Номер 30.32, страница 114 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 30. Рычаги. Момент силы. Глава 4. Работа и мощность. Простые механизмы. Энергия - номер 30.32, страница 114.

30.32* [752*] На концах рычага действуют силы 2 Н и 18 Н. Длина рычага равна 1 м. Где располагается точка опоры, если рычаг находится в равновесии? (Весом рычага пренебрегите.)

Дано:
Сила на одном конце рычага, $F_1 = 2 \, \text{Н}$
Сила на другом конце рычага, $F_2 = 18 \, \text{Н}$
Длина рычага, $L = 1 \, \text{м}$

Найти:
Расположение точки опоры.

Решение:

Для того чтобы рычаг находился в равновесии, необходимо, чтобы алгебраическая сумма моментов сил относительно точки опоры была равна нулю. Условие равновесия рычага (правило моментов) гласит, что момент силы, вращающий рычаг в одну сторону, должен быть равен моменту силы, вращающему его в противоположную сторону: $$ M_1 = M_2 $$ где $M = F \cdot d$. Здесь $F$ — это приложенная сила, а $d$ — её плечо (кратчайшее расстояние от точки опоры до линии действия силы).

Поскольку в условии задачи не указаны направления сил, возможно два различных случая, приводящих к равновесию.

Случай 1. Точка опоры находится между силами

Этот случай реализуется, когда обе силы направлены в одну и ту же сторону (например, обе вертикально вниз). Точка опоры находится на самом рычаге, между точками приложения сил. В этом случае сумма длин плеч $d_1$ и $d_2$ равна общей длине рычага $L$.

Составим систему уравнений: $$ \begin{cases} F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2 \\ d_1 + d_2 = L \end{cases} $$ Подставим известные значения: $$ \begin{cases} 2 \cdot d_1 = 18 \cdot d_2 \\ d_1 + d_2 = 1 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $d_1$: $$ d_1 = \frac{18}{2} d_2 = 9d_2 $$ Подставим полученное выражение во второе уравнение системы: $$ 9d_2 + d_2 = 1 $$ $$ 10d_2 = 1 $$ $$ d_2 = 0.1 \, \text{м} $$ Теперь найдем длину плеча $d_1$: $$ d_1 = 9 \cdot 0.1 = 0.9 \, \text{м} $$ Плечо, соответствующее меньшей силе $F_1=2 \, \text{Н}$, равно 0,9 м, а плечо, соответствующее большей силе $F_2=18 \, \text{Н}$, равно 0,1 м.

Ответ: Если точка опоры расположена между силами, то она находится на расстоянии 0,9 м от конца, к которому приложена сила 2 Н, и на расстоянии 0,1 м от конца, к которому приложена сила 18 Н.

Случай 2. Точка опоры находится вне рычага

Этот случай возможен, если силы на концах рычага направлены в противоположные стороны. Для того чтобы моменты сил уравновешивали друг друга, точка опоры должна находиться на продолжении прямой, на которой лежит рычаг, за одним из его концов. Равновесие будет достигнуто, если точка опоры будет расположена ближе к точке приложения большей силы (в данном случае $F_2$).

Пусть $d_2$ — это расстояние от точки опоры до конца рычага, к которому приложена сила $F_2=18 \, \text{Н}$. Тогда расстояние от точки опоры до другого конца (с силой $F_1=2 \, \text{Н}$) будет равно $d_1 = L + d_2$.

Запишем правило моментов для этого случая: $$ F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2 $$ Подставим значения и выражения для плеч: $$ 2 \cdot (1 + d_2) = 18 \cdot d_2 $$ Теперь решим это уравнение относительно $d_2$: $$ 2 + 2d_2 = 18d_2 $$ $$ 2 = 18d_2 - 2d_2 $$ $$ 2 = 16d_2 $$ $$ d_2 = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} = 0.125 \, \text{м} $$ Таким образом, точка опоры находится на расстоянии 0,125 м от конца с силой 18 Н.

Ответ: Если точка опоры расположена вне рычага, то она находится на его продолжении, на расстоянии 0,125 м (или 12,5 см) от конца, к которому приложена сила 18 Н.