Страница 114 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

30.31 [751] На концах невесомого рычага действуют силы 40 Н и 240 Н. Расстояние от точки опоры до точки приложения меньшей силы равно 6 см. Определите длину рычага, если рычаг находится в равновесии.

Дано:

$F_1 = 40$ Н

$F_2 = 240$ Н

$d_1 = 6$ см

Система СИ:
$d_1 = 0.06$ м

Найти:

$L$ - ?

Решение:

Для того чтобы рычаг находился в равновесии, необходимо, чтобы моменты сил, вращающие его в противоположных направлениях, были равны. Это правило моментов (условие равновесия рычага):

$M_1 = M_2$

где $M_1$ и $M_2$ — моменты сил. Момент силы равен произведению модуля силы на её плечо:

$F_1 d_1 = F_2 d_2$

В данной задаче $F_1$ — меньшая сила ($40$ Н), а $d_1$ — её плечо ($6$ см). $F_2$ — большая сила ($240$ Н), а $d_2$ — её плечо, которое нам предстоит найти.

Выразим плечо большей силы $d_2$ из условия равновесия:

$d_2 = \frac{F_1 d_1}{F_2}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$d_2 = \frac{40 \, \text{Н} \cdot 0.06 \, \text{м}}{240 \, \text{Н}} = \frac{2.4}{240} \, \text{м} = 0.01 \, \text{м}$

По условию, силы приложены к концам рычага. Это означает, что точка опоры находится между точками приложения сил. Следовательно, общая длина рычага $L$ равна сумме длин его плеч:

$L = d_1 + d_2$

Теперь найдем длину рычага:

$L = 0.06 \, \text{м} + 0.01 \, \text{м} = 0.07 \, \text{м}$

Длину рычага можно также выразить в сантиметрах: $0.07 \, \text{м} = 7 \, \text{см}$.

Ответ: длина рычага равна $0.07$ м (или $7$ см).

30.32* [752*] На концах рычага действуют силы 2 Н и 18 Н. Длина рычага равна 1 м. Где располагается точка опоры, если рычаг находится в равновесии? (Весом рычага пренебрегите.)

Дано:
Сила на одном конце рычага, $F_1 = 2 \, \text{Н}$
Сила на другом конце рычага, $F_2 = 18 \, \text{Н}$
Длина рычага, $L = 1 \, \text{м}$

Найти:
Расположение точки опоры.

Решение:

Для того чтобы рычаг находился в равновесии, необходимо, чтобы алгебраическая сумма моментов сил относительно точки опоры была равна нулю. Условие равновесия рычага (правило моментов) гласит, что момент силы, вращающий рычаг в одну сторону, должен быть равен моменту силы, вращающему его в противоположную сторону: $$ M_1 = M_2 $$ где $M = F \cdot d$. Здесь $F$ — это приложенная сила, а $d$ — её плечо (кратчайшее расстояние от точки опоры до линии действия силы).

Поскольку в условии задачи не указаны направления сил, возможно два различных случая, приводящих к равновесию.

Случай 1. Точка опоры находится между силами

Этот случай реализуется, когда обе силы направлены в одну и ту же сторону (например, обе вертикально вниз). Точка опоры находится на самом рычаге, между точками приложения сил. В этом случае сумма длин плеч $d_1$ и $d_2$ равна общей длине рычага $L$.

Составим систему уравнений: $$ \begin{cases} F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2 \\ d_1 + d_2 = L \end{cases} $$ Подставим известные значения: $$ \begin{cases} 2 \cdot d_1 = 18 \cdot d_2 \\ d_1 + d_2 = 1 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $d_1$: $$ d_1 = \frac{18}{2} d_2 = 9d_2 $$ Подставим полученное выражение во второе уравнение системы: $$ 9d_2 + d_2 = 1 $$ $$ 10d_2 = 1 $$ $$ d_2 = 0.1 \, \text{м} $$ Теперь найдем длину плеча $d_1$: $$ d_1 = 9 \cdot 0.1 = 0.9 \, \text{м} $$ Плечо, соответствующее меньшей силе $F_1=2 \, \text{Н}$, равно 0,9 м, а плечо, соответствующее большей силе $F_2=18 \, \text{Н}$, равно 0,1 м.

Ответ: Если точка опоры расположена между силами, то она находится на расстоянии 0,9 м от конца, к которому приложена сила 2 Н, и на расстоянии 0,1 м от конца, к которому приложена сила 18 Н.

Случай 2. Точка опоры находится вне рычага

Этот случай возможен, если силы на концах рычага направлены в противоположные стороны. Для того чтобы моменты сил уравновешивали друг друга, точка опоры должна находиться на продолжении прямой, на которой лежит рычаг, за одним из его концов. Равновесие будет достигнуто, если точка опоры будет расположена ближе к точке приложения большей силы (в данном случае $F_2$).

Пусть $d_2$ — это расстояние от точки опоры до конца рычага, к которому приложена сила $F_2=18 \, \text{Н}$. Тогда расстояние от точки опоры до другого конца (с силой $F_1=2 \, \text{Н}$) будет равно $d_1 = L + d_2$.

Запишем правило моментов для этого случая: $$ F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2 $$ Подставим значения и выражения для плеч: $$ 2 \cdot (1 + d_2) = 18 \cdot d_2 $$ Теперь решим это уравнение относительно $d_2$: $$ 2 + 2d_2 = 18d_2 $$ $$ 2 = 18d_2 - 2d_2 $$ $$ 2 = 16d_2 $$ $$ d_2 = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} = 0.125 \, \text{м} $$ Таким образом, точка опоры находится на расстоянии 0,125 м от конца с силой 18 Н.

Ответ: Если точка опоры расположена вне рычага, то она находится на его продолжении, на расстоянии 0,125 м (или 12,5 см) от конца, к которому приложена сила 18 Н.

30.33 [н] Для взвешивания грузов на старинных римских весах надо перемещать гирю вдоль стержня весов, на котором нанесена шкала (рис. IV-24). В ненагруженном состоянии стержень весов уравновешен утолщением правого плеча. Является ли шкала этих весов линейной? (Линейной называется шкала, у которой расстояние между рисками одинаковы.) С какой целью для подвеса грузов используется крючок 2? Требуется ли в этом случае ещё одна шкала?

Гиря

Груз

Рис. IV-24

Дано:

Римские весы, состоящие из неравноплечего рычага. На одном плече подвешивается груз, по другому перемещается гиря постоянной массы. В конструкции предусмотрено две точки для подвеса груза (крючки 1 и 2).

Найти:

1. Является ли шкала весов линейной?

2. С какой целью используется крючок 2?

3. Требуется ли вторая шкала при использовании крючка 2?

Решение:

Является ли шкала этих весов линейной?

Весы представляют собой рычаг. Условием равновесия рычага является равенство моментов сил, вращающих его по часовой стрелке и против часовой стрелки.Пусть $P$ – вес измеряемого груза, $p$ – вес гири, $a$ – расстояние от точки опоры до точки подвеса груза (плечо груза), $x$ – расстояние от точки опоры до гири (плечо гири). В задаче сказано, что в ненагруженном состоянии стержень уравновешен, это значит, что момент, создаваемый весом самого стержня, скомпенсирован, и мы можем его не учитывать при рассмотрении равновесия с грузом и гирей.

Тогда условие равновесия можно записать как:$P \cdot a = p \cdot x$Выразим из этой формулы расстояние $x$:$x = \frac{a}{p} \cdot P$

Поскольку вес гири $p$ и плечо груза $a$ являются для данных весов постоянными величинами, расстояние $x$ прямо пропорционально весу груза $P$. Это означает, что при увеличении веса на одну и ту же величину $\Delta P$, смещение гири $\Delta x$ также будет одинаковым:$\Delta x = \frac{a}{p} \cdot \Delta P = \text{const}$Прямо пропорциональная зависимость между измеряемой величиной (весом $P$) и положением указателя (расстоянием $x$) означает, что шкала является линейной, то есть расстояния между рисками, соответствующими, например, 1 кг, 2 кг, 3 кг, будут одинаковы.

Ответ: Да, шкала этих весов является линейной.

С какой целью для подвеса грузов используется крючок 2?

Наличие двух крючков для подвеса груза позволяет изменять плечо $a$, к которому приложена сила тяжести груза. Обозначим расстояние от точки опоры до крючка 1 как $a_1$, а до крючка 2 как $a_2$. Из рисунка видно, что $a_2 > a_1$.Рассмотрим, как это влияет на измерение.

1. При использовании крючка 1: $P \cdot a_1 = p \cdot x_1$

2. При использовании крючка 2: $P \cdot a_2 = p \cdot x_2$

Из этих уравнений следует, что для одного и того же груза $P$ расстояние, на которое нужно переместить гирю, будет разным: $x_2 = \frac{a_2}{a_1} x_1$. Так как $a_2 > a_1$, то и $x_2 > x_1$.

Это означает, что при использовании крючка 2 (с большим плечом) для уравновешивания того же груза требуется сдвинуть гирю на большее расстояние. Это приводит к двум последствиям:

• Увеличивается точность (чувствительность) измерений. Небольшое изменение веса $\Delta P$ вызывает большее смещение гири $\Delta x$, что позволяет точнее определить вес.
• Уменьшается предел взвешивания. Поскольку длина шкалы на стержне ограничена, максимальный вес, который можно измерить с помощью крючка 2, будет меньше, чем с помощью крючка 1.

Таким образом, крючок 2 предназначен для взвешивания более легких грузов с повышенной точностью.

Ответ: Крючок 2 используется для изменения предела измерений и чувствительности весов. Он предназначен для взвешивания более легких грузов с большей точностью.

Требуется ли в этом случае ещё одна шкала?

Как было показано выше, соотношение между весом груза $P$ и положением гири $x$ зависит от плеча $a$:$P = \frac{p}{a} \cdot x$

Поскольку плечи $a_1$ и $a_2$ для крючков 1 и 2 различны ($a_1 \neq a_2$), то и коэффициент пропорциональности между $P$ и $x$ будет разным. Шкала, нанесенная для работы с крючком 1, будет соответствовать зависимости $P = \frac{p}{a_1} \cdot x$. Если использовать эту же шкалу при подвешивании груза на крючок 2, показания будут неверными. Для крючка 2 зависимость будет $P = \frac{p}{a_2} \cdot x$.

Следовательно, для корректной работы весов при использовании крючка 2 необходима отдельная шкала, прокалиброванная для плеча $a_2$. На практике на стержне таких весов обычно наносят две шкалы, по одной для каждого крючка.

Ответ: Да, при использовании крючка 2 требуется другая шкала, так как изменяется плечо приложения силы тяжести груза, а значит, и соотношение между весом груза и положением гири на стержне.

30.34 [н] В отличие от римских весов (см. предыдущую задачу), в русских весах (см. рис. IV-14, а) перемещали не гирю, не груз, а точку подвеса к неподвижному основанию. Приказом императора Павла I применение таких весов в торговых целях было запрещено. Из-за какого недостатка шкалы весов появился приказ императора?

Решение

Рассмотрим устройство русских весов. Они представляют собой рычаг, на одном конце которого закреплен груз с неизвестной массой $m_1$, а на другом — противовес с известной массой $m_2$. Равновесие достигается перемещением точки опоры (точки подвеса) вдоль рычага.

Пусть $L$ — полная длина рычага. Разместим начало координат на конце рычага, где находится груз. Тогда груз находится в точке с координатой $0$, а противовес — в точке с координатой $L$. Пусть точка подвеса находится на расстоянии $x$ от груза.

Условие равновесия рычага (правило моментов) заключается в том, что моменты сил, действующих на рычаг относительно точки опоры, должны быть равны. Момент силы, создаваемый грузом, равен $M_1 = F_1 \cdot l_1 = (m_1 g) \cdot x$. Момент силы, создаваемый противовесом, равен $M_2 = F_2 \cdot l_2 = (m_2 g) \cdot (L-x)$.

При равновесии $M_1 = M_2$: $m_1 g x = m_2 g (L-x)$

Сократив на $g$, выразим измеряемую массу $m_1$ через положение точки подвеса $x$: $m_1 = m_2 \frac{L-x}{x} = m_2 \left(\frac{L}{x} - 1\right)$

Эта формула показывает, что измеряемая масса $m_1$ связана с положением точки подвеса $x$ нелинейно (обратно пропорционально). Проанализируем, как это влияет на шкалу весов. Шкала — это набор делений, нанесенных на рычаг и соответствующих определенным значениям массы.

Из зависимости $m_1 \propto 1/x$ следует, что шкала весов крайне неравномерна.

• При взвешивании легких грузов (масса $m_1$ мала), знаменатель $x$ велик, то есть точка подвеса находится далеко от груза. Небольшое изменение массы приводит к заметному смещению точки подвеса. Деления шкалы в этой области находятся далеко друг от друга.
• При взвешивании тяжелых грузов (масса $m_1$ велика), знаменатель $x$ мал, то есть точка подвеса находится очень близко к грузу. При этом даже значительное изменение массы приводит лишь к очень малому смещению точки подвеса. Деления шкалы в этой области оказываются сильно сжатыми, они расположены очень близко друг к другу.

Этот главный недостаток — сильная неравномерность шкалы — и послужил причиной запрета. Сжатие шкалы для больших весов приводило к двум негативным последствиям:

1. Низкая точность измерений. При взвешивании тяжелых товаров было практически невозможно определить массу с достаточной точностью, так как малейшая погрешность в установке точки подвеса приводила к огромной ошибке в результате.
2. Возможность для обмана. Недобросовестные торговцы могли легко обманывать покупателей, незначительно смещая точку подвеса в свою пользу. Из-за скученности делений заметить такой обман было очень сложно.

Таким образом, приказ императора Павла I был направлен на защиту потребителей и обеспечение честности в торговле, поскольку конструкция русских весов не позволяла проводить точные и надежные измерения, особенно для тяжелых товаров.

Ответ: Главным недостатком шкалы русских весов была ее сильная неравномерность. Деления, соответствующие большим массам, были расположены очень близко друг к другу (сжаты). Это приводило к очень низкой точности измерений тяжелых грузов и создавало широкие возможности для обмана покупателей, что и послужило причиной для императорского запрета.

30.35 [н] При колке дров топором мы загоняем его клин в древесину, действуя на него с силой $\vec{F}$ (рис. IV-25). Топор в этом случае играет роль двойного рычага — клина. Какие силы действуют в состоянии равновесия на топор? на древесину? Изобразите на двух рисунках эти силы в точках соприкосновения лезвия топора с древесиной. Велика ли роль силы трения?

Рис. IV-25

Какие силы действуют в состоянии равновесия на топор?

В состоянии равновесия (или при равномерном движении вниз, что эквивалентно с точки зрения сил) на топор действуют следующие силы:

• Внешняя движущая сила $\vec{F}$, приложенная к обуху топора и направленная вертикально вниз.
• Сила тяжести топора $\vec{P} = m\vec{g}$, также направленная вертикально вниз.
• Силы нормальной реакции со стороны древесины $\vec{N}_1$ и $\vec{N}_2$. Они направлены перпендикулярно щекам (боковым поверхностям) топора, к его центральной оси.
• Силы трения скольжения $\vec{F}_{тр1}$ и $\vec{F}_{тр2}$, действующие на топор со стороны древесины. Они направлены вдоль щек топора вверх, то есть в сторону, противоположную движению топора.

Условие равновесия означает, что векторная сумма всех действующих на топор сил равна нулю: $\vec{F} + \vec{P} + \vec{N}_1 + \vec{N}_2 + \vec{F}_{тр1} + \vec{F}_{тр2} = 0$.

На рисунке ниже схематически изображены силы, действующие на топор.

Ответ: На топор в состоянии равновесия действуют: внешняя сила $\vec{F}$, сила тяжести $\vec{P}$, две силы нормальной реакции со стороны древесины $\vec{N}_1$ и $\vec{N}_2$ и две силы трения $\vec{F}_{тр1}$ и $\vec{F}_{тр2}$.

Какие силы действуют в состоянии равновесия на древесину?

Согласно третьему закону Ньютона, на древесину в точках соприкосновения с топором действуют силы, равные по модулю и противоположные по направлению тем силам, с которыми древесина действует на топор:

• Силы нормального давления $\vec{N'}_1$ и $\vec{N'}_2$. Они перпендикулярны поверхностям раскола и направлены от топора наружу, раздвигая части древесины ($\vec{N'}_1 = -\vec{N}_1$, $\vec{N'}_2 = -\vec{N}_2$). Именно эти силы и раскалывают полено.
• Силы трения $\vec{F'}_{тр1}$ и $\vec{F'}_{тр2}$. Они направлены вдоль поверхностей раскола вниз, то есть в направлении движения топора ($\vec{F'}_{тр1} = -\vec{F}_{тр1}$, $\vec{F'}_{тр2} = -\vec{F}_{тр2}$).

Кроме этих сил, на каждую часть древесины действует её вес, сила реакции опоры и внутренние силы упругости, удерживающие волокна древесины вместе. В вопросе речь идет о силах в точках соприкосновения с топором.

На рисунке ниже схематически изображены силы, действующие на древесину со стороны топора.

Ответ: На древесину в точках соприкосновения с топором действуют силы нормального давления $\vec{N'}_1$, $\vec{N'}_2$ и силы трения $\vec{F'}_{тр1}$, $\vec{F'}_{тр2}$.

Велика ли роль силы трения?

Да, роль силы трения при колке дров очень велика. Силы трения ($\vec{F}_{тр1}$ и $\vec{F}_{тр2}$), действующие на топор, направлены вверх и противодействуют движущей силе $\vec{F}$. Это означает, что для продвижения топора вглубь древесины необходимо прикладывать значительно большую силу, чем потребовалось бы в отсутствие трения. Таким образом, трение существенно уменьшает выигрыш в силе, который дает клин (топор). Работа, совершаемая для преодоления сил трения, переходит во внутреннюю энергию (тепло), нагревая топор и древесину. Величина силы трения зависит от коэффициента трения между сталью и деревом, а также от сил нормального давления, которые могут быть очень большими. Поэтому для облегчения колки дров лезвие топора делают как можно более гладким, а иногда и смазывают.

Ответ: Да, роль силы трения очень велика, так как она значительно увеличивает силу, необходимую для раскалывания древесины, и уменьшает эффективность работы клина.

30.36* [753*] Какой выигрыш в силе дает гидравлический пресс, имеющий поршни с площадями поперечного сечения $2\text{ см}^2$ и $400\text{ см}^2$? Масло нагнетается с помощью рычага, плечи которого равны $10\text{ см}$ и $50\text{ см}$. (Трение и вес поршней и рычага не учитывайте.)

Дано:

Найти:

Общий выигрыш в силе $k$.

Решение:

Общий выигрыш в силе представляет собой произведение выигрыша в силе, создаваемого рычагом, и выигрыша в силе, создаваемого гидравлическим прессом. Найдем каждый из них по отдельности.

1. Выигрыш в силе, даваемый рычагом. Пусть к длинному плечу рычага $l_2$ приложена входная сила $F_{\text{вх}}$. Рычаг действует на малый поршень с силой $F_1$, приложенной к короткому плечу $l_1$. Согласно правилу моментов для рычага (пренебрегая трением и весом):

$F_{\text{вх}} \cdot l_2 = F_1 \cdot l_1$

Отсюда выигрыш в силе, который дает рычаг, $k_{\text{рычага}}$, равен отношению сил:

$k_{\text{рычага}} = \frac{F_1}{F_{\text{вх}}} = \frac{l_2}{l_1}$

Подставим числовые значения:

$k_{\text{рычага}} = \frac{50 \text{ см}}{10 \text{ см}} = 5$

2. Выигрыш в силе, даваемый гидравлическим прессом. Сила $F_1$ действует на малый поршень площадью $S_1$ и создает в жидкости давление $p$. По закону Паскаля, это давление одинаково во всех точках жидкости и действует на большой поршень площадью $S_2$, создавая выходную силу $F_2$.

$p = \frac{F_1}{S_1}$

$F_2 = p \cdot S_2 = \frac{F_1}{S_1} \cdot S_2$

Выигрыш в силе, который дает гидравлический пресс, $k_{\text{пресса}}$:

$k_{\text{пресса}} = \frac{F_2}{F_1} = \frac{S_2}{S_1}$

Подставим числовые значения:

$k_{\text{пресса}} = \frac{400 \text{ см}^2}{2 \text{ см}^2} = 200$

3. Общий выигрыш в силе $k$ всей установки равен отношению конечной силы $F_2$ к начальной силе $F_{\text{вх}}$. Он равен произведению выигрышей в силе от рычага и от пресса:

$k = \frac{F_2}{F_{\text{вх}}} = \frac{F_1}{F_{\text{вх}}} \cdot \frac{F_2}{F_1} = k_{\text{рычага}} \cdot k_{\text{пресса}}$

Вычислим общее значение:

$k = 5 \cdot 200 = 1000$

Ответ: гидравлический пресс с рычагом даёт выигрыш в силе в 1000 раз.

30.37* [754*] Гидравлический домкрат приводится в действие с помощью рычага, плечи которого равны 10 см и 50 см. Площадь большего поршня в 160 раз больше площади меньшего поршня. Груз какой массы можно поднять этим домкратом, действуя на рукоятку силой 200 Н? (Трение и вес рычага и поршней не учитывайте.)

Дано:

Длина короткого плеча рычага, $l_1 = 10$ см
Длина длинного плеча рычага, $l_2 = 50$ см
Отношение площадей поршней, $\frac{S_2}{S_1} = 160$
Сила, приложенная к рукоятке, $F_{in} = 200$ Н

Перевод в систему СИ:

$l_1 = 0.1$ м
$l_2 = 0.5$ м

Найти:

Массу груза $m$

Решение:

Данный гидравлический домкрат объединяет в себе два простых механизма, дающих выигрыш в силе: рычаг и гидравлический пресс. Общий выигрыш в силе будет равен произведению выигрышей в силе, которые дает каждый из этих механизмов.

1. Рассмотрим рычаг. К его длинному плечу $l_2$ прикладывается сила $F_{in}$. Короткое плечо $l_1$ действует на малый поршень с силой $F_1$. Согласно правилу моментов для рычага, находящегося в равновесии:

$F_{in} \cdot l_2 = F_1 \cdot l_1$

Отсюда можем выразить силу, действующую на малый поршень:

$F_1 = F_{in} \cdot \frac{l_2}{l_1}$

2. Рассмотрим гидравлическую систему. Сила $F_1$, действующая на малый поршень площадью $S_1$, создает в жидкости давление $p_1$:

$p_1 = \frac{F_1}{S_1}$

По закону Паскаля, это давление передается во все точки жидкости без изменений. Следовательно, на большой поршень площадью $S_2$ действует такое же давление $p_2 = p_1$. Это давление создает выталкивающую силу $F_2$, которая и поднимает груз:

$F_2 = p_2 \cdot S_2 = p_1 \cdot S_2 = \frac{F_1}{S_1} \cdot S_2 = F_1 \cdot \frac{S_2}{S_1}$

3. Сила $F_2$ должна уравновесить силу тяжести $P$ поднимаемого груза, которая равна $P = m \cdot g$, где $m$ — масса груза, а $g$ — ускорение свободного падения (примем $g \approx 10$ Н/кг).

$F_2 = m \cdot g$

4. Объединим полученные уравнения. Подставим выражение для $F_1$ из первого шага в формулу для $F_2$ из второго шага:

$F_2 = \left(F_{in} \cdot \frac{l_2}{l_1}\right) \cdot \frac{S_2}{S_1}$

Теперь приравняем это выражение силе тяжести груза:

$m \cdot g = F_{in} \cdot \frac{l_2}{l_1} \cdot \frac{S_2}{S_1}$

Из этого уравнения выразим искомую массу $m$:

$m = \frac{F_{in}}{g} \cdot \frac{l_2}{l_1} \cdot \frac{S_2}{S_1}$

Подставим числовые значения в итоговую формулу:

$m = \frac{200 \text{ Н}}{10 \text{ Н/кг}} \cdot \frac{0.5 \text{ м}}{0.1 \text{ м}} \cdot 160$

$m = 20 \text{ кг} \cdot 5 \cdot 160 = 100 \text{ кг} \cdot 160 = 16000 \text{ кг}$

Полученную массу можно также выразить в тоннах: $16000 \text{ кг} = 16 \text{ т}$.

Ответ: этим домкратом можно поднять груз массой 16000 кг (16 т).