Номер 30.18, страница 112 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 30. Рычаги. Момент силы. Глава 4. Работа и мощность. Простые механизмы. Энергия - номер 30.18, страница 112.

30.18⁰ [737⁰] Рычаг находится в равновесии (рис. IV-17). Нарушится ли равновесие рычага, если грузы поместить в воду? Ответ поясните.

$3\text{ H}$

$1\text{ H}$

Рис. IV-17

Ответ на этот вопрос зависит от того, изготовлены ли грузы из одного и того же материала. Рассмотрим оба случая.

Дано:
Сила, действующая на левое плечо (вес первого груза), $P_1 = 3 \, \text{Н}$
Сила, действующая на правое плечо (вес второго груза), $P_2 = 1 \, \text{Н}$
Длина левого плеча, $l_1 = 1$ условная единица
Длина правого плеча, $l_2 = 3$ условные единицы
Плотность воды $\rho_{\text{в}}$

Найти:
Нарушится ли равновесие рычага, если грузы поместить в воду.

Решение:
Сначала проверим условие равновесия рычага в воздухе. Условие равновесия рычага заключается в равенстве моментов сил, действующих на его плечи. Момент силы $M$ равен произведению силы $F$ на плечо $l$: $M = F \cdot l$.

Момент силы, создаваемый левым грузом: $M_1 = P_1 \cdot l_1 = 3 \, \text{Н} \cdot 1 \, \text{у.е.} = 3 \, \text{Н} \cdot \text{у.е.}$

Момент силы, создаваемый правым грузом: $M_2 = P_2 \cdot l_2 = 1 \, \text{Н} \cdot 3 \, \text{у.е.} = 3 \, \text{Н} \cdot \text{у.е.}$

Поскольку $M_1 = M_2$, рычаг изначально находится в равновесии.

Теперь рассмотрим ситуацию, когда грузы помещены в воду. На каждый груз начинает действовать выталкивающая сила Архимеда $F_A$, направленная вверх. Вес каждого груза в воде $P'$ станет меньше его веса в воздухе $P$:

$P' = P - F_A$

Сила Архимеда вычисляется по формуле $F_A = \rho_{\text{в}} \cdot g \cdot V$, где $V$ — объем погруженного тела. Объем тела можно выразить через его вес $P$ и плотность материала $\rho_{\text{г}}$:

$P = m \cdot g = \rho_{\text{г}} \cdot V \cdot g \implies V = \frac{P}{\rho_{\text{г}} \cdot g}$

Следовательно, сила Архимеда равна:

$F_A = \rho_{\text{в}} \cdot g \cdot \frac{P}{\rho_{\text{г}} \cdot g} = P \frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{г}}}$

Случай 1: Грузы изготовлены из одного и того же материала.

Если оба груза имеют одинаковую плотность $\rho_{\text{г}}$, то новые силы (веса в воде), действующие на рычаг, будут:

$P'_1 = P_1 - F_{A1} = P_1 - P_1 \frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{г}}} = P_1 \left(1 - \frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{г}}}\right)$

$P'_2 = P_2 - F_{A2} = P_2 - P_2 \frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{г}}} = P_2 \left(1 - \frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{г}}}\right)$

Новые моменты сил, действующие на рычаг в воде:

$M'_1 = P'_1 \cdot l_1 = P_1 \left(1 - \frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{г}}}\right) \cdot l_1 = (P_1 \cdot l_1) \left(1 - \frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{г}}}\right)$

$M'_2 = P'_2 \cdot l_2 = P_2 \left(1 - \frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{г}}}\right) \cdot l_2 = (P_2 \cdot l_2) \left(1 - \frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{г}}}\right)$

Так как в начальном состоянии $P_1 \cdot l_1 = P_2 \cdot l_2$, и множитель $\left(1 - \frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{г}}}\right)$ одинаков для обоих моментов, то новые моменты также будут равны: $M'_1 = M'_2$. Следовательно, равновесие рычага не нарушится.

Случай 2: Грузы изготовлены из разных материалов.

Пусть плотность первого груза $\rho_1$, а второго — $\rho_2$, и $\rho_1 \ne \rho_2$. Тогда новые моменты сил будут:

$M'_1 = (P_1 \cdot l_1) \left(1 - \frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_1}\right)$

$M'_2 = (P_2 \cdot l_2) \left(1 - \frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_2}\right)$

Поскольку $P_1 \cdot l_1 = P_2 \cdot l_2$, для сохранения равновесия необходимо, чтобы $1 - \frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_1} = 1 - \frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_2}$, что выполняется только при $\rho_1 = \rho_2$. Если плотности различны, то множители будут разными, и равновесие нарушится. Например, если левый груз (3 Н) сделан из более плотного материала, чем правый ($\rho_1 > \rho_2$), то он потеряет в весе относительно меньше, и левая сторона перевесит ($M'_1 > M'_2$).

В школьных задачах, если не оговорено иное, обычно предполагается, что грузы изготовлены из одного материала.

Ответ: Если грузы изготовлены из одного и того же материала, равновесие рычага не нарушится. Это происходит потому, что веса обоих грузов уменьшатся на одинаковую долю, и поскольку моменты сил изначально были равны, они останутся равными и после погружения в воду. Если же грузы изготовлены из разных материалов, то их веса уменьшатся на разную долю, и равновесие нарушится.