Номер 30.37, страница 114 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 30. Рычаги. Момент силы. Глава 4. Работа и мощность. Простые механизмы. Энергия - номер 30.37, страница 114.

30.37* [754*] Гидравлический домкрат приводится в действие с помощью рычага, плечи которого равны 10 см и 50 см. Площадь большего поршня в 160 раз больше площади меньшего поршня. Груз какой массы можно поднять этим домкратом, действуя на рукоятку силой 200 Н? (Трение и вес рычага и поршней не учитывайте.)

Дано:

Длина короткого плеча рычага, $l_1 = 10$ см
Длина длинного плеча рычага, $l_2 = 50$ см
Отношение площадей поршней, $\frac{S_2}{S_1} = 160$
Сила, приложенная к рукоятке, $F_{in} = 200$ Н

Перевод в систему СИ:

$l_1 = 0.1$ м
$l_2 = 0.5$ м

Найти:

Массу груза $m$

Решение:

Данный гидравлический домкрат объединяет в себе два простых механизма, дающих выигрыш в силе: рычаг и гидравлический пресс. Общий выигрыш в силе будет равен произведению выигрышей в силе, которые дает каждый из этих механизмов.

1. Рассмотрим рычаг. К его длинному плечу $l_2$ прикладывается сила $F_{in}$. Короткое плечо $l_1$ действует на малый поршень с силой $F_1$. Согласно правилу моментов для рычага, находящегося в равновесии:

$F_{in} \cdot l_2 = F_1 \cdot l_1$

Отсюда можем выразить силу, действующую на малый поршень:

$F_1 = F_{in} \cdot \frac{l_2}{l_1}$

2. Рассмотрим гидравлическую систему. Сила $F_1$, действующая на малый поршень площадью $S_1$, создает в жидкости давление $p_1$:

$p_1 = \frac{F_1}{S_1}$

По закону Паскаля, это давление передается во все точки жидкости без изменений. Следовательно, на большой поршень площадью $S_2$ действует такое же давление $p_2 = p_1$. Это давление создает выталкивающую силу $F_2$, которая и поднимает груз:

$F_2 = p_2 \cdot S_2 = p_1 \cdot S_2 = \frac{F_1}{S_1} \cdot S_2 = F_1 \cdot \frac{S_2}{S_1}$

3. Сила $F_2$ должна уравновесить силу тяжести $P$ поднимаемого груза, которая равна $P = m \cdot g$, где $m$ — масса груза, а $g$ — ускорение свободного падения (примем $g \approx 10$ Н/кг).

$F_2 = m \cdot g$

4. Объединим полученные уравнения. Подставим выражение для $F_1$ из первого шага в формулу для $F_2$ из второго шага:

$F_2 = \left(F_{in} \cdot \frac{l_2}{l_1}\right) \cdot \frac{S_2}{S_1}$

Теперь приравняем это выражение силе тяжести груза:

$m \cdot g = F_{in} \cdot \frac{l_2}{l_1} \cdot \frac{S_2}{S_1}$

Из этого уравнения выразим искомую массу $m$:

$m = \frac{F_{in}}{g} \cdot \frac{l_2}{l_1} \cdot \frac{S_2}{S_1}$

Подставим числовые значения в итоговую формулу:

$m = \frac{200 \text{ Н}}{10 \text{ Н/кг}} \cdot \frac{0.5 \text{ м}}{0.1 \text{ м}} \cdot 160$

$m = 20 \text{ кг} \cdot 5 \cdot 160 = 100 \text{ кг} \cdot 160 = 16000 \text{ кг}$

Полученную массу можно также выразить в тоннах: $16000 \text{ кг} = 16 \text{ т}$.

Ответ: этим домкратом можно поднять груз массой 16000 кг (16 т).