим известные значения в формулу:

$P_{груза} = 2 \cdot 210 \text{ Н} - 20 \text{ Н} = 420 \text{ Н} - 20 \text{ Н} = 400 \text{ Н}$

Вес груза связан с его массой $m_{груза}$ через ускорение свободного падения $g$ по формуле $P_{груза} = m_{груза} \cdot g$. Отсюда можно найти массу груза:

$m_{груза} = \frac{P_{груза}}{g}$

Примем значение $g \approx 10$ Н/кг:

$m_{груза} = \frac{400 \text{ Н}}{10 \text{ Н/кг}} = 40 \text{ кг}$

Ответ: 40 кг.

31.17 [772*] Груз какого веса надо прикрепить к свободному концу троса, чтобы система блоков (рис. IV-38) находилась в равновесии? (Трение и вес блоков не учитывайте.)

Рис. IV-38

Дано

Вес первого груза $P_1 = 10 \text{ Н}$

Вес второго груза $P_2 = 10 \text{ Н}$

Найти:

Вес груза $P_x$

Решение

В данной задаче представлена система, состоящая из неподвижных и подвижных блоков, соединенных одним тросом. Согласно условию, трение в блоках и их вес не учитываются. Это означает, что сила натяжения троса $T$ будет одинаковой по всей его длине.

Чтобы система находилась в равновесии, сила, приложенная к свободному концу троса, должна уравновесить силу натяжения. Следовательно, искомый вес груза $P_x$ равен силе натяжения троса $T$:

$P_x = T$

Рассмотрим равновесие одного из подвижных блоков, например, левого, к которому прикреплен груз весом $P_1 = 10 \text{ Н}$. На этот блок действует сила тяжести груза $P_1$, направленная вниз. Вверх его тянут две ветви троса. Таким образом, суммарная сила, действующая вверх, равна $T + T = 2T$.

Условие равновесия для подвижного блока заключается в том, что сила, тянущая его вниз, должна быть равна сумме сил, тянущих его вверх:

$2T = P_1$

Подставим известное значение веса $P_1$ в формулу:

$2T = 10 \text{ Н}$

Из этого уравнения находим силу натяжения троса $T$:

$T = \frac{10 \text{ Н}}{2} = 5 \text{ Н}$

Проверка для правого блока дает тот же результат, так как вес второго груза $P_2$ также равен $10 \text{ Н}$.

Поскольку искомый вес $P_x$ равен силе натяжения $T$, получаем:

$P_x = 5 \text{ Н}$

Ответ:

к свободному концу троса надо прикрепить груз весом $5 \text{ Н}$.

31.18 [773] Какую силу надо приложить к свободному концу А троса, чтобы трос, перекинутый через неподвижный блок, был натянут с силой 4000 Н (рис. IV-39)?

Рис. IV-39

Дано:

Сила натяжения троса, перекинутого через неподвижный блок, $T = 4000$ Н.

Найти:

Силу, которую необходимо приложить к свободному концу А троса, $F_A$.

Решение:

Сила натяжения троса — это сила, которая передается по всей его длине. Если пренебречь массой троса и трением в блоке (что является стандартным допущением в таких задачах), то сила, которую нужно приложить к одному концу троса, чтобы создать в нем натяжение, будет равна по величине этой силе натяжения.

В данной задаче рассматривается трос, перекинутый через неподвижный блок. Неподвижный блок служит только для изменения направления действия силы и не дает выигрыша в силе. Сила $F_A$, приложенная к свободному концу А, создает в тросе натяжение $T$.

Следовательно, величина прикладываемой силы $F_A$ должна быть равна требуемой силе натяжения $T$.

$F_A = T$

Согласно условию задачи, сила натяжения троса должна составлять 4000 Н.

$F_A = 4000 \text{ Н}$

Система, включающая подвижный блок и второй трос, является нагрузкой, для удержания которой и создается указанное натяжение. Однако на величину силы, которую нужно приложить к концу А, эта нагрузка напрямую не влияет, так как сила натяжения уже задана в условии.

Ответ: чтобы трос, перекинутый через неподвижный блок, был натянут с силой 4000 Н, к его свободному концу А надо приложить силу 4000 Н.

31.19* [774*] На концах невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через лёгкий неподвижный блок, подвешены два груза, массы которых равны 100 г и 200 г. В начальный момент времени грузы покоятся на высоте 2 м от пола. Потом их отпускают, и они начинают двигаться. Пренебрегая трением, определите ускорение грузов, натяжение нити при движении грузов и время, за которое груз массой 200 г достигнет пола.

Дано:

$m_1 = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$
$m_2 = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$
$h = 2 \text{ м}$
$g \approx 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Найти:

$a - ?$
$T - ?$
$t - ?$

Решение:

На грузы, связанные нитью, действуют силы тяжести и сила натяжения нити. Запишем второй закон Ньютона для каждого груза в проекции на вертикальную ось, направленную вниз. Так как $m_2 > m_1$, груз $m_2$ будет двигаться вниз с ускорением $a$, а груз $m_1$ — вверх с таким же по модулю ускорением.

Для груза $m_2$: $m_2g - T = m_2a$ (1)

Для груза $m_1$: $T - m_1g = m_1a$ (2)

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $a$ (ускорение) и $T$ (сила натяжения нити).

Ускорение грузов

Чтобы найти ускорение, сложим уравнения (1) и (2):

$ (m_2g - T) + (T - m_1g) = m_2a + m_1a $

$ m_2g - m_1g = (m_1 + m_2)a $

Отсюда выражаем ускорение $a$:

$ a = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}g $

Подставим числовые значения:

$ a = \frac{0.2 \text{ кг} - 0.1 \text{ кг}}{0.1 \text{ кг} + 0.2 \text{ кг}} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = \frac{0.1}{0.3} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = \frac{1}{3} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 3.27 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} $

Ответ: ускорение грузов примерно равно $3.27 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

Натяжение нити при движении грузов

Для нахождения силы натяжения нити $T$ выразим ее из уравнения (2):

$ T = m_1a + m_1g = m_1(a + g) $

Подставим найденное значение ускорения $a$:

$ T = 0.1 \text{ кг} \cdot (3.27 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} + 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}) = 0.1 \text{ кг} \cdot 13.07 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 1.31 \text{ Н} $

Можно также использовать более точную формулу, подставив выражение для $a$ в формулу для $T$:

$ T = m_1\left(\frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}g + g\right) = m_1g\left(\frac{m_2 - m_1 + m_1 + m_2}{m_1 + m_2}\right) = \frac{2m_1m_2g}{m_1 + m_2} $

$ T = \frac{2 \cdot 0.1 \text{ кг} \cdot 0.2 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}{0.1 \text{ кг} + 0.2 \text{ кг}} = \frac{0.04 \cdot 9.8}{0.3} \text{ Н} \approx 1.31 \text{ Н} $

Ответ: натяжение нити при движении грузов примерно равно $1.31 \text{ Н}$.

Время, за которое груз массой 200 г достигнет пола

Груз массой $m_2=200$ г движется равноускоренно из состояния покоя ($v_0 = 0$) и проходит путь $h=2$ м. Используем формулу для пути при равноускоренном движении:

$ h = v_0t + \frac{at^2}{2} $

Так как начальная скорость равна нулю, формула упрощается:

$ h = \frac{at^2}{2} $

Выразим время $t$:

$ t = \sqrt{\frac{2h}{a}} $

Подставим числовые значения. Для большей точности используем $a = \frac{9.8}{3} \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$:

$ t = \sqrt{\frac{2 \cdot 2 \text{ м}}{\frac{9.8}{3} \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 3}{9.8}} \text{ с} = \sqrt{\frac{12}{9.8}} \text{ с} \approx \sqrt{1.2245} \text{ с} \approx 1.11 \text{ с} $

Ответ: груз массой 200 г достигнет пола примерно за $1.11 \text{ с}$.

31.20* [775*] Гиря массой 500 г соединена с другой гирей массой $m_2$ лёгкой нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок. Чему должна быть равна масса второй гири, чтобы первая гиря двигалась вверх с ускорением $2,4 \text{ м/с}^2$? чтобы первая гиря двигалась бы вниз с тем же ускорением? (Трением можно пренебречь.)

Дано:

$m_1 = 500 \text{ г} = 0.5 \text{ кг}$
$a = 2.4 \text{ м/с²}$
$g \approx 9.8 \text{ м/с²}$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$m_2$ - ? (в обоих случаях)

Решение:

Рассмотрим систему двух тел (гирь), связанных нерастяжимой и невесомой нитью, перекинутой через невесомый блок. На каждую гирю действует сила тяжести (направлена вниз) и сила натяжения нити (направлена вверх). Так как нить и блок идеальные, сила натяжения нити $T$ одинакова по всей длине, а ускорения гирь равны по модулю.

чтобы первая гиря двигалась вверх с ускорением 2,4 м/с²?

В этом случае первая гиря $m_1$ движется вверх, а вторая гиря $m_2$ — вниз с одинаковым ускорением $a$. Запишем второй закон Ньютона для каждой гири в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

Для первой гири ($m_1$):
$T - m_1g = m_1a$

Для второй гири ($m_2$), которая движется вниз (ее ускорение в проекции на ось будет $-a$):
$T - m_2g = -m_2a$

Получили систему из двух уравнений. Выразим из них массу $m_2$.
Из первого уравнения выразим силу натяжения нити $T$:
$T = m_1a + m_1g = m_1(a+g)$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$m_1(a+g) - m_2g = -m_2a$

Перенесем слагаемые с $m_2$ в одну сторону:
$m_2g - m_2a = m_1(a+g)$
$m_2(g-a) = m_1(g+a)$

Отсюда находим $m_2$:
$m_2 = m_1 \frac{g+a}{g-a}$

Подставим числовые значения:
$m_2 = 0.5 \text{ кг} \cdot \frac{9.8 \text{ м/с²} + 2.4 \text{ м/с²}}{9.8 \text{ м/с²} - 2.4 \text{ м/с²}} = 0.5 \text{ кг} \cdot \frac{12.2}{7.4} \approx 0.8243 \text{ кг} \approx 824 \text{ г}$

Ответ: чтобы первая гиря двигалась вверх с ускорением 2,4 м/с², масса второй гири должна быть равна примерно 824 г.

чтобы первая гиря двигалась бы вниз с тем же ускорением?

В этом случае первая гиря $m_1$ движется вниз, а вторая гиря $m_2$ — вверх с ускорением $a$. Запишем второй закон Ньютона для каждой гири в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

Для первой гири ($m_1$), которая движется вниз (ее ускорение в проекции на ось будет $-a$):
$T - m_1g = -m_1a$

Для второй гири ($m_2$):
$T - m_2g = m_2a$

Снова решаем систему уравнений.
Из первого уравнения выразим силу натяжения нити $T$:
$T = m_1g - m_1a = m_1(g-a)$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$m_1(g-a) - m_2g = m_2a$

Перенесем слагаемые с $m_2$ в одну сторону:
$m_1(g-a) = m_2a + m_2g$
$m_1(g-a) = m_2(a+g)$

Отсюда находим $m_2$:
$m_2 = m_1 \frac{g-a}{g+a}$

Подставим числовые значения:
$m_2 = 0.5 \text{ кг} \cdot \frac{9.8 \text{ м/с²} - 2.4 \text{ м/с²}}{9.8 \text{ м/с²} + 2.4 \text{ м/с²}} = 0.5 \text{ кг} \cdot \frac{7.4}{12.2} \approx 0.3033 \text{ кг} \approx 303 \text{ г}$

Ответ: чтобы первая гиря двигалась вниз с ускорением 2,4 м/с², масса второй гири должна быть равна примерно 303 г.

31.21* [776*] Два бруска А и В массами по 1 кг каждый соединены лёгкой нерастяжимой нитью, перекинутой через блок (рис. IV-40). Определите ускорение, с которым движутся бруски, и

Рис. IV-40

силу натяжения нити. (Трением можно пренебречь.)

Дано:

масса бруска A, $m_A = 1$ кг

масса бруска B, $m_B = 1$ кг

ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с$^2$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

ускорение брусков, $a$ - ?

силу натяжения нити, $T$ - ?

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на каждый брусок, и применим второй закон Ньютона. Поскольку нить нерастяжима, оба бруска движутся с одинаковым по модулю ускорением $a$. Так как нить легкая и трением в блоке можно пренебречь, сила натяжения нити $T$ одинакова по всей ее длине.

1. Для бруска A, движущегося вертикально вниз. На него действуют две силы: сила тяжести $m_A g$, направленная вниз, и сила натяжения нити $T$, направленная вверх. Выберем ось OY, направленную вертикально вниз. Второй закон Ньютона в проекции на эту ось запишется так:

$m_A g - T = m_A a$ (1)

2. Для бруска B, движущегося горизонтально. На него действуют сила тяжести $m_B g$ (вниз), сила нормальной реакции опоры $N$ (вверх) и сила натяжения нити $T$ (горизонтально, влево). По условию, трением можно пренебречь. Движение происходит только в горизонтальном направлении. Выберем ось OX, направленную горизонтально влево. Второй закон Ньютона в проекции на эту ось:

$T = m_B a$ (2)

Силы, действующие по вертикали на брусок B, скомпенсированы: $N = m_B g$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($a$ и $T$):

$ \begin{cases} m_A g - T = m_A a \\ T = m_B a \end{cases} $

Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти ускорение $a$:

$m_A g - (m_B a) = m_A a$

$m_A g = m_A a + m_B a$

$m_A g = (m_A + m_B)a$

Отсюда выразим ускорение:

$a = \frac{m_A g}{m_A + m_B}$

Подставим числовые значения:

$a = \frac{1 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{1 \text{ кг} + 1 \text{ кг}} = \frac{9.8}{2} \text{ м/с}^2 = 4.9 \text{ м/с}^2$

Теперь, зная ускорение, найдем силу натяжения нити $T$ из второго уравнения:

$T = m_B a$

Подставим числовые значения:

$T = 1 \text{ кг} \cdot 4.9 \text{ м/с}^2 = 4.9 \text{ Н}$

Ответ: ускорение, с которым движутся бруски, равно $4.9$ м/с$^2$; сила натяжения нити равна $4.9$ Н.