Страница 112 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

30.16 [735] Для чего гайка-барашек имеет лопасти (рис. IV-15)?

Рис. IV-15

30.16 [735]

Гайка-барашек имеет лопасти (также называемые «ушками» или «крыльями») для того, чтобы ее можно было легко закручивать и откручивать вручную, без использования каких-либо инструментов, например, гаечного ключа. Эти лопасти выполняют функцию рычага.

Согласно правилу моментов, вращающий момент $M$, который создает сила $F$, равен произведению этой силы на ее плечо $l$ (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы):

$M = F \cdot l$

Из этой формулы видно, что для создания необходимого вращающего момента $M$ (чтобы затянуть или ослабить гайку) можно приложить большую силу к короткому рычагу или меньшую силу — к длинному. Лопасти гайки-барашка значительно увеличивают плечо $l$, так как человек прикладывает силу пальцами к их краям, на большом расстоянии от центральной оси резьбы. Это позволяет создать достаточный момент силы даже при небольшом усилии, которое можно развить пальцами.

Таким образом, конструкция гайки-барашка является наглядным примером применения «золотого правила механики»: выигрывая в силе, мы проигрываем в расстоянии (пальцам приходится проходить больший путь по дуге).

Ответ: Лопасти у гайки-барашка служат рычагами, которые увеличивают плечо приложения силы. Это позволяет закручивать и откручивать гайку вручную, прикладывая меньшее усилие, чем потребовалось бы без них, и делает ненужным использование инструментов.

30.17 [736] Какую силу необходимо приложить к рычагу в точке А, чтобы уравновесить груз (рис. IV-16, а, б)?

а) Рычаг с точкой опоры O. Слева от O на второй отметке подвешен груз 3Н. Справа от O на третьей отметке, в точке A, приложена сила $\vec{F}$ направленная вниз.

б) Рычаг с точкой опоры O. Слева от O на третьей отметке, в точке B, подвешен груз 5 кг. Справа от O на второй отметке, в точке A, приложена сила $\vec{F}$ направленная вниз.

Рис. IV-16

Для решения задачи воспользуемся правилом равновесия рычага: рычаг находится в равновесии, когда моменты сил, вращающих его по часовой стрелке, равны моментам сил, вращающих его против часовой стрелки. Момент силы $M$ равен произведению силы $F$ на ее плечо $d$: $M = F \cdot d$. Плечо силы — это кратчайшее расстояние от точки опоры до линии действия силы. Обозначим одно деление на шкале рычага за условную единицу длины $l$.

a) Дано:
Сила, действующая на левое плечо рычага, $F_1 = 3 \text{ Н}$.
Плечо силы $F_1$: $d_1 = 1$ деление $= 1l$.
Плечо силы $F$, приложенной в точке А: $d_2 = 3$ деления $= 3l$.

Найти:
Силу $F$, которую необходимо приложить в точке А (обозначим ее $F_2$).

Решение:
Запишем условие равновесия рычага (равенство моментов сил):
$M_1 = M_2$
$F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2$
Подставим известные значения в формулу:
$3 \text{ Н} \cdot 1l = F_2 \cdot 3l$
Можно сократить условную единицу длины $l$:
$3 \text{ Н} = 3 \cdot F_2$
Выразим искомую силу $F_2$:
$F_2 = \frac{3 \text{ Н}}{3} = 1 \text{ Н}$

Ответ: чтобы уравновесить груз, необходимо приложить к рычагу в точке А силу, равную 1 Н.

б) Дано:
Масса груза в точке В: $m = 5 \text{ кг}$.
Плечо силы тяжести груза: $d_1 = 2$ деления $= 2l$.
Плечо силы $F$, приложенной в точке А: $d_2 = 1$ деление $= 1l$.
Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}$.

Найти:
Силу $F$, которую необходимо приложить в точке А (обозначим ее $F_2$).

Решение:
Сначала определим силу тяжести $F_1$, с которой груз действует на левое плечо рычага. Эта сила равна весу груза $P$.
$F_1 = P = m \cdot g$
$F_1 = 5 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} = 50 \text{ Н}$
Теперь запишем условие равновесия рычага:
$M_1 = M_2$
$F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2$
Подставим известные и вычисленные значения:
$50 \text{ Н} \cdot 2l = F_2 \cdot 1l$
Сократим условную единицу длины $l$:
$100 \text{ Н} = F_2$
Следовательно, $F_2 = 100 \text{ Н}$.

Ответ: чтобы уравновесить груз, необходимо приложить к рычагу в точке А силу, равную 100 Н.

30.18⁰ [737⁰] Рычаг находится в равновесии (рис. IV-17). Нарушится ли равновесие рычага, если грузы поместить в воду? Ответ поясните.

$3\text{ H}$

$1\text{ H}$

Рис. IV-17

Ответ на этот вопрос зависит от того, изготовлены ли грузы из одного и того же материала. Рассмотрим оба случая.

Дано:
Сила, действующая на левое плечо (вес первого груза), $P_1 = 3 \, \text{Н}$
Сила, действующая на правое плечо (вес второго груза), $P_2 = 1 \, \text{Н}$
Длина левого плеча, $l_1 = 1$ условная единица
Длина правого плеча, $l_2 = 3$ условные единицы
Плотность воды $\rho_{\text{в}}$

Найти:
Нарушится ли равновесие рычага, если грузы поместить в воду.

Решение:
Сначала проверим условие равновесия рычага в воздухе. Условие равновесия рычага заключается в равенстве моментов сил, действующих на его плечи. Момент силы $M$ равен произведению силы $F$ на плечо $l$: $M = F \cdot l$.

Момент силы, создаваемый левым грузом: $M_1 = P_1 \cdot l_1 = 3 \, \text{Н} \cdot 1 \, \text{у.е.} = 3 \, \text{Н} \cdot \text{у.е.}$

Момент силы, создаваемый правым грузом: $M_2 = P_2 \cdot l_2 = 1 \, \text{Н} \cdot 3 \, \text{у.е.} = 3 \, \text{Н} \cdot \text{у.е.}$

Поскольку $M_1 = M_2$, рычаг изначально находится в равновесии.

Теперь рассмотрим ситуацию, когда грузы помещены в воду. На каждый груз начинает действовать выталкивающая сила Архимеда $F_A$, направленная вверх. Вес каждого груза в воде $P'$ станет меньше его веса в воздухе $P$:

$P' = P - F_A$

Сила Архимеда вычисляется по формуле $F_A = \rho_{\text{в}} \cdot g \cdot V$, где $V$ — объем погруженного тела. Объем тела можно выразить через его вес $P$ и плотность материала $\rho_{\text{г}}$:

$P = m \cdot g = \rho_{\text{г}} \cdot V \cdot g \implies V = \frac{P}{\rho_{\text{г}} \cdot g}$

Следовательно, сила Архимеда равна:

$F_A = \rho_{\text{в}} \cdot g \cdot \frac{P}{\rho_{\text{г}} \cdot g} = P \frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{г}}}$

Случай 1: Грузы изготовлены из одного и того же материала.

Если оба груза имеют одинаковую плотность $\rho_{\text{г}}$, то новые силы (веса в воде), действующие на рычаг, будут:

$P'_1 = P_1 - F_{A1} = P_1 - P_1 \frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{г}}} = P_1 \left(1 - \frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{г}}}\right)$

$P'_2 = P_2 - F_{A2} = P_2 - P_2 \frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{г}}} = P_2 \left(1 - \frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{г}}}\right)$

Новые моменты сил, действующие на рычаг в воде:

$M'_1 = P'_1 \cdot l_1 = P_1 \left(1 - \frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{г}}}\right) \cdot l_1 = (P_1 \cdot l_1) \left(1 - \frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{г}}}\right)$

$M'_2 = P'_2 \cdot l_2 = P_2 \left(1 - \frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{г}}}\right) \cdot l_2 = (P_2 \cdot l_2) \left(1 - \frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{г}}}\right)$

Так как в начальном состоянии $P_1 \cdot l_1 = P_2 \cdot l_2$, и множитель $\left(1 - \frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{г}}}\right)$ одинаков для обоих моментов, то новые моменты также будут равны: $M'_1 = M'_2$. Следовательно, равновесие рычага не нарушится.

Случай 2: Грузы изготовлены из разных материалов.

Пусть плотность первого груза $\rho_1$, а второго — $\rho_2$, и $\rho_1 \ne \rho_2$. Тогда новые моменты сил будут:

$M'_1 = (P_1 \cdot l_1) \left(1 - \frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_1}\right)$

$M'_2 = (P_2 \cdot l_2) \left(1 - \frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_2}\right)$

Поскольку $P_1 \cdot l_1 = P_2 \cdot l_2$, для сохранения равновесия необходимо, чтобы $1 - \frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_1} = 1 - \frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_2}$, что выполняется только при $\rho_1 = \rho_2$. Если плотности различны, то множители будут разными, и равновесие нарушится. Например, если левый груз (3 Н) сделан из более плотного материала, чем правый ($\rho_1 > \rho_2$), то он потеряет в весе относительно меньше, и левая сторона перевесит ($M'_1 > M'_2$).

В школьных задачах, если не оговорено иное, обычно предполагается, что грузы изготовлены из одного материала.

Ответ: Если грузы изготовлены из одного и того же материала, равновесие рычага не нарушится. Это происходит потому, что веса обоих грузов уменьшатся на одинаковую долю, и поскольку моменты сил изначально были равны, они останутся равными и после погружения в воду. Если же грузы изготовлены из разных материалов, то их веса уменьшатся на разную долю, и равновесие нарушится.

30.19 [738] Будет ли находиться в равновесии рычаг, изображённый на рисунке IV-18?

$F = 20 \text{ H}$

1 кг

Рис. IV-18

Дано:

$F_1 = 20 \text{ Н}$

$m_2 = 1 \text{ кг}$

Из рисунка видно, что плечи сил равны: $d_1 = d_2$.

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ Н/кг}$.

Найти:

Будет ли рычаг находиться в равновесии?

Решение:

Для того чтобы рычаг находился в равновесии, необходимо, чтобы моменты сил, вращающие его в противоположных направлениях, были равны. Это правило моментов, которое записывается формулой:

$M_1 = M_2$

где $M_1$ — момент силы, вращающий рычаг против часовой стрелки, а $M_2$ — момент силы, вращающий рычаг по часовой стрелке. Момент силы $M$ определяется как произведение модуля силы $F$ на ее плечо $d$:

$M = F \cdot d$

Следовательно, условие равновесия для данного рычага выглядит так:

$F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2$

На левое плечо рычага действует сила $F_1 = 20 \text{ Н}$.

На правое плечо рычага действует сила тяжести груза $F_2$. Рассчитаем ее:

$F_2 = m_2 \cdot g = 1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг} = 10 \text{ Н}$

Теперь вычислим и сравним моменты сил. Так как по условию плечи равны ($d_1 = d_2$), обозначим их просто $d$.

Момент силы, действующий на левое плечо (вращает против часовой стрелки):

$M_1 = F_1 \cdot d_1 = 20 \cdot d$

Момент силы, действующий на правое плечо (вращает по часовой стрелке):

$M_2 = F_2 \cdot d_2 = 10 \cdot d$

Сравниваем полученные моменты:

$M_1 = 20d$

$M_2 = 10d$

Поскольку $20d > 10d$, то $M_1 > M_2$.

Условие равновесия не выполняется. Момент силы, вращающий рычаг против часовой стрелки, больше момента силы, вращающего его по часовой стрелке. Следовательно, рычаг придет в движение и будет вращаться против часовой стрелки.

Ответ:

Нет, рычаг не будет находиться в равновесии, так как момент силы $M_1$ (20d) больше момента силы $M_2$ (10d). Рычаг будет вращаться против часовой стрелки.

30.20 [739] В школьной мастерской мальчик, чтобы сильно зажать в тиски обрабатываемую деталь, берётся за край ручек тисков, а не за их середину. Почему?

Решение

Ручка тисков представляет собой рычаг, ось вращения которого проходит через центр зажимного винта. Для того чтобы повернуть ручку и зажать деталь, необходимо приложить силу, создающую вращающий момент (момент силы). Величина момента силы $M$ определяется произведением модуля силы $F$ на её плечо $l$:

$M = F \cdot l$

Плечо силы $l$ — это расстояние от оси вращения до точки приложения силы. Чтобы "сильно зажать" деталь, необходимо создать как можно больший момент силы. Сила $F$, которую может приложить мальчик, ограничена его физическими возможностями.

Согласно формуле, для получения максимального момента силы $M$ при ограниченной силе $F$ нужно увеличить плечо $l$. Когда мальчик берётся за край ручки, он делает плечо силы максимально возможным. Если бы он взялся за середину, плечо было бы меньше, и, следовательно, момент силы был бы меньше. Таким образом, мальчик интуитивно использует правило рычага для получения выигрыша в силе.

Ответ:

Мальчик берётся за край ручек тисков, чтобы увеличить плечо прикладываемой силы ($l$). Согласно формуле момента силы $M = F \cdot l$, чем больше плечо, тем больший вращающий момент создаётся при той же силе ($F$). Больший момент силы позволяет сильнее зажать деталь в тисках.

30.21° [741°] Рычаг длиной 60 см находится в равновесии (рис. IV-19). Какая сила приложена в точке B?

$P = 2 \text{ H}$

Рис. IV-19

Дано:

Длина рычага $L = 60$ см

Сила, действующая на рычаг со стороны груза, $P = 2$ Н

$L = 60 \text{ см} = 0.6 \text{ м}$

Найти:

$F - ?$

Решение:

Рычаг находится в равновесии, следовательно, моменты сил, вращающие его по часовой стрелке, равны моментам сил, вращающим его против часовой стрелки. Точка опоры рычага обозначена буквой О.

Условие равновесия рычага имеет вид:

$M_1 = M_2$

где $M_1$ - момент силы $P$, а $M_2$ - момент силы $F$.

Момент силы равен произведению модуля силы на её плечо. Плечо силы — это кратчайшее расстояние от точки опоры до линии действия силы.

$P \cdot d_1 = F \cdot d_2$

где $d_1$ — плечо силы $P$, а $d_2$ — плечо силы $F$.

Из рисунка видно, что рычаг разделен на 6 равных отрезков. Длина всего рычага $L = 60$ см, значит, длина одного отрезка составляет:

$l_{отрезка} = \frac{L}{6} = \frac{60 \text{ см}}{6} = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Плечо силы $P$ (расстояние от точки О до точки приложения силы $P$) равно одному отрезку:

$d_1 = 1 \cdot 10 \text{ см} = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Плечо силы $F$ (расстояние от точки О до точки В) равно трем отрезкам:

$d_2 = 3 \cdot 10 \text{ см} = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$

Теперь выразим искомую силу $F$ из условия равновесия:

$F = \frac{P \cdot d_1}{d_2}$

Подставим числовые значения:

$F = \frac{2 \text{ Н} \cdot 0.1 \text{ м}}{0.3 \text{ м}} = \frac{0.2}{0.3} \text{ Н} = \frac{2}{3} \text{ Н} \approx 0.67 \text{ Н}$

Ответ: сила, приложенная в точке В, равна $\frac{2}{3}$ Н (приблизительно 0.67 Н).

30.22 [742] Рычаг находится в равновесии (рис. IV-20). Чему равна длина рычага, если длина меньшего плеча равна 20 см? (Весом рычага пренебрегите.)

5 кг

$\vec{F}$

$F = 25 \text{ H}$

Рис. IV-20

Дано:

Масса груза $m_1 = 5$ кг
Сила, приложенная к правому плечу $F_2 = 25$ Н
Длина меньшего плеча $l_{меньшее} = 20$ см
Ускорение свободного падения примем равным $g \approx 10$ Н/кг

Найти:

Полную длину рычага $L$

Решение:

Согласно условию, рычаг находится в равновесии. Условие равновесия рычага заключается в том, что момент силы, вращающий рычаг против часовой стрелки, равен моменту силы, вращающему его по часовой стрелке. Моменты сил относительно точки опоры должны быть равны:

$M_1 = M_2$

Момент силы $M$ определяется как произведение силы $F$ на плечо $l$ (кратчайшее расстояние от точки опоры до линии действия силы): $M = F \cdot l$. Таким образом, условие равновесия можно записать в виде:

$F_1 \cdot l_1 = F_2 \cdot l_2$

Сначала определим силу $F_1$, с которой груз действует на левое плечо рычага. Эта сила равна весу груза:

$F_1 = m_1 \cdot g = 5 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг} = 50 \text{ Н}$

Теперь сравним силы, действующие на плечи рычага: $F_1 = 50 \text{ Н}$ и $F_2 = 25 \text{ Н}$.

Видим, что $F_1 > F_2$. Чтобы рычаг находился в равновесии, плечо, к которому приложена большая сила, должно быть короче. Следовательно, $l_1 < l_2$. Это означает, что меньшее плечо, длина которого дана в условии, — это плечо $l_1$:

$l_1 = l_{меньшее} = 0.2 \text{ м}$

Теперь, используя условие равновесия, найдем длину второго (большего) плеча $l_2$:

$50 \text{ Н} \cdot 0.2 \text{ м} = 25 \text{ Н} \cdot l_2$

$10 \text{ Н} \cdot \text{м} = 25 \text{ Н} \cdot l_2$

Отсюда выражаем $l_2$:

$l_2 = \frac{10 \text{ Н} \cdot \text{м}}{25 \text{ Н}} = 0.4 \text{ м}$

Полная длина рычага $L$ равна сумме длин его плеч:

$L = l_1 + l_2 = 0.2 \text{ м} + 0.4 \text{ м} = 0.6 \text{ м}$

Переводя в сантиметры, получаем $L = 60$ см.

Ответ: длина рычага равна 0.6 м (или 60 см).