Страница 116 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

31.5 [761] В какой из систем неподвижных блоков (рис. IV-29) надо приложить большую силу для подъёма одного и того же груза, если трение в каждом из блоков одинаковое?

1

2

Рис. IV-29

Дано:

Две системы неподвижных блоков, система 1 и система 2.
Вес поднимаемого груза: $P$
Сила, необходимая для преодоления трения в одном блоке: $f_{тр}$ (одинакова для всех блоков)
Сила, прикладываемая для подъема груза в системе 1: $F_1$
Сила, прикладываемая для подъема груза в системе 2: $F_2$

Найти:

Сравнить силы $F_1$ и $F_2$, чтобы определить, в какой системе нужно приложить большую силу.

Решение:

В обеих системах используются неподвижные блоки. Идеальный неподвижный блок (без трения) не даёт выигрыша в силе, а лишь изменяет направление её приложения. В таком идеальном случае для подъёма груза весом $P$ в обеих системах потребовалась бы одинаковая сила $F = P$.

Однако по условию задачи в каждом блоке присутствует трение. Трение в оси блока создаёт момент сил, который препятствует вращению. Чтобы преодолеть это трение и поднять груз, к верёвке необходимо приложить дополнительную силу. Будем считать, что при прохождении верёвки через каждый блок к требуемой силе натяжения добавляется некоторая постоянная величина $f_{тр}$, обусловленная силой трения в блоке.

Рассмотрим систему 1. Чтобы поднять груз, натяжение верёвки, на которой он висит, должно быть не меньше его веса $P$. В этой системе верёвка последовательно проходит через пять неподвижных блоков. Каждый блок добавляет к необходимой силе свою долю, связанную с трением.

Проследим, как изменяется натяжение верёвки по мере её прохождения через блоки:

• После первого блока натяжение должно быть $P + f_{тр}$.
• После второго блока натяжение становится $(P + f_{тр}) + f_{тр} = P + 2f_{тр}$.
• После третьего блока натяжение равно $P + 3f_{тр}$.
• После четвёртого блока натяжение равно $P + 4f_{тр}$.
• После пятого блока натяжение становится равным силе $F_1$, которую необходимо приложить к концу верёвки.

Таким образом, для системы 1 полная сила, которую нужно приложить, равна: $F_1 = P + 5f_{тр}$

Рассмотрим систему 2. В этой системе верёвка последовательно проходит через три неподвижных блока.

Проследим за натяжением верёвки аналогичным образом:

• После первого блока натяжение должно быть $P + f_{тр}$.
• После второго блока натяжение становится $(P + f_{тр}) + f_{тр} = P + 2f_{тр}$.
• После третьего блока натяжение становится равным силе $F_2$, которую нужно приложить.

Таким образом, для системы 2 полная сила, которую нужно приложить, равна: $F_2 = (P + 2f_{тр}) + f_{тр} = P + 3f_{тр}$

Теперь сравним полученные силы $F_1$ и $F_2$: $F_1 = P + 5f_{тр}$ $F_2 = P + 3f_{тр}$

Поскольку сила трения $f_{тр}$ является положительной величиной ($f_{тр} > 0$), то $5f_{тр} > 3f_{тр}$. Следовательно, $P + 5f_{тр} > P + 3f_{тр}$, что означает $F_1 > F_2$.

Вывод: для подъёма одного и того же груза в первой системе потребуется приложить большую силу, так как в ней верёвка проходит через большее количество блоков, и суммарная сила трения, которую необходимо преодолеть, оказывается больше.

Ответ: большую силу надо приложить в первой системе (рис. IV-29, 1).

$31.6^\circ [762^\circ]$ На рисунке IV-30 динамометр А показывает $20 \text{ Н}$. Что должен показать динамометр В?

Рис. IV-30

Дано:

Показания динамометра A, $F_A = 20$ Н

Вес груза в установке A, $W_A = 20$ Н

Вес левого груза в установке B, $W_{B,лев} = 20$ Н

Вес правого груза в установке B, $W_{B,прав} = 20$ Н

Найти:

Показания динамометра B, $F_B$

Решение:

Динамометр — это прибор для измерения силы. Он измеряет силу упругости, возникающую в его пружине при деформации (растяжении). Показания динамометра соответствуют модулю силы, растягивающей его с одного из концов.

Рассмотрим установку с динамометром А. Правый конец динамометра через нить и идеальный блок (меняющий направление силы без изменения модуля) соединен с грузом. Левый конец закреплен на стене. Система находится в равновесии. На груз действует сила тяжести $W_A = 20$ Н, направленная вниз, и сила натяжения нити $T_A$, направленная вверх. Из условия равновесия груза следует, что сила натяжения нити равна весу груза:

$T_A = W_A = 20$ Н

Эта сила натяжения передается через нить и тянет правый конец динамометра А с силой $F_{прав, A} = T_A = 20$ Н. Поскольку динамометр находится в равновесии, со стороны левого крепления (стены) на него действует сила реакции опоры $F_{лев, A}$, равная по модулю и противоположная по направлению силе $F_{прав, A}$ (согласно третьему закону Ньютона).

$F_{лев, A} = F_{прав, A} = 20$ Н

Таким образом, динамометр А растягивается с двух сторон силами по 20 Н. Его показания равны модулю одной из этих сил, то есть $F_A = 20$ Н, что соответствует условию задачи.

Теперь рассмотрим установку с динамометром В. Его правый конец через нить и блок соединен с грузом весом $W_{B,прав} = 20$ Н. Сила натяжения правой нити $T_{B,прав}$ равна весу этого груза:

$T_{B,прав} = W_{B,прав} = 20$ Н

Эта сила тянет динамометр В вправо.

Левый конец динамометра В через нить и блок соединен с другим грузом весом $W_{B,лев} = 20$ Н. Сила натяжения левой нити $T_{B,лев}$ равна весу этого груза:

$T_{B,лев} = W_{B,лев} = 20$ Н

Эта сила тянет динамометр В влево.

В результате динамометр В, как и динамометр А, растягивается в обе стороны силами, равными по модулю 20 Н. Разница лишь в том, что в первом случае силу, противодействующую силе от груза, создавала неподвижная опора (стена), а во втором случае эту роль выполняет второй груз.

Для того чтобы динамометр показывал какое-либо значение, он должен быть растянут. Для этого к его концам должны быть приложены две равные и противоположно направленные силы. В случае А это сила натяжения нити от груза и сила реакции стены. В случае B это силы натяжения нитей от двух одинаковых грузов. В обоих случаях на динамометр действуют одинаковые растягивающие силы.

Поскольку условия растяжения для обоих динамометров идентичны (на каждый конец действует сила 20 Н), их показания должны быть одинаковыми. Динамометр показывает не сумму сил, приложенных к его концам (которая была бы 40 Н), и не равнодействующую силу (которая равна нулю, так как система в равновесии), а именно силу натяжения.

Следовательно, показания динамометра B будут такими же, как и у динамометра A.

$F_B = T_{B,прав} = T_{B,лев} = 20$ Н

Ответ: динамометр B должен показывать 20 Н.

31.7 [763] Как легче подниматься вверх: взбираться по верёвке или поднимать себя при помощи блока (рис. IV-31)?

Рис. IV-31

Для того чтобы определить, какой из способов легче, необходимо проанализировать силы, которые требуется приложить в каждом из случаев.

Взбираться по верёвке

В этом случае (девочка на рисунке справа) человек поднимает себя, перехватывая верёвку руками и ногами. Чтобы совершать подъём с постоянной скоростью (или просто удерживаться на месте, не соскальзывая), необходимо приложить к верёвке силу, равную по модулю и противоположную по направлению силе тяжести, действующей на тело. Если масса человека равна $m$, то его вес равен $P = mg$. Следовательно, сила, которую нужно приложить для подъёма, равна:

$F_1 = mg$

Эта сила направлена вверх (относительно земли), и человек должен создавать её исключительно за счёт мышечных усилий, подтягивая своё тело.

Поднимать себя при помощи блока

В этом случае (девочка на рисунке слева) используется неподвижный блок. Такой блок не даёт выигрыша в силе, он лишь изменяет направление её приложения. Чтобы поднять себя, человек должен тянуть за свободный конец верёвки. Для равномерного подъёма сила натяжения верёвки $T$ должна уравновешивать силу тяжести $mg$. Сила $F_2$, которую человек прикладывает к верёвке, равна этой силе натяжения (пренебрегая трением в блоке и весом верёвки). Таким образом, прикладываемая сила также равна весу человека:

$F_2 = T = mg$

С точки зрения физики, величины сил, которые нужно приложить в обоих случаях, одинаковы. Однако, во втором случае сила прикладывается в направлении вниз. Это биомеханически значительно легче, так как человек может использовать собственный вес для создания тянущего усилия. По сути, можно просто повиснуть на верёвке, и вес тела уже создаст необходимое натяжение. Подъём осуществляется за счёт протягивания верёвки через руки, что требует меньших усилий, чем подтягивание всего тела вверх.

Ответ: Легче подниматься при помощи блока. Несмотря на то, что с точки зрения физики в обоих случаях требуется приложить одинаковую по модулю силу, равную весу тела ($F = mg$), использование блока позволяет изменить направление приложения силы. Тянуть верёвку вниз биомеханически легче, чем тянуть своё тело вверх, так как в первом случае можно использовать вес собственного тела для создания необходимого усилия.

$31.8^\circ$ $[764^\circ]$ Будет ли система, состоящая из рычага и блока (рис. IV-32), находиться в равновесии?

Рис. IV-32

Для того чтобы определить, будет ли система находиться в равновесии, необходимо проверить выполнение условия равновесия рычага. Рычаг находится в равновесии, если сумма моментов сил, вращающих его по часовой стрелке, равна сумме моментов сил, вращающих его против часовой стрелки.

Момент силы ($M$) вычисляется как произведение модуля силы ($F$) на ее плечо ($d$): $M = F \cdot d$. Плечо силы — это кратчайшее расстояние от оси вращения (точки опоры) до линии действия силы.

Обозначим массу одного груза как $m$, а ускорение свободного падения как $g$. Тогда вес одного груза равен $P = mg$. Длину одного деления на рычаге обозначим как $l$.

Рассмотрим силы, действующие на левое плечо рычага.

Слева на рычаг действует сила натяжения нити $F_1$. Нить перекинута через неподвижный блок, который не дает выигрыша в силе, а лишь меняет ее направление. К другому концу нити подвешен один груз массой $m$. Следовательно, сила, действующая на левое плечо рычага, равна весу этого груза: $F_1 = mg$.

Из рисунка видно, что точка приложения силы $F_1$ находится на расстоянии 3 делений от точки опоры. Значит, плечо этой силы $d_1 = 3l$.

Момент силы, вращающий рычаг против часовой стрелки, равен:

$M_1 = F_1 \cdot d_1 = mg \cdot 3l = 3mgl$

Рассмотрим силы, действующие на правое плечо рычага.

Справа на рычаг действуют два груза, общая масса которых равна $2m$. Сила, действующая на правое плечо рычага, равна их общему весу: $F_2 = 2mg$.

Из рисунка видно, что точка приложения силы $F_2$ находится на расстоянии 2 делений от точки опоры. Значит, плечо этой силы $d_2 = 2l$.

Момент силы, вращающий рычаг по часовой стрелке, равен:

$M_2 = F_2 \cdot d_2 = 2mg \cdot 2l = 4mgl$

Сравним моменты сил.

Момент, вращающий рычаг против часовой стрелки: $M_1 = 3mgl$.

Момент, вращающий рычаг по часовой стрелке: $M_2 = 4mgl$.

Поскольку $M_2 > M_1$ ($4mgl > 3mgl$), моменты сил не уравновешивают друг друга. Вращающий момент по часовой стрелке больше, следовательно, правая часть рычага перевесит и опустится вниз.

Ответ: Нет, система не будет находиться в равновесии.

31.9⁰ [765⁰] Для подъёма одного и того же груза используют две системы блоков (рис. IV-33). Равные ли силы надо приложить к концам A троса, если трение во всех блоках одинаково, а вес подвижного блока много меньше веса груза? Ответ поясните.

Рис. IV-33

Дано:

Вес груза: $P$

Вес подвижного блока: $p$

Сила трения в каждом блоке: $F_{tr}$

Условие: $p \ll P$

Найти:

Сравнить силы $F_1$ и $F_2$, приложенные к концу троса А в первой и второй системах соответственно.

Решение:

Для ответа на вопрос необходимо определить, какую силу нужно приложить в каждом из двух случаев, учитывая все условия задачи, а затем сравнить полученные значения.

Анализ системы 1

В первой системе используется один подвижный и один неподвижный блок. Подвижный блок предназначен для получения выигрыша в силе.Рассмотрим силы, действующие на узел "подвижный блок + груз". Вниз действует суммарная сила тяжести $(P + p)$. Вверх действуют две ветви троса. Пусть натяжение ветви троса, идущей от неподвижного блока, равно $T_1$, а натяжение ветви, закрепленной на опоре, равно $T_2$. Для равномерного подъема груза должно выполняться равенство сил:

$T_1 + T_2 = P + p$

При движении троса через подвижный блок возникает сила трения $F_{tr}$. Натяжение в ведущей ветви ($T_1$) будет больше натяжения в ведомой ($T_2$) на величину силы трения:

$T_1 = T_2 + F_{tr}$

Выразим $T_2$ из второго уравнения ($T_2 = T_1 - F_{tr}$) и подставим в первое:

$T_1 + (T_1 - F_{tr}) = P + p$

$2T_1 - F_{tr} = P + p$

Отсюда находим натяжение $T_1$:

$T_1 = \frac{P + p + F_{tr}}{2}$

Сила $F_1$, которую необходимо приложить к концу троса A, должна преодолеть натяжение $T_1$ и силу трения $F_{tr}$ в неподвижном блоке:

$F_1 = T_1 + F_{tr}$

Подставим в это выражение найденное значение $T_1$:

$F_1 = \left( \frac{P + p + F_{tr}}{2} \right) + F_{tr} = \frac{P + p}{2} + \frac{F_{tr}}{2} + F_{tr} = \frac{P + p}{2} + \frac{3}{2}F_{tr}$

Согласно условию, вес подвижного блока много меньше веса груза ($p \ll P$), поэтому слагаемым $p/2$ можно пренебречь. Тогда сила $F_1$ примерно равна:

$F_1 \approx \frac{P}{2} + \frac{3}{2}F_{tr}$

Анализ системы 2

Во второй системе используются два неподвижных блока. Такая система не дает выигрыша в силе, а служит только для изменения направления приложения силы.

Чтобы поднять груз весом $P$, натяжение троса сразу над ним, $T_{груз}$, должно быть равно $P$ (для равномерного подъема).

$T_{груз} = P$

Этот трос перекинут через левый неподвижный блок. Натяжение в горизонтальном участке троса, $T_{гориз}$, должно преодолеть натяжение $T_{груз}$ и силу трения $F_{tr}$ в левом блоке:

$T_{гориз} = T_{груз} + F_{tr} = P + F_{tr}$

Далее трос перекинут через правый неподвижный блок. Сила $F_2$, приложенная к концу троса А, должна преодолеть натяжение $T_{гориз}$ и силу трения $F_{tr}$ в правом блоке:

$F_2 = T_{гориз} + F_{tr}$

Подставим выражение для $T_{гориз}$:

$F_2 = (P + F_{tr}) + F_{tr} = P + 2F_{tr}$

Сравнение сил

Сравним выражения для сил $F_1$ и $F_2$:

$F_1 \approx \frac{P}{2} + 1.5 F_{tr}$

$F_2 = P + 2 F_{tr}$

Поскольку вес груза $P$ и сила трения $F_{tr}$ являются положительными величинами, очевидно, что $P > \frac{P}{2}$ и $2 F_{tr} > 1.5 F_{tr}$. Следовательно, сила $F_2$ всегда будет больше силы $F_1$.

Разница между силами составляет:

$F_2 - F_1 \approx (P + 2 F_{tr}) - (\frac{P}{2} + 1.5 F_{tr}) = \frac{P}{2} + 0.5 F_{tr}$

Эта разница положительна, что подтверждает, что $F_2 > F_1$.

Таким образом, силы, которые надо приложить к концам троса А, не равны.

Ответ: Нет, силы не равны. Для подъема груза с помощью второй системы (рис. 2) требуется приложить большую силу, чем с помощью первой системы (рис. 1). Это связано с тем, что первая система с подвижным блоком дает выигрыш в силе примерно в два раза (уменьшая необходимую силу до $\approx \frac{P}{2}$), в то время как вторая система с двумя неподвижными блоками выигрыша в силе не дает, и требуемая сила равна весу груза $P$. В обоих случаях к этому добавляется суммарная сила трения в блоках. В результате $F_1 \approx \frac{P}{2} + 1.5 F_{tr}$, а $F_2 = P + 2 F_{tr}$, из чего следует, что $F_2 > F_1$.

31.10 [н] Какой выигрыш в силе даёт подвижный блок? Сделайте рисунок и обоснуйте ответ.

Какой выигрыш в силе даёт подвижный блок? Сделайте рисунок и обоснуйте ответ.

Решение

Подвижный блок — это блок, ось которого не закреплена и может подниматься и опускаться вместе с грузом. Для определения выигрыша в силе, который он даёт, рассмотрим схему сил, действующих на систему, в идеализированном случае (пренебрегая весом блока, веревки и силами трения).

На рисунке показан подвижный блок, к оси которого прикреплен груз весом $P$. Веревка, перекинутая через блок, одним концом закреплена неподвижно, а за другой ее конец тянут с силой $F$.

Когда система находится в равновесии или груз поднимается равномерно, сила тяжести груза $P$, направленная вниз, уравновешивается двумя силами натяжения веревки, которые действуют на блок вверх. Поскольку веревка одна и та же, сила натяжения во всех ее точках одинакова и равна прикладываемой силе $F$.

Таким образом, на блок действуют три силы: сила $P$ (вес груза) вниз и две силы $F$ (силы натяжения веревки) вверх. Условие равновесия для блока можно записать в виде:

$P = F + F = 2F$

Из этого соотношения мы можем выразить силу $F$, необходимую для подъема груза:

$F = \frac{P}{2}$

Выигрыш в силе — это отношение веса поднимаемого груза $P$ к прикладываемой для его подъема силе $F$.

$\frac{P}{F} = \frac{P}{P/2} = 2$

Следовательно, идеальный подвижный блок позволяет поднять груз, прикладывая силу в два раза меньшую, чем его вес, то есть дает выигрыш в силе в 2 раза.

Ответ: Идеальный подвижный блок даёт выигрыш в силе в 2 раза.

31.11° [766°] Определите показание динамометра (рис. IV-34), если вес каждого шарика равен 10 Н, а рычаг находится в равновесии. (Вес блока не учитывайте.)

Рис. IV-34

Дано:

Вес каждого шарика $P_{ш} = 10 \text{ Н}$

Количество шариков $n = 6$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Показание динамометра $F_д$ — ?

Решение:

Так как система находится в равновесии, для рычага выполняется правило моментов: сумма моментов сил, вращающих рычаг по часовой стрелке, равна сумме моментов сил, вращающих его против часовой стрелки, относительно любой точки.

Сначала определим общий вес шариков, который действует на рычаг как сила $P$:

$P = n \cdot P_{ш} = 6 \cdot 10 \text{ Н} = 60 \text{ Н}$

В качестве оси вращения выберем точку, в которой рычаг подвешен к левой опоре. Согласно рисунку, это второе кольцо слева. Обозначим расстояние между соседними кольцами на рычаге как $l$.

Сила тяжести шариков $P$ приложена к четвертому кольцу. Плечо этой силы $d_1$ равно расстоянию от оси вращения (второе кольцо) до точки приложения силы (четвертое кольцо), то есть $d_1 = (4-2)l = 2l$. Эта сила создает вращающий момент $M_1$, направленный по часовой стрелке:

$M_1 = P \cdot d_1 = P \cdot 2l$

Сила $F_д$, которую показывает динамометр, приложена к шестому кольцу (вес блока не учитывается). Плечо этой силы $d_2$ равно расстоянию от оси вращения до точки приложения этой силы: $d_2 = (6-2)l = 4l$. Эта сила создает вращающий момент $M_2$, направленный против часовой стрелки:

$M_2 = F_д \cdot d_2 = F_д \cdot 4l$

Запишем условие равновесия моментов:

$M_1 = M_2$

$P \cdot 2l = F_д \cdot 4l$

Выразим искомую силу $F_д$, сократив $l$:

$F_д = P \cdot \frac{2l}{4l} = \frac{P}{2}$

Теперь подставим числовое значение веса $P$:

$F_д = \frac{60 \text{ Н}}{2} = 30 \text{ Н}$

Показание динамометра равно силе натяжения $F_д$.

Ответ: $30 \text{ Н}$.